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视频标签：转化与归化,思想复习,参考题

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视频课题：高中数学人教A版必修1转化与归化思想复习参考题

教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修1转化与归化思想复习参考题

第四讲  转化与化归思想 
 
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心． 1．转化与化归的指导思想 
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．  (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法． 2．转化与化归的基本原则 
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．通过简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（如高次问题低次化，多元问题少元化，综合问题化整为零，一般问题特殊化，非规范问题规范化） 
(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，空间问题向平面转化)． (4)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数和形内部所表示的和谐形式，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 3．常见的转化与化归的方法 
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有： 
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． 
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． 
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的． 
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题． (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题． 
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决． 
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.  
典例透析 
（一）基础提炼 
1．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β
，则(   ) A．3α－β＝π2   B．3α＋β＝π2 C．2α－β＝π2   D．2α＋β＝π
2
 
答案．C [解析] 
法一：切化弦：由tan α＝1＋sin βcos β 得
sin1sinsincoscoscossincoscos

  
                    
             
                    
                             
第2页（共14页）                                
sin()cossin()sin()2

， 
因为α∈0，π2，β∈0，π2，0,22
，sin()sin()020, 所以2或2

得22或2（舍） 
法二：弦化切：tan α＝
1＋sin βcos β＝
cosβ2
＋sinβ2 2cos2β2－sin2β2＝
cosβ2＋sin β2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ
21－tan
β2
＝tan
π4＋β2， 因为β∈0，π2，所以π4＋β2∈π4，π2，又α∈0，π2且tan α＝tanπ4＋β2，所以α＝ 
π4＋β2，即2α－β＝π2
. 【点评】化繁为简，切化弦或者弦化切都是为了尽可能减少函数名称，三角恒等变换的核心思想是“化一”。化同一函数名称，化同一角，化同一个函数。由值到角，注意“掐角”。  
2. 已知直线1xy
ab
通过点(cos,sin)M，则（    ）  A.221ab B. 221ab C.2211
1ab
 
D.
2
2111ab
 答案 D 解析  
法一：形的角度：(cos,sin)M是单位圆221xy上一点，因此直线
1xy
ab
与圆221xy有公共点，因此圆心到直线距离22
22
1
11
1111dabab

； 法二：三角变换的角度：由辅助角公式22cossin111sin()abab，所以2211
1ab； 法三：不等式角度：由柯西不等式：2
22
22cossin111cossina
bab. 
法四：特殊化：取0，则1011,abRab，45，则11
2ab
，取22ab。 
【点评】未知为已知 转化与化归的灵活性与多样性.  化特殊为一般.  
4.若函数g(x)＝x3－m2＋2x2＋3x在区间1,23
上总不为单调函数，则实数m的取值范围是______． 答案 26m 
解析 2(343)'gxxmx＝－＋＋， 
法一： g(x)在区间1,23

上总为单调函数，则①'gx≥0在(t,3)上恒成立或②'gx≤0在(t,3)上恒成立． 
由①得3x2－(m＋4)x＋3≥0，即413mxx在x∈1,23
上恒成立，min
413mxx即4223mm 
由②得
413mxx在x∈1,23
上恒成立，则max413mxx
，即413633mm； 所以，函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为26m. 
法二：若g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则0'gx在1,23
至少有一个实根且不是．．重根．．， 即234()30xmx－＋＋在1,23

有实根且不是重根，所以02m或10m，（必要但不充分） 

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