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视频标签：向量数乘运算,几何意义
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《向量数乘运算及其几何意义》湖北省潜江
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《向量数乘运算及其几何意义》湖北省潜江
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
湖北省潜江中学 杨金锁 高二
【内容和内容解析】
本节在完成对向量加减法运算学习的基础上引入向量的数乘运算。其知识的内涵就是向量数乘运算的概念，及其运算律的揭示，同时在此基础上与其几何意义相联系来共同揭示此节知识的本质。让学生真正领会数乘运算的意义、运算律，向量共线定理。
【目标和目标解析】
(1) 在经历了特殊情况下的向量变化后，理解向量数乘运算及其几何意义。
(2) 通过比较的体验，发现并掌握向量数乘的运算律。
(3) 在合作探究的基础上，理解掌握向量共线定理及其证明过程，并会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
(4)让学生领会数形结合的思想，掌握从特殊到一般的方法，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
【教学问题诊断分析】
学生在理解数乘运算的几何意义时可能会出现障碍，其原因是学生已经习惯了数的运算法则，他们难以区别数的运算法则与数乘运算规律，同时他们对共线与平行的位置关系的理解，也给向量共线定理的探究设置了一定的障碍，因此数乘运算的几何意义的理解以及向量共线定理的探究及其应用就成了教学的难点。
【教学支持条件分析】
运用多媒体辅助教学。通过几何画板，flash等演示，揭示规律。
【教学过程设计】
一、课题引入
类比数的乘法，从相同向量的连加引入向量数乘运算，由探究引入：已知非零向量
，作出++和（
）+（）+（）。
问题一：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？如何表示？
二、向量数乘运算的定义及其几何意义
一般地，我们规定实数
与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
，它的长度与方向规定如下：
（1）
（2）当
时，的方向与的方向相同；
当
时，的方向与的方向相反；
当
时，
。
三、类比探索，发现规律
1.向量数乘运算律
问题二：根据定义，求作向量
和
，并比较它们的关系。
结合律（1）
分配律（2）
（3）
例5 计算
（1）
；
（2）
；
（3）
.
我们把向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意的向量，
以及任意实数
1，
2恒有
2.向量共线定理
问题三：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
已知（
）与，实数。
①若
，则由向量数乘的定义知，与共线。
②若，共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即
当与同向时，有
；
当与反向时，有
。
定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使
四、应用举例
例6 如图，已知任意两个非零向量、，试作
，
，
。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线。由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线。本题中，应用向量知识判断A、B、C三点是否共线，可以通过判断向量
、
是否共线，即是否存在，使
成立。
例7 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
，
，你能用、表示
、
、
和
吗？
分析：引导学生运用向量加、减法、平行四边形法则。指出用向量表示几何元素是用向量方法证明几何问题的重要步骤。
五、归纳总结
（1）回忆整理向量数乘运算的定义，几何意义，运算律。
（2）理解两向量共线定理及其证明，总结判断三点共线的方法。
定义
实数与向量的积————实数与向量的积满足的运算律
向量与非零向量共线的充要条件
【目标检测设计】
一，随堂练习 P90 4、看学生能否对向量的共线作出准确快速的判断。
5．看学生对向量数乘运算的运算律能否正确使用，解决问题。
二，课后作业
1：课本习题2.2A组第9、12、13。
巩固当天所学知识，达到熟练掌握的目的。
2（选做）：B组第3、4、5题
锻炼思维，提高能力。
附：选手简介
杨金锁，女，生于1982年10月。2004年毕业于湖北师范学院数学系本科，毕业后到潜江中学工作自今。现为中教二级。
在工作的5年多时间里先后获得校级，市级教学比武一等奖。多次获先进个人，优秀竞赛辅导员等奖励。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
