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所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《函数模型的应用实例》湖北省黄冈
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《函数模型的应用实例》湖北省黄冈
关注理性思维，培养数学素养
人教版必修一 3.2.2 函数模型的应用实例 （教学设计）
湖北省黄冈中学（肖海东）
一、教学设计
1．教学内容解析
“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准的基本理念之一．为了践行该教学理念，新课标人教A版数学必修1在安排学生系统学习了指数函数、对数函数、幂函数这些基本初等函数之后，特别将《函数的应用》作为独立的一章，目的在于巩固函数概念、体现函数价值、强调数学应用．
《函数模型及其应用》是这一章的核心内容，是数学与生活相互衔接的枢纽．而“函数模型的应用实例”是上一节内容“几类不同增长的函数模型”的自然延续，让学生对数学知识的理解由抽象晦涩的式子走向直观鲜活的应用．
本部分内容课标要求两个课时完成，而本节课选取的是第二课时．本课采用生成性的教育理念，首先由学生自主回顾学过的常见函数模型，让学生体会函数在生活中的广泛应用，体会不同函数类型增长的速度差异，再通过一个贴近生活的简单问题，要求学生在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，借助函数计算器和几何画板求解模型，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．让学生在利用函数模型解决实际问题的同时，知道如何从形和数两个角度对不同模型的优劣进行评价．这样的设置既能体现函数的作用，也让学生经历了把数学知识应用于生活实际的建模过程，既强化了学生应用数学的意识，也提高了学生应用数学的能力，增强了学生的数学素养．同时，该节课的内容为学生将来学习必修3的《线性相关关系》和选修部分的《回归分析》做了很好的铺垫．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：体会函数在生活中的广泛应用，体会不同函数类型增长的速度差异，体验“从实际到数学，建立数学模型，回到实际检验，最终利用所得的函数模型解决实际问题”的全过程．
2．学生学情分析
高一学生通过数学必修１前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．通过第三章前几节课的学习，学生了解了不同类型函数的增长差异，同时他们还初步掌握了函数计算器和几何画板的操作方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合，为本节课的学习奠定了基础．
但学生的思维尚处于由直观感知到抽象分析的过渡阶段，数形结合和应用数学的意识不强，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验．因此，在教学中要培养学生抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，引导学生建立适当的模型并对模型的优劣进行评价与分析．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：如何根据面临的实际问题选择恰当的函数模型，如何从形和数两个角度对不同模型的优劣进行评价．
3．教学目标设置
根据课程标准的要求并结合本节课的内容和高一学生已具备的知识、能力和心理特点，确定本节课的教学目标为：
（1）能根据题意提取数据并进行简单分析，能选择适当的函数模型解决实际问题；
（2）通过将实际问题转化为数学问题的过程，掌握数学建模的基本步骤；
（3）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会数学知识在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；
（4）逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象的素养，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣．
4．教学策略分析
构建主义理论认为，学生是信息加工的主体，是意义的主动构建者，新课程标准理念下的课程应突出学生知识的意义构建，数学教学应该是思维的教学．从这一角度出发，我采取以下教学策略：
（1）在课堂上采用了问题导学，自主探究，合作交流，对比研讨，动态演示，图形展示等手段，尽可能展示多样化的课堂结构，潜移默化的培养学生应用数学的能力．
（2）从学生已有的生活背景和生活经验出发，创设学生熟悉的生活情景，将“数学生活化”，即将数学抽象的内容附着在现实的背景中，并将数学教育渗透在学习过程中，从而使学生在思考的过程中感悟到数学应用的价值．
（3）课前教会学生使用函数计算器进行简单的数据分析和计算，同时教会学生在几何画板上绘图，从感官上分析和检验模型．本课要解决的生活实际问题，体现了数学的应用价值．如果不借助于函数计算器和几何画板，难以发现数据背后所隐藏的规律，也难以完成本题的计算．如果由教师自定解析式并求解的方式处理，将无法得到让学生信服和满意的函数模型，也限制了学生的思维发展．而计算器和几何画板可以很好的解决上述问题，给学生的自主探索提供可能，能大大激发学生的学习兴趣和求知的欲望．
教学流程
二、课堂实录
1.展示模型 数往知来
师：同学们，通过函数的学习，我们知道函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模
型．课前我给大家布置了一个任务，让你们搜集生活中的函数模型，你们搜集得怎么样了？请大家说说看
生：学生自由上台展示或直接说出自己所发现的生活中的函数模型．
【设计意图】数学是从现实世界中抽象出来的，生活中处处有数学．一个简单的问题让学生在接触实际和了解实际的同时，真正成为课堂的主人，激发了学生的兴趣，较好的活跃了气氛．当然更重要的是通过学生的模型展示，帮助学生自主的复习和回顾一次函数、二次函数、分段函数模型以及指数型、对数型、幂函数型等生活中的常见函数模型，了解函数模型的广泛应用，同时也一并复习了函数的三种表示方法．为本节课后续模型的探究埋下伏笔．
2.感知模型 意在言外
师：同学们我们来看这样一个视频：一个池塘，第一天荷花开放的数量很少，第二天开放的数量是第一天的两倍，以后的每一天，荷花都会以前一天两倍的数量开放，慢慢的开，一直到第30天，荷花开满了整个池塘．那么请问：池塘里的荷花，在第几天开到了一半？
生：第29天！
师：太厉害了，你们真是太棒了，第29天，这就是著名的荷花定律，也叫作30天定律．那，这是什么型呢？
生：指数型
师：指数型，非常好！其实呀，一个人的思维方式，决定了我们的人生有三种不同的增长方式，我们来看看：
第一种：默默积累，耐心等待的指数增长．就像是池塘里的荷花，刚开始的时候拼命的开，努力的开，但渐渐的你会感到枯燥，甚至厌烦，你可能会在第9天、第19天亦或是第29天放弃，而这个时候往往离成功可能只有一步之遥．所以啊，唯有坚持不懈的努力，我们才能突破临界点，实现质的飞跃！
第二种：一分耕耘、一分收获的线性增长．只要肯付出，就会有回报，可能这种回报并没有我们预期的那么多，但却是可以源源不绝．
第三种：开局漂亮，后劲不足的对数增长．一开始啊，由于起点高，进步的速度飞快，做什么事情都是遥遥领先，但渐渐的由于受到各种外力的困扰，或者说心态的影响，导致我们进步的速度逐渐的减慢．
同学们，请问你们想要什么样的人生增长方式？
生：指数增长！
师：很好，我为你们点赞，咱们一起加油！把这样的四个等式送给大家！积跬步以至千里，积懈怠以致深渊．只比你努力一点的人，其实这个时候已经甩得你太远了，加油吧，同学们！
师：同学们，你们想想看，迄今为止我们学过的函数模型有哪些呢？
生：一次函数、二次函数、分段函数、指数型、对数型、幂函数型......
师：很好！迄今为止我们学过的函数模型有以下这么多种（白板展示）．
【设计意图】通过教师展示荷花定律，生动形象的抽象出指数型函数模型对学生的人生意义，凝练出“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”的学科核心素养，培养学生积极向上、奋发进取的精神，帮助学生形成必备品格和关键能力．同时引导学生梳理所学过的函数模型，帮助学生自主构建知识体系．
3.探究模型 永无止境
环节1：启发性提问，完善思维.
师：同学们，假如你们的人生呈指数型的增长，有一天你成为了华为公司生产部的总监，当年元月份有一种新款手机开始投产了，并且前
个月的产量分别为
万件，
万件，
万件，
万件．作为生产总监，你认为第5个月应该生产多少产品？同时也请你预测最近两年内产量的变化趋势．
师：同学们，这个问题怎样用函数模型来解决？请大家相互讨论，给出一个大致的方案.
（学生相互讨论，找点，画散点图并预测函数类型. 讨论结束后，请学生回答．）
生：我认为这个问题可以用数学来解决．
师：怎么样用数学来解决？
生：我们可以建立一个函数模型.首先建立一个平面直角坐标系，将这四个点在这个平面直角坐标系中找到，然后再用平滑的曲线连起来．
师：怎样的四个点呢？
生：（1, 1）、（2, 1.2）、（3, 1.3）、（4, 1.37），用平滑的曲线把它们连起来，然后我们就可以根据它图象的变化趋势，应该可以预估第5个月的产量．
师：如何预估？
生：建立一个函数模型．
师：很好，按照你的方式我已经在几何画板中找到了这四个点，并连成了光滑的曲线，那你说说看应该建一个什么样的模型？
生：二次函数、幂函数型、对数型、指数型好像都有点像（学生有些不太确定）．
师：那同学们，你们觉得是什么型呢？
生：二次函数、幂函数型、对数型、指数型......（学生各种答案都有）
【设计意图】如果直接抛出一个实际问题让学生来解决，学生会感到没有头绪，不知道该从哪里入手．教师在探究前先搭建台阶，通过启发性的提问，引导学生从实际问题中抽象出数学问题，帮助学生找到解决问题的突破点，理清思路，完善思维，也即是要建立一个函数模型来进行预估．培养学生数形结合的能力，对数据的分析处理能力以及用函数解决实际问题的思想意识．
环节2：生成性提问，建构新知.
师：到底是哪一种型呢？请同学们根据自己的设想，分组讨论，找出你们心中的最优模型．
（学生按照自己的设想分组，每组选定一种函数模型.两人为一小组用待定系数法设出心目中的解析式，通过函数计算器求出解析式，在组内进行首轮PK，挑选出精确度最高的模型．）
【设计意图】（1）学生有了解决方案之后，在模型的选择上产生了争议． 教师通过这种自然生成的提问，激发了学生的兴趣与思维的积极性，给学生尝试的机会，让学生主动探究、思考、归纳解决实际问题的基本步骤，在实践中建构新知．（2）让学生经历利用函数拟合解决实际问题的全过程，提高提取数据，分析数据的能力．
环节3：创新性合作，解决问题.
每组派出两名代表上台共同展示本组的最优模型，采取一人说模型一人展模型的创新性合作方法，与其它组的模型进行二轮PK，教师点评，二轮PK后获胜的模型就是本节课的最优模型，最后师生共同得出本节课的最优模型，用它们来解释实际问题．
【设计意图】让学生真正成为课堂的主人，共同参与模型的评判，通过选择不同的函数模型来解决这个具体的问题并从形和数两个角度对不同模型的优劣进行评价，提高学生分析数据的能力，让学生感受到应用问题的现实意义，激发学生的探索精神和学习热情．
4.反思建模 明辨笃行
师生共同回顾本节课的学习过程，归纳数学建模的过程与方法．
师：通过今天的学习，大家想想看，运用函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？
（师生通过一问一答的方式共同归纳出运用函数模型解决实际问题的一般步骤）
【设计意图】通过本课的实例引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程，总结一般方法，体会数学来源于生活，应用于生活，加深对数学应用问题的理解，培养学生的反思意识和科学态度．
5.学以致用 知行合一
课后作业：
请你利用本节课所学的知识和方法，建立适当的模型解决你生活中的某一问题，并写一篇小论文．
【设计意图】通过开放式的作业，打开学生的视野，引领学生自己去发现、提出新的问题并研究，在研究中让学生再次经历学数学、用数学的过程，巩固所学，提高数学的实践能力．
（课后作业在课堂上没来得及布置，由教师课下布置学生完成）
三、课后反思
在现实生活中，有很多现象涉及到两个变量之间的关系，又因为现实问题的复杂性，变量的变化规律往往受多种因素的影响，因此，实际问题多数需要建立拟合函数模型来近似处理．所以，本节课的内容对于刚进入高中阶段学习的高一同学来说，是认识数学的应用价值的绝佳载体．
为了让学生更好的认识数学问题来源于实践，同时提升学生应用数学的能力，本节课让学生自主回顾学过的常见函数模型，体会函数在生活中的广泛应用，生动形象的抽象出指数型函数模型对学生的人生意义，帮助学生形成必备的品格和关键能力．再通过一个贴近生活的简单问题，要求学生在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，借助函数计算器和几何画板求解模型，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．激发了学生学习的兴趣和主动性．我认为本节课做得较好的有以下几点：
（1）源于生活的新颖设计
通过设置源于生活的模型展示、模型感知和模型探究环节，引起学生有意的注意，激发学习的热情，从而产生学习动机，使学生感悟到数学与生活的联系以及基本数学知识学习的必要性．在学生已有知识范畴内创设问题情境，立意新颖，让学生自然而然的去探求和解决实际问题，潜移默化的帮助学生梳理旧知、构建新知，使学生的认知能力和知识的掌握相伴而行．
（2）先进灵活的教学手段
由于数据计算复杂，不好处理，因此本节课充分利用技术的优势，运用函数计算器和几何画板完成函数的拟合，让学生对函数模型作深入的探究和分析，最大限度的发挥学生的主观能动性．在小组讨论环节中，学生通过函数计算器算出各种函数模型的解析式，先在组内PK，找到组内的最优模型，在展示环节中，两人一组上台展示，一人说一人在几何画板上操作．既有数据的计算又有图形的展示，让模型的选择更有说服力．
（3）自然生成的探究活动
问题有了解决方案之后，学生在模型的选择上产生了争议． 这让每个学生都想选择一个自己认为相符的函数模型算算看，但是解析式的选择和计算还是要花一些时间的，于是有相同想法的学生必然会自动合为一组，相互合作，共同完成问题的探究．这种自然生成的探究活动更能激发学生的学习热情，发挥学生的主观能动性和团结协作的意识，使学生的思维穿梭于问题之间，让学生从数学的角度观察问题、思考问题，从数据计算中，从形象直观中生成解决问题的智慧，既符合学生思维水平又不失思考价值．
（4）愉快自然的课堂情境
整个课堂教学过程中，教师教态得体，亲和力强，在问题的预设和引导中突出学生的主体地位，给予学生足够的空间自由发挥；而学生积极配合，广泛参与，主动探究，整个教学如行云流水，朴实，自然，和谐，从而较好的完成了教学目标．
当然，教学就是一门有遗憾的学问，虽然设计有了意料中的收获，但仍有多处遗憾：
（1）在问题的探究和学生的展示中都是模型的PK，PASS掉的模型就直接舍弃掉了，其实还可以在原模型的基础上不断的进行改进，使其精确度更高、更贴近现实，由于时间的关系，这一点在本课中并没有涉及到．
（2）由于计算工具有限，只有函数计算器，对于太多数据的函数模型的拟合，计算起来会有一些困难，为了顺利的推进整堂课，问题中的数据可能设置得相对简单了一点．
参考文献： 北京师范大学附属实验中学 刘 丹《函数的应用》教学设计
深圳外国语学校 朱红光《3.2.2函数模型应用实例》教学设计
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
