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视频标签：函数的单调性
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视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《函数的单调性》江汉油田
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《函数的单调性》江汉油田
《函数的单调性》教学设计
江汉油田高级中学 孙志
一、教学内容解析
1、教材地位
本节课是人教版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言描述函数的上升或下降趋势及简单应用.
函数单调性是学习完函数概念后研究的第一个也是最基本的一个性质，为后继学习幂函数、指数函数、对数函数等的性质奠定了重要基础；在对函数定性分析，求最值和极值，解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用，因此它是高中数学知识的核心知识之一.
2、教学重点 函数单调性的概念、判断及证明.
3、教学难点 归纳函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
二、教学目标设置
1、让学生由“数形结合思想”理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性的定义来判断或证明函数单调性的方法，会用函数的单调性解决简单的函数问题.
2、课堂通过对函数单调性定义的探究，让学生对函数单调性的认知从图形感受到数学语言的定量刻画，体会数形结合的数学思想，逐步培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.
3、教学中通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从有限到无限的认知过程，引导学生参与课堂学习，锻炼探究、概况和交流的学习能力.
三、学生学情分析
1、教学有利因素
学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习，已经对函数单调性有了形的直观认识，了解图象的上升或下降趋势可以用x于y的变化关系来进行描述.
2、教学不利因素
本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象，从有限到无限是个很大的跨度，而高一学生的代数推理能力比较薄弱，抽象概括能力不强，逻辑思维水平也不高，这些都容易产生思维障碍.
四、教学策略分析
为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我将充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象和几何画板直观演示，在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.
五、教学过程
1、思考引入
问题1：已知函数 ，比较 的大小关系？
【设计意图】通过这个思考题，引出本节课的内容，让学生领悟学习函数的单调性的必要性和重要性.
2、问题导学探究
问题2：从左往右看，函数图象是上升还是下降？这种上升或者下降的趋势能否用图象上的动点的横纵坐标的关系来描述？
【设计意图】通过图象的直观感受和几何画板的动态感受，让学生了解函数递增性的图象语言和文字语言.
问题3：该如何用数学语言来描述呢？
预案：学生回答“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”，然后给学生展示一段有升降的图象，接下来让该生对自己的答案进行修改.
【设计意图】通过探究，让学生明白可以用数量的大小关系来描述单调性，并且掌握“任意”取值的必要性.
展示增函数的标准定义，并让学生类比给出减函数的标准定义.
问题4： 揣摩定义，想想区间D和函数的定义域是什么关系，增减函数的区别在哪里？
【设计意图】仔细揣摩定义，加强对定义的理解，并指出函数的单调区间和单调性的定义.
问题5：根据定义给出了四道判断题，请判断正误.
【设计意图】对定义进行挖掘，让学生自己讨论得到结论，注重学生的自主性.
3、典例精讲
例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函 ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?
问题6：这几个区间应该写成开区间还是闭区间或者半开半闭区间？
【设计意图】通过例1学习用图象判断函数的单调区间，并且通过例1强调区间的书写格式和函数的单调性是函数的局部性质，同时渗透数形结合的思想.
问题7：当函数的图象不确定或者不知道的时候，还可以怎么判断函数的单调性？
例2.物理学中的波意尔定律 （ 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之.
问题8：例2从数学的角度看，是要证明什么？
【设计意图】和学生一起分析例2，将题中的物理模型转换成数学模型，和学生一起探讨如何用定义证明函数的单调性，总结出四个步骤，指出证明中变形所需用到的常用方法.
教师板书证明过程和证明中用到的四个步骤.
变式探究
画出反比例函数 的图象.
（1）这个函数的定义域是什么？
（2）它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论.
请一位同学板书,一位同学来发现问题.
问题9：能不能把函数的单调区间和定义域一样，为什么？
【设计意图】巩固证明的过程，强调单调区间的书写.
4当堂训练达标
（1）函数 在 上是单调减函数，则有（）
A B C D
（2）函数 在区间(2,4)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
（3）函数 的图象如图所示,则函数 的单调递增区间是_____
（4）定义在 上的函数 对任意两个不相等的实数 ，总有 成立，则有（）
A 函数 先增加后减小 B 函数 先减小后增大
C 函数 在 上是增数 D 函数 在 上是减函数
（5）用单调性定义证明函数 在(-∞,-1]上是单调减函数.
【设计意图】巩固学生的学习效果，及时进行查漏补缺.
5、课堂小结
问题10：本节课你学到了什么知识？
【设计意图】通过学生总结，教师补充的形式，将本节课的知识进行小结，对本节课的知识进行梳理.
6、作业 习题1.3 2、4题
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