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视频标签：湖北好课堂,函数的单调性
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视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《函数的单调性》湖北
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《函数的单调性》湖北
《函数的单调性》教学设计
湖北省荆州中学 张静
一、教学内容解析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的理论依据，在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有重要应用，因而函数单调性概念是中学数学中最重要的概念之一．
在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图象，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
本节课的教学重点：形成增（减）函数形式化定义
二、教学目标设置
（一）学习目标
1. 结合函数图象,逐步让学生理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.
2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．
3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
（二）目标解析
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.
2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．
3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的 ，都有 ”的数学语言进行刻画.从高度随时间变化的具体例子入手,层层追问,引发学生思考,最终归纳得出函数单调性定义.在这一过程中,培养学生良好的思维品质，提高考虑问题全面的思维能力．
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量 的变化而变化的规律和性质.
“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“ 随着 的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的 ，都有 ”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的 ．
教学中，通过观察引例的图象变化特征的研究，针对图象上升的部分,即“ 随着 的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图象观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．
教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。
四、教学策略分析
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：
（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察过山车高度随时间变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．
（2）探索概念阶段，紧扣主线．
①以过山车高度变化曲线为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．
②通过观察、猜想、分析，从而用数学符号语言定描述函数在 的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．
（3）注重思想方法的培养．从过山车高度随时间变化的函数图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．
（4）注重数学应用意识的培养．在整个教学过程中，通过高度曲线创设情境，找准切入点，进入新课．利用高度曲线构造反例，帮助学生理解函数单调性中的“任意性”．在归纳反思中，利用高度曲线说明学习函数单调性知识具有实际意义．
五、教学过程
（一）创设情境，引入新知
探究一：我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如过山车在24秒内的高度随时间变化的曲线图．
问题1：观察图象,说说高度随着时间的变化在怎样变化？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充．
【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察过山车高度随时间变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．
（二）观察探究，形成新知
问题2：如何用数学符号语言描述函数图象在 上, 随 的增大而增大？
师生活动：学生在教师的引导下，得出：
在区间 上取 ，当 时，有 ．
问题3：反过来思考,在区间 上取 ，当 时， 成立,图象在区间 上就一定是上升的吗?
学生相互合作交流讨论：由学生上台在黑板上画出反例,说明图象不一定是上升的，老师讲解．
学生在教师的引导下，总结：
函数在区间 上任取 值，当 时，都有 ．就能说明函数在区间 上 随 的增大而增大；函数在区间 上是增函数，区间 是增区间。
【设计意图】观察图象，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数在区间 上任取两个 ，当 时，有 ”来描述“ 随着 的增大而增大”，学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．
将区间用字母D表示，就得到了函数单调增函数的定义：
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数，区间D是增区间。
【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
问题4：减函数的定义呢？大家一起说！
【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．
辨一辨：判断下列说法是否正确，说明理由：
（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.
（2）对于函数 在其定义域 内有无穷多个值 ，且 ，满足 ，则函数 在其定义域内是增函数.
（3）对于区间 上的任意 有 ，则函数 在区间 上单调递增．
【设计意图】通过辨析，进一步加深学生理解定义中的关键词．
（三）巩固提高，应用新知
例1 下图是定义在区间 上的函数 ，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
①单调区间是定义域的子集；
②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；
③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．
【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．
例2：物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减小时，压强 将增大．试用函数的单调性证明之．
师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．
【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．
问题5：探究初中所学一次函数，二次函数，反比例函数各自的单调性，重点探究反比例函数的单调性。
探究二：初中学习的几种函数的单调性
问题6：回答初中所学几种函数类型，及它们各自的单调区间和单调性。
师生活动：学生讨论，老师指出两个减区间 不能并起来，强调判断的依据就是单调性的定义。
【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．
练习：给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.
（四）归纳反思，深化新知
教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．
【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．
（五）布置作业：
书面作业：课本第39页习题1.3 A组第1、2、3题．
课后探究：研究函数 的单调性，并证明你的结论．
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