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视频标签：湖北好课堂,球的体积,和表面积
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《球的体积和表面积》湖北省沙市中学
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《球的体积和表面积》湖北省沙市中学
球的体积和表面积教学设计
湖北省沙市中学 张慧敏
一、引入
（激情地）清晨的露珠、火红的太阳、皎洁的明月，这些大自然中的实物都给我们以球体的形象。这个美丽的几何体，它的体积和表面积，该如何计算呢？（停顿）本节课，就让我们一起来探讨吧！【板书标题：1.3.2球的体积和表面积】
二、球的体积公式
1.观察猜想
问题1：同学们，我们已经学过了哪些几何体的体积？（生齐：圆柱、圆锥、棱柱、棱锥）请看大屏幕，这里有三个底面半径均为 且高相等的圆锥、半球和圆柱。
此时，圆锥的体积是？（生齐： ）圆柱的体积是（停顿）（生齐： ），可 等等）否借助已知几何体的体积，猜想一下，半球的体积是多少？（学生会猜
2.实验验证
问题2：不错，那到底是多少呢？老师带来了3个物件，大家能否设计一个数学实验，验证一下你们的猜想？（请2个学生演示实验，注意让全班同学看到）【5分钟】
问题3：通过以上小实验，你们的最终猜想是什么？
（学生会答： ）（引导追问：半球的体积和圆柱与圆锥有什么关系呢？（ ）
这位同学的想法太妙了！我们发现，圆柱中挖去一个圆锥后，得到的几何体和半球体积是一样的！【板书： 】伟大的数学家庞加莱曾说：“猜想可用于发明，但逻辑用于论证”。这样的想法是否严谨，能否从数学上进行推导呢？（停顿）
3.公式推导
提起圆周率，大家会想到谁？（祖冲之）祖冲之的儿子祖暅发现了这样一个原理。这个原理西方数学家在一千多年后才发现，它究竟是怎样的呢？我们通过一组图片一起来学习。
这两幅图中的几何体体积有变化吗？（没有）如果用平行于底面的平面去截几何体，每一个截面的面积是否相等？（是相等的）
点动成线、线动成面、面动成体，如果每个截面面积始终相等，那么两个几何体的体积就一定相等。这便是祖暅原理的本质，具体如下【ppt展示：两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．】
幂势既同，则积不容异。幂势指等高处的截面面积，积指体积。注意，截面面积始终相等。我们通过几何画板动态演示进一步体会。
问题4：那如果要证明两个几何体体积相等，通过祖暅原理，可把问题转化为要证什么呢？（生：证截面面积相等）
截面有什么要求？（强调原理中的平行于底面、任意的）
问题5：受此启发，你能证明 吗？请你先自己想想（一分钟后）下面以前后左右4人为一个小组，进行交流讨论。（9分钟）
【黑板画图，左边半球，右边圆柱，不画减去圆锥】【10分钟】
（巡视时启发学生：用平行于底面且与底面相距 的平面去截半球，再用此平面截圆柱挖去圆锥的几何体，证明截面面积始终相等。）【13分钟】
学生展示（要学生先讲开始正着放圆锥，然后改为倒着放圆锥，即可得证）
(1)半球截面
设平行于大圆，且与大圆的距离为 的平面，截半球所得圆面的半径为 由勾股定理得 ，那么截面面积
（2）圆柱挖去圆锥的几何体的截面
设平行于大圆，且与大圆的距离为 的平面，截圆柱圆锥组合体所得圆环面积为
由于 和 为等腰直角三角形，所以 （
(3)由祖暅原理求球的体积
板书：设球的半径为 那么它的体积为 【20分钟】
历史上，除了用祖暅原理来探求球的体积公式外，还有很多其它美妙的方法，下面我们通过微课视频一起来欣赏。【微课视频】
师：你能归纳这种求体积的精妙之处吗？（将球做了分割）【22分钟】
三、球的表面积公式
问题6：受此启发，你能尝试用此思想推导球的表面积公式？应该先做什么呢？（分割）如何分割呢？（经纬线）
师引导：把一个半径为 的球的表面利用经纬线分成 个小球面片,设它们的表面积分别是 把球心 和每一个小球面片的顶点连接起来。分割后的小球面片非常小，可近似为平面，如同我们身处地球，但总感觉地球是平的一样。
这样，整个球体被分割成 个小椎体，如此分割，怎样研究球的表面积？【25分钟】
（小组交流，学生交流讲述）
【备用的教师启发语
问题：此时球的体积还可怎么表示？
问题：为什么小椎体的高为
分割得越细密,也就是每一个小球面片越小,小锥体就越接近于棱锥,如果分割无限加细,每一个小球面片都无限变小,那么 就趋向于
设球的半径为 那么它的表面积为 】【30分钟】
师：由此可见，分割求和不仅可以指导我们求体积，还可以借助体积求表面积，至此，我们得到了表面积和体积的公式，这个公式可以帮助我们解决很多实际问题.
四、应用
大家都知道阿基米德吧？他是古希腊最伟大的数学家和物理家，被后人尊为希腊七贤。圆柱容球是阿基米德最为喜爱的几何图形。大家看大屏幕。
例1试求球与圆柱的体积之比，球与圆柱的表面积之比。(学生板书)解：
【35分钟】
数学与物理紧密相连。2016年诺贝尔物理学获得者创新地运用高等数学中“拓扑”的概念研究物理问题，取得了举世瞩目的成就。在我们身边，也有物理和数学紧密结合的实例。
例2众所周知，绿叶上的露水近似球形，而不是其它几何体，有何奥妙？（停顿）对此自然现象，物理知识解释为：一定体积的液体，液体表面的基本特性是倾向于收缩，使得液体表面积最小。试以同体积的正方体为例进行对比，通过计算加以证明.
审题：当体积一定时由于液体倾向于收缩，会使得表面积尽可能小。所以假设正方体和球的体积相等，均为 比较两个几何体的表面积大小。
解：设球和正方体的体积均为 球的半径为 正方体的棱长 球的表面积为 正方体的表面积为
则
【42分钟】
至于与其它几何体的比较，感兴趣的同学可查阅网上资料。猫睡觉的时候会团成一团，那是为什么呢？在体积相等的条件下，球的表面积比一般几何体要小一些。原来日常生活中还蕴含着很多的科学道理。
五、课堂小结
问题8：通过这节课大家有什么收获？请大家畅所欲言。
1.3.2 球的体积和表面积
一、体积
1.
2.证明
，
二、表面积
球半径为
例2.
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