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视频课题：高中数学人教B版版必修一3.3幂函数-锦州
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教B版版必修一3.3 幂函数-锦州市第一高级中学
幂函数
一、教学目标
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 二、教学重难点
1、教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 2、教学难点:幂函数的性质. 三、教具：多媒体[来源:Z+xx+k.Com] 四、学法指导：数形结合，从特殊到一般 五、教学设计 （一）、导入新课
1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？
2、问题情境
写出下列y关于x的函数解析式
(1)如果正方形的边长为x，那么正方形面积y=？ (2)如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y=？
(3)如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边y=？ (4)某人骑车x秒内匀速前进1km,骑车速度为y=? 以上问题中的函数有什么共同特征？ （二）、探索新知
观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。
（1）底数为自变量； （2）指数为常数； （3）系数为1
一般地，我们把形如y=xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
如y=x2
,y=x2
1
,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.
师生共同辨析这种新函数与指数函数的异同．应说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．
（三）、理解应用
1、下列函数是幂函数的是＿＿＿
② ③ ④
2、若函数 是幂函数，则 a 的值为＿
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格 函数性质 y=x
y=x2
y=x3
y=x2
1
y=x-1
定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布
3、总结上述五个函数的图像及性质 函数
性质 y=x
y=x2
y=x3
y=x2
1
y=x-1
定义
域
R
R R {x|x≥0}[来
源:学&科&网]
{x|x≠0}
值域 R
{y
|y≥0}
R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶
性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
单调
性
在第Ⅰ
象限单调递增 在第Ⅰ
象限单
调递增
在第Ⅰ象限单
调递增
在第Ⅰ象限
单调递增 在第Ⅰ象限单调递减
特殊
点 (1,1)
(1,1)
(1,1)[来
源:Zxxk.Com] (1,1)
(1,1) 图象分布
第Ⅰ、Ⅲ 象限
第Ⅰ、Ⅱ 象限 第Ⅰ、Ⅲ
象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ 象限
（五）、反思提升 1、幂函数的定义及说明 2、幂函数的图像及特点
（1）、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.
（2）、幂函数y=xa的性质.
①所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）； ②当a＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.[来源:Z+xx+k.Com]
特别地,当a＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大.
当0＜a＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大.[来源:学科网]
③当a＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.
在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
（六）、数学应用
幂函数的简单应用，利用到了幂函数的单调性。学生独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
变式训练：1. 比较下列各组值的大小
比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用搭桥法进行分组，常数0和1是常用的参数。
例2 .试写出函数 的定义域,奇偶性，做出图像，求出值域，并指出其单调性.
能力提升
此题考察了幂函数的定义和图像的性质，主要是为了强化学生对于幂函数的记忆和理解。
有学生自主探究，得出答案。
例1． 比较下列两个代数式值的大小：
⑴ ， ⑵ ，
5
.11a5
.1a3
2
22
a3
22
334
4
12.3
2.4
332
2
32
3
235
5
44.1,1.92-
3
与3.8
3
2
)(
xxf
变式训练2．若则实数a的取值范
围是________． 1．若幂函数的图象不经过原点，
则实数m的值为________．
（七）、课堂小结
1.通过实例了解幂函数的概念；
2. 掌握 幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。
3.能够利用幂函数的性质解决简单的问题. （八）课后作业
1、求函数22xy的定义域，并指出函数的单调区间。 2、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值得大小： （1）4
3
3.2，4
34.2 （2）5
631.0，5
635.0； （3）232
，233
（4）211.1
，2
19.0
3、作出函数2
3
xy的图像，根据图像 这个函数有哪些性质，并给出证明。 六、教学反思：
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图
象是( )
后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。所以本人建议，逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。
除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法也是至关重要的。
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