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视频标签：直线的点斜式方程
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视频课题：高中数学人教版必修二《3.2.1直线的点斜式方程》山东省
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教版必修二《3.2.1直线的点斜式方程》山东省青岛第十五中学
《3.2.1直线的点斜式方程》教学设计
山东省青岛第十五中学 徐真
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）掌握由直线上一点和斜率求出直线的方程或由斜率和截距写出直线的方程的方法
（3）能由直线的方程求斜率和截距。
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；并对各种特殊形式进行研究，再由点斜式经过变形，导出斜截式，并对它们的应用进行简单的研究。
3、情感态度与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
教学过程 学生活动 教师活动 设计意图
一、复习检测 1. 直线l的倾斜角为135o，则斜率k＝______
2. 过A(2,5)与x轴垂直的直线的倾斜角为________,斜率________
3. 已知定点A(-1,3)，B(4,2)，C(x,0)，若AC⊥BC，则x＝_____
若AO∥BC，则x＝_______
（其中O为坐标原点） 课前复习 通过复习检测总结复习：1.直线l的斜率与倾斜角α的关系：k＝tanα
2.经过两点P1(x1,y1),
P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：
3.不重合且斜率都存在的直线l1，l2平行的判定条件： 4.斜率都存在的直线l1，l2垂直的判定条件：
通过对知识点的总结，既让学生对前面所学加以巩固，又对本节知识做了铺垫。
教学过程 学生活动 教师活动 设计意图
二、讲解新课 （一）点斜式方程：
【引入】：在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
推导：直线l经过定点Po(xo,yo),且斜率为k，设点P(x,y)是直线上不同于点Po的任意一点，则有 〔x≠xo〕
即 ……⑴
学生思考回答
黑板作图
根据斜率公式，推导出方程（1） 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标 满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。
由以上推导过程可知，过点Po(xo,yo)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程⑴；反过来，坐标满足方程⑴的点都在过点Po(xo,yo),且斜率为k的直线l上，所以方程⑴就是过点Po(xo,yo),且斜率为k的直线l的方程。
说明：⑴这个方程是由直线上一定点和斜率确定的。 思考理解 1.过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？
2.坐标满足方程（1）的点都在经过 ，斜率为 的直线 上吗？
教师证明，并总结直线的点斜式方程的定义
……⑴是直线的点斜式方程，简称点斜式。
使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。
例1：直线l经过点（-2，3），倾斜角为45 ，求直线l的方程，并画出直线l
练习：1.写出下列直线方程：
⑴过点A(3,-1)，斜率为 ，则直线方程是_________
⑵过点B(-4,-2)，倾斜角为120o，则直线方程是_________
学生练习 讲解例1
说明：
⑵当直线l倾斜角为0o时，即k＝0时，直线l的方程为y－yo＝0或y＝yo
⑶当直线l倾斜角为90o时，即k不存在时，直线l的方程为x－xo＝0或x＝xo
使学生理解点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程。同时让生养成通过具体题目总结常用结论的习惯。
教学过程 学生活动 教师活动 设计意图
二、讲解新课 ⑶过点C(- , )，倾斜角为0o，则直线方程是_________
⑷过点D(2,5)，倾斜角为90o，则直线方程是_________
2.已知直线的点斜式方程是y－2＝k(x-1)，那么这条直线恒过定点________
3.已知直线方程是 ，那么这条直线的斜率是_______,倾斜角为______
并总结特殊直线方程及点斜式方程的适用范围
总结完后完成练习2，3
⑷点斜式方程不能表示倾斜角为90o的直线方程。
熟练点斜式方程的形式及各部分数值的几何意义
(二)斜截式方程
【问题】已知直线l的斜率是k，且与y轴的交点是P(0,b)，则直线l的方程是_________
即y=kx+b……⑵
方程⑵叫做直线的斜截式方程，简称斜截式
说明：⑴b为直线l在y轴上的截距，b∈R。
⑵当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式。
⑶斜截式直线方程不能表示倾斜角为900的直线方程。 学生独立求出直线 的方程：
（2） 引导学生推导方程并总结说明。 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。
例2.写出下列直线的斜截式方程
⑴斜率为 ，在y轴上的截距是-2；
⑵斜率为-2，在y轴上的截距是0；
⑶倾斜角是60o，在y轴上的截距是3；
写出答案
订正答案 深入理解和掌握斜截式方程的特点
教学过程 学生活动 教师活动 设计意图
二、讲解新课 例3.已知直线
，
，试讨论：⑴ 的条件是什么？
⑵ 的条件是什么？
总结：⑴
且 ；
⑵
练习：判断下列各对直线是否平行或垂直
⑴
⑵
例4.已知直线l在y轴上的截距是-3，且与直线y＝ x平行，求直线l的方程。
[变式：] 已知直线l在y轴上的截距是-3，且与直线y＝ x垂直，求直线l的方程。
在此由学生得出结论
回答问题 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1） 时， 有何关系？（2） 时， 有何关系？ 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中 的几何意义。
对例3的反馈练习。
三、小结 学生填写下表：
直线的方程 条件 方程的范围 不适合直线
点斜式方程
斜截式方程
特殊情况 与x轴垂直的直线 方程：
与y轴垂直的直线 方程：
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。
教学过程 学生活动 教师活动 设计意图
四、随堂检测 1. 判断正误：
①直线的点斜式方程 不能表示与坐标轴垂直的直线；
②直线y=kx+b与y轴的交于点P(0，b)，其中在y轴上的截距b＝ ；
2.写出经过过点（2，1）且满足下列条件的直线方程：⑴平行于x轴的直线方程为__________；⑵平行于y轴的直线方程为__________；⑶过原点的直线方程为____________
3.x轴所在直线的方程是__________；y轴所在直线的方程是__________
4.直线3x-y+6=0的斜率为k=______，在y轴上的截距为b=_______
5.经过点A(3,2)且平行于直线y＝4x－2的直线方程为_________
6.经过点B(3,0)且垂直于直线y＝2x－5的直线方程为_________ 练习 订正答案 巩固新知识。
五、思考 直线l：5kx－5y-k+3=0，当k变化时，直线恒过定点__________
课后思考 提高学生灵活运用知识的能力，养成善于分析思考的习惯。
六作业 1.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则k＝_____，b=_____
2. 在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成角45 的直线的方程是
3. 将直线y=- (x-2)绕(2,0)顺时针旋转30 所得的直线方程是
4.已知A(-2,3),B(4,5)，求AB的垂直平分线所在直线的方程。
5.已知直线过点P(3,2)，倾斜角是直线y= 的倾斜角的两倍，求直线的方程
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