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视频标签：直线方程,几种形式
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视频课题：高中数学人教B版版必修二2.2.2直线方程的几种形式（一）
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教B版版必修二2.2.2直线方程的几种形式（一）
2.2.2直线方程的几种形式（一）教学设计
数学组郜汝姣
一、教学目标
知识与技能：1、根据直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式）。2、理解直线与二元一次方程的对应关系。 过程与方法：帮助学生经历如下过程——首先用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题求解，体会代数运算过程的几何含义，这种思想贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法。 情感、态度与价值观：在教学中，结合对常见曲线的研究，进一步培养运用所学知识解决一些实际问题的能力，提高学生计算、绘图的技能、技巧和观察、概括问题的能力，发展空间想象能力。
二、学情分析
本校是一所重点高中，相对来说，学生的学习基础较好，本节课中教师多次采用个人思考与小组讨论相结合，再由教师协助学生归纳总结的授课方式，再结合本节课知识特点，通过一题多解激发学生的学习热情，同时帮助学生建立学好解析几何的信心。
三、重点难点
重点：点斜式直线方程的推导。
难点：直线与二元一次方程的对应关系。
四、教学过程
活动一
复习引入：
1、直线方程的概念是什么？
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2、直线倾斜角的定义是什么？
X轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角。
3、如果点A(𝑥1,𝑦1)，点B（𝑥2,𝑦2）是一条直线上任意两点，其中𝑥1≠𝑥2，则这条直线的斜率如何计算？
k=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
其中，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°，斜率k=0； 与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，斜率k不存在 .
活动二
探究一：
已知直线𝑙过点P0（𝑥0，𝑦0），且斜率为𝑘，设点P(x，y)为直线𝑙上不同于𝑃0的任意一点，则
2
k=
𝑦−𝑦0𝑥−𝑥0
(𝑥≠ 𝑥0）
问：上式是不是直线𝑙的方程？
答：缺少点P0（𝑥0，𝑦0），变形为y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0），此时是直线𝑙的方程。(满足直线方程的概念)
因为是由直线上一点P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程。
注：对点斜式方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）的深入理解： （1） 这个方程是由哪两个条件确定的？
点P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k（即一定点和斜率可确定一条直线）
（2） 当直线过定点P0（𝑥0，𝑦0），且倾斜角为0°时，直线方程是什么？
y=𝑦0（可利用点斜式方程；也可通过图象直接得出结论） （3） 当直线过定点P0（𝑥0，𝑦0），且倾斜角为90°时，直线的方程是什么？
x=𝑥0（斜率k不存在，点斜式方程失效；只能通过图象得出结论）
例1、 求下列直线的方程： （1） 直线𝑙1：过点（4，5），斜率为1； （2） 直线𝑙2：过点（2，1），斜率为-1. 解：（1）∵直线𝑙1过点（4，5），k=1 由直线的点斜式方程，得y−5=1×(x−4） 整理，得x−y+1=0
（为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax+by+c=0的形式.）
（2）x+y−3=0
活动三
探究二：
问：如果一条直线通过点（0，b），且斜率为k，则直线的方程是什么？
答：利用点斜式方程，可得y−b=k(x−0） 整理，得y=kx+b
这个方程叫做直线的斜截式方程。其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称为直线的截距。 问：截距是距离吗？
实质：直线在y轴上的截距，就是直线与y轴交点的纵坐标，令x=0即可得到。 口答：直线y=−2x+1，y=x−4，y=3x，y=−3在y轴上的截距分别是什么？ 又问：以上直线在x轴上的截距呢？（与x轴交点的横坐标） 例2、 求下列直线的方程：
（1）直线𝑙3：过点（0，1），斜率为−1
2； （2）直线𝑙4：在x轴上的截距为5，斜率为−2； （3）直线𝑙5：过点（−2，1）和点(3，−3）.
解：（1）直线𝑙3过点（0，1），表明直线在y轴上的截距为1，又直线斜率为−1
2，由直线的斜截式方程，得y=−1
2𝑥+1 即x+2y−2=0
3
（2）2x+y−10=0
（3）法一：先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程. 直线𝑙5的斜率k=
-3-13-(-2）
=−4
5
，又因为过点（−2，1），
由直线的点斜式方程，得y−1=−4
5[𝑥−(−2）] 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0
法二：设直线方程为y=kx+b（待定系数法）
代入点（−2，1）和点(3，−3），得 1=−2k+b−3=3𝑘+𝑏，解得 𝑘=−4
5
𝑏=−35 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0
活动四
探究三：
已知两点A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2），且𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2，求直线AB的方程. 当𝑥1≠𝑥2时，由点斜式方程可得y−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
(𝑥−𝑥1)
又当𝑦1≠𝑦2时，方程可写成𝑦−𝑦1
𝑦
2−𝑦1
=𝑥−𝑥1
𝑥
2−𝑥1
（𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2）
这种形式的方程叫做直线的两点式方程.
注：由两点式方程的推导过程可以看出，当直线不存在斜率（𝑥1=𝑥2）或斜率为0（𝑦1=𝑦2）时，不能用两点式求出它的方程，但把两点式化为整式形式 y−𝑦1 𝑥2−𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)后，就可以用它求出过平面上任意两个已知点的直线方程. 若𝑥1=𝑥2，𝑦1≠𝑦2，则有x−𝑥1=0，即x=𝑥1； 若𝑥1≠𝑥2，𝑦1=𝑦2，则有y−𝑦1=0，即y=𝑦1. 例3、 求下列直线的方程：
（1）直线𝑙5：过点（−2，1）和点(3，−3）； （2）直线𝑙6：过点（−5，7）和点（−3，7）； （3）直线𝑙7：过点（3，−5）和点(3，8） 解：（1）此题同例2的（3） 法三：利用直线方程的两点式，𝑦−1
−3−1=𝑥+2
3+2
整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0 （2）y−7=0 （3）x−3=0
技巧：根据给出的确定直线的条件，利用数形结合，能直接得到结果的，直接得结果； 否则，利用直线方程的几种形式，选择恰当的形式进行运算。
活动五
小结：请同学们总结一下，确定直线方程需要几个独立的条件？
方程名称 已知条件
直线方程 适用范围 点斜式 点P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）
斜率k存在 斜截式
截距b和斜率k
y=kx+b
斜率k存在
4
两点式
两点A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2）
𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1=𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1
𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2
说明：点斜式是直线方程最基本的形式。其他确定直线的条件都可以转化为点斜式来处理。 判断以下说法是否正确：
（1） 经过定点（𝑥0，𝑦0）的直线都可以用方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）来表示（错） （2） 经过定点（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b来表示（错）
（3） 经过任意两个不同点A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2）的直线都可以用方程 y−𝑦1 𝑥2−
𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)来表示（对）
活动六
关于解题方法的几点思考： 1、通过学习，体会用坐标法研究几何的优点：解析几何的思想方法，就是代数和几何联姻，用代数方法研究几何，把对几何图形的研究代数化。这一章实质上就是代数在几何中的应用。解决问题的基本思路都是：在坐标系中，设动点的坐标，把图形的特征性质转化为代数表示。设未知数列方程或方程组解几何问题。
2、数形结合的思想：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
活动七
练习：
1、教材79页练习A第3题； 2、（教材79页练习B第1题）在直线方程y−1=k(x+1)中，k取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？
3、引申：直线𝑙：y=kx−2k+3所经过的定点的坐标为
4、经过点（2，3）的所有直线，如何用方程表示？（通过一个定点的直线系）
y−3=k x−2 或x=2
活动八
思考：
已知直线𝑙在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0 . 求证直线𝑙的方程可写为 𝑥
𝑎
+𝑦
𝑏=1 . （这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程）
活动九
作业：
《课后训练卷》
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