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视频标签：直线的点斜式方程
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视频课题：高中数学人教版必修二3.2.1直线的点斜式方程-广东省
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教版必修二3.2.1直线的点斜式方程-广东省 - 佛山
3.2.1 直线的点斜式方程
一、教材分析
“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，本节课从比较浅显的问题开始，通过亲历求直线方程的过程，使学生能够深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，并掌握求直线方程的方法。
贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础. “解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想. 教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能。所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.
二、教学目标
1. 知识与技能
（1）知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程；
（2）能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式.
2. 过程与方法
（1）让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；
（2）使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想.
3. 情感态度与价值观
（1）使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；
（2）利用多媒体课件的演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.
三、教学重点与难点
教学重点：直线的点斜式方程.
教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解.
四、教学方法
教师为主导，学生为主体，师生互动为主线.
五、教学情景设计
1. 教师帮助学生回忆学过的直线斜率及计算公式
问题1
（1）过已知点 的每一条直线是否都有一个对应的倾斜角？（是）
（2）过已知点 的每一条直线是否都有一个对应的斜率？
（不是，倾斜角是 时没有斜率）
（3）斜率计算公式 成立的条件是什么？（ ， ）
2. 引入新课，明确任务
问题2 确定一条直线需要几个独立条件？
学生可能的回答： (1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角)；
(2)已知直线上的两个点
教师：我们知道，点可以通过坐标来定位，也就是点可以用数对来刻画，而直线是由点组成的，那么我们能否用代数关系来刻画直线呢？具体地讲，对于一条确定的直线，该直线上所有点的坐标会满足一个怎样的代数关系呢？这是这节课我们要重点研究的问题。
3. 通过活动，让学生体验知识形成过程
问题3 设直线 经过定点 ，斜率为 ，请写出直线 上另一个点 的坐标。
（不同的同学写出的可能不同，比如 、 、 等等）
教师：能写出直线 上所有点的坐标吗？
生：能写，但写不完
教师：怎样表示直线上所有的点呢？用数字能表示所有的动点吗？
生：不能！用字母 可以表示所有的动点.
教师：字母 应该满足怎样的条件？
生： （1）
所以 （2）
教师：对于以上两个关系式，你觉得选哪一个比较比较合适？
生：有人为（1），也有认为（2）
教师：为什么？
生：因为（1）中 ，丢掉了点 ， （2）中 补上点 .
教师：（2）中的 是直线 上的任意一点吗？
生：是的
教师：这就是说，直线 上的任意一点的坐标都满足方程（2），那么坐标满足方程 （2）的每一个点是否都在过点 且斜率为 的直线上？
答：若点 的坐标 满足方程（2）即
若 ，则 ，说明点 与点 重合，于是可得点 在直线上，若 ，则 ，说明点 和点 的直线的斜率为 ，于是可得点 在过点 斜率为 的直线上。
教师：也就是说，直线 上任意一个点的坐标都是方程（2）的解，反过来以方程（2）的解为坐标的点都在直线 上。所以我们可以把方程（2）叫做直线 的方程。
4. 通过由特殊到一般的推广，引导学生建构数学理论
问题4 将问题推广，把定点 的坐标 改为一般的点 ，直线的斜率为 ，那么直线 上的动点 的坐标满足怎样的关系呢？
生：类似的，当点 在直线 上运动时， 的斜率恒等于 ，即
，（ ，除点 外） (丢掉了点 )
即 ，（ 包括点 ） (补上点 )
可以验证，直线 上的每个点（包括点 ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线 上；
教师：一方面，直线 上每一点的坐标 都满足这个方程；另一方面，以这个方程的解为坐标的点都在直线 上。即：
教师：这个方程是由直线上的一个点和其斜率确定的，我们可以称这个方程为直线的
生：点斜式方程。
教师板书：方程 叫做直线的点斜式方程.
其特点是“直线过点 ，斜率为 ”在直线上一个点和斜率已知的情况下，我们可以用点斜式直接写出这条直线的方程。
5.例题教学，学会直接使用点斜式方程公式写出直线方程
例1.求满足下列条件的直线的方程
（1）已知直线经过点 ，斜率为2；
（2）已知直线经过点 ，且倾斜角为 ；
（3）已知直线经过点 ，且与 轴平行（与 轴垂直）；
（4）已知直线经过点 ，且与 轴垂直。
问题5 （1）当直线 经过点 且与 轴平行时，直线 的方程是：
（2）当直线 经过点 且与 轴垂直时，直线 的方程是：
当直线 与 轴平行也即与 轴垂直时，斜率为0，其方程能用点斜式表示. 实际上可写为 .但因为 上每一点的纵坐标标都等于 ，所以它的方程是
当直线 与 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程是
特别地， 轴、 轴所在的直线的方程分别为 =0和 =0.
例2 已知直线 的斜率为 ，与 轴的交点是 ，求直线 的方程.
解：由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 ，
即 .
6. 由一般到特殊，引导学生建构数学理论
教师：我们把直线 与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线 在 轴上的截距。方程 由直线的斜率 与它在 轴上的截距 确定，所以叫直线的斜截式方程。
问题6 由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数？
说明：
(1)直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与 轴交点的纵坐标，从而给出了交点坐标 ；
(2)直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围：直线的斜率存在；
(3)直线的斜截式方程 与一次函数的表达式 虽然有着相同的“面孔”，但有着本质的区别，前者的 可以为 ，后者的 却不可为 .
(4)直线的斜截式方程 中的“ ”及直线“在 轴上的截距”，也叫“纵截距”.名称中虽然有个“距”字，但这里的“ ”却既可以为正、为负，也可以为0.但距离是恒为非负的，所以有“截距非距”之说.
7. 及时巩固所学，形成技能
练习：课本P95 2、3
2.填空题
（1）已知直线的点斜式方程是 ，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是
（2）已知直线的点斜式方程是 ，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是
3.写出下列直线的斜截式方程
（1）斜率是 ，在 轴上的截距是 （2）斜率是 ，在 轴上的截距是
8.合作探究，让所学知识得以升华
探究1 在同一平面直角坐标系中作出直线 ， ， ， ， ，这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程 作铺垫)
推测：当 取任意实数时，方程 表示的直线都经过点 ，它们是一组共点直线. 我们称之为共点线系。
问题7 这组直线包括所有过点 的直线吗？
答：不含过点 的直线 .
探究2 在同一平面直角坐标系中作出直线 ， ， ， ， ，这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程 作铺垫)
推测：当b取任意实数时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线，它们斜率相等，纵截距不等.我们称之为平行线系。
9.通过及时应用巩固探究成果
练习：当 取任何实数值时，
（1）直线 恒过点 . （2）直线 恒过点 .
（3）直线 恒过点 . （4）直线 恒过点 .
10.回顾小结，整理所学内容
（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）本节课用到的数学思想有哪些？(数形结合、分类讨论等)
（3）通过本节课的学习，你会解哪些类型的题目？
①由直线上一个点的坐标和直线的斜率求直线的方程；
②能判断方程 所表示的直线（ ）恒过定点 .
11.课后作业（再巩固数学）
必做题：习题3.2 T1.(1)(2)(3)、T2
思考题：如果给出直线上不同的两点，我们如何求此直线的方程？
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