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视频标签：湖北好课堂,椭圆及其标准方程
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《椭圆及其标准方程》黄梅
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《椭圆及其标准方程》黄梅
2.2.1《椭圆及其标准方程》教学设计
黄梅五中------颜采霞
一、教学内容解析
《椭圆及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章第二节的内容，是继学习圆以后运用“曲线与方程”理论解决的二次曲线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说， 它为我们研究双曲线、抛物线这两种曲线提供了基本模式和理论基础。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。另外，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
二、教学目标分析
1．知识与技能
（1）掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导；
（2）通过椭圆标准方程，能够判断焦点位置，及a,b,c的值；
（3）会根据题意利用恰当方法求相应椭圆标准方程.
2．过程与方法
通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、分析、概括等逻辑思维能力．让学生经历椭圆标准方程的推导过程，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。
3．情感态度与价值观
（1）通过探究椭圆定义的实验，激发学生探索数学的兴趣，培养学生团队协作能力，勇于探索的精神.
（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.
三、学生学情分析
我任教的学校是乡村的普通高中，学生各方面的能力与基础相对较弱。
1、学生已有认知基础：学生已经学习了圆的概念及其方程，还有曲线与方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力。
2、达成目标所需认知基础：解析法的数形结合思想和求曲线方程的步骤。
3、已有基础与需要基础之间的差异：关于椭圆概念的获得，学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征。但学生不容易形成概念体系并用精准的语言描述。在概括椭圆的定义时，需要教师作适当的启发，然后再用数学语言进行精确的描述。在推导椭圆标准方程时，如何化简方程使其最简洁，学生已有的知识与计算能力不能完全胜任独立解决的要求，需要教师作适当的讲解。
根据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导与化简为本课的难点。
突破难点策略：首先分析含一个根式的等式的化简，再者通过学生合作探究，分组讨论含有两个根式的等式的化简，比较不同方法的优缺点配合多媒体演示，再提炼总结。
四、教学策略分析
（一）教学方法：
主要采取探究式教学法和讲授发现法，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合，具体做法如下：
1、学生对椭圆的认识比较浅，故用ppt展示实物模型导入新课，目的是激发学生学习数学的兴趣，使学生体会到数学来源于生活。从感官上为学习椭圆做准备。
2、前面已经学习了圆的定义，学生通过做实验，观察椭圆的形成，有能力通过合作探究得出椭圆定义，教师完善定义及提醒注意事项。
3、学生刚学完曲线与方程的知识，对探究推导椭圆方程有一定难度，特别是对含有两个根式的等式的化简，因此在这一过程中主要是教师引导学生共同推出椭圆标准方程，并总结方程特点，多媒体展示。
（二）教具准备：多媒体课件，投影仪和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
五、教学过程设计
（一）创设情境，认识椭圆．
材料1:对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
材料2:“天宫一号与神八对接”模拟轨道图．请问：天宫一号与神八的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）
引入课题：椭圆及其标准方程．
（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品及“天宫一号与神八对接”的轨道图片，激发学生兴趣，使学生体会到数学来源于生活，培养爱国思想.）
（二）动手实验，亲身体会．
1．学生分组试验
(1)取一条长为6cm的细绳；
(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点 、 ；
(3)用铅笔尖（ ）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？
注意观察:椭圆形成过程中绳长与两定点的距离的大小关系，及笔尖满足的几何条件.
（教师巡视指导，展示学生成果）
2.分析实验，得出规律．
(1)在画图过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
(2)在这一过程中，绳子长度变化了吗？说明了什么？
(3)若记绳长为2a，你能说出在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？
（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，让学生动手操作、合作交流，调动学生学习的积极性。）
（三）总结归纳，形成概念．
学生总结规律： 点M轨迹为椭圆；
点M轨迹为线段F1F2；
点M轨迹不存在．
定义：平面内，到两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．
（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.）
（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）
（四）合理建系，推导方程．
1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系、设点；⑵找等量关系；⑶列方程式；⑷化简；（5）检验.（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）
（设计意图：为后面推导椭圆标准方程作知识铺垫.）
2.如何选取坐标系？
教师提示学生类比圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？
（设计意图：学生已经掌握建坐标系的原则，并且知道可以有多种建系方法，类比圆的方程的推导，直接得出方案．）
3．推导标准方程．
选取建系方案,教师引导学生并共同完成椭圆标准方程的推导.
按方案：以过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系．设 ，点 为椭圆上任意一点，
则 （称此式为几何条件），
∴ 得 （实现几何条件代数化）.
（想一想：下面怎样化简？）
（１）教师为突破难点，进行引导设问：
我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？根据学生提供的方案，对比直接平方与移项后再平方的运算情况，再总结化简技巧.
经化简，得 ．
（2） 的引入．
由椭圆的定义可知， , ∴ ．
让点 运动到 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得 ， 的几何意义，进而自然引进 ，此时设 ，于是得 ， 两边同时除以 ，得到方程： （称为椭圆的标准方程）．
(设计意图：让学生明白b有明确的几何意义.)
（3）建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程．
要建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？
方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母 ， 交换了位置），直接得到方程．让学生课后自主探究.
（设计意图：对于普高学生来说，椭圆的标准方程的推导与化简是个难点，如果是学生自主探究，时间上是很难把控的，因此是师生共同推导，教师协从指导．利用类比，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）
4．归纳概括，掌握特征．
（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；
（2）椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系： ；
（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.
学生填表，投影结果
（设计意图：有利于学生进一步掌握椭圆标准方程的形式及意义，为后面的例题做知识铺垫。）
（五）尝试应用，范例教学．
例1、判断下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上？写出焦点坐标．
注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．
（设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.）
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.
变式：将上题焦点改为 、 ，结果如何？
(设计意图：提醒学生区别两种形式的椭圆标准方程。)
例3、 椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(-4，0),F2(4，0)，椭圆经过点M（ ），求该椭圆的标准方程.
（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，学生演板．一起讨论总结．）
解题思路1：利用椭圆定义椭圆上的点M（ ）到两个焦点F1、F2的距离之和为常数2 ,求出 值，再结合已知条件和 、 、 间的关系求出 的值，进而写出标准方程．
（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）
解题思路2：先根据已知条件设出焦点在 轴上的椭圆方程的标准方程 ，再将椭圆上点M（ ）代入此方程，并结合 、 、 间的关系求出 、 的值，从而得到椭圆的标准方程为 ．
(设计意图：类比前面求圆的标准方程的方法，利用待定系数法求椭圆的标准方程.)
（六）回顾反思，归纳提炼.
1.椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于│F1F2│)的点的轨迹，叫做椭圆.其中两个定点叫椭圆的焦点，两定点之间的距离叫焦距.
2.椭圆标准方程
(1)、 椭圆焦点在x轴上： ；
(2)、 椭圆焦点在y轴上： .
3.求解椭圆标准方程的解题方法及数学思想方法.
（七）课后作业，巩固提高．
课本练习1、2及课后习题2.2A组2.
六、板书设计：
§2.2.1椭圆及其标准方程
一．椭圆的定义
定点F1,F2 , |F1F2|=2c 三.例题
定值 四.小结
二．椭圆的标准方程 ( a2=b2+c2 )
焦点在 轴上: 五.作业
焦点在 轴上:
七、教学反思
①学生通过自主探究得到椭圆的图形，很有成就感，积极性很高。②在总结椭圆定义时易忽略常数的限制条件，需要老师引导补充。③在推导椭圆标准方程过程中，学生自主推导比较费时，特别是化简的过程，因此采取老师引导为主的教学方法。④在例3中，学生采用代入点的坐标解方程组的待定系数法求椭圆标准方程，计算量大，学生容易出错。因此，在以后教学中要多注意学生的计算问题，提高计算能力。
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