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视频标签：湖北好课堂,函数的奇偶性
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视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《函数的奇偶性》宜昌
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《函数的奇偶性》宜昌
函数的奇偶性教学设计
郭 锐
湖北省宜昌市夷陵中学
一、教材分析
《函数的奇偶性》是《高中数学人教A版》（必修1）第一章1.3.2节的内容。函数的奇偶性是部分特殊函数所具有的性质，并非所有函数都具有奇偶性。学习函数的奇偶性对于整体把握函数的特征有很大的帮助。奇偶性所描述的特征，可以从两个方面来认识。从图象来看，奇偶性反映的是函数图象整体的对称性（中心对称或轴对称图形）；从函数符号来看，奇偶性所反映的是对应点的坐标之间的关系。因此，学习函数的奇偶性，最重要的是抓住图象与符号之间的联系，做到“数形结合”，这也是本节课的重要思想。
从知识结构的承上来看，函数的奇偶性是继函数的单调性之后的又一重要性质。在此之前，学生已经学习了函数的单调性，单调性所描述的是函数的变化规律，由变化规律可以求函数的最值等重要内容。而函数的奇偶性所描述的是函数的对称规律，由对称规律可以知道函数的整体特征。类比函数单调性的教学，我们的教学过程可以仍然按照对特殊函数的观察、分析、归纳，发现函数的对称的直观特征，并进行定量分析，进而发现关于原点对称，和关于y轴对称的数字特征，加以解析研究，用准确的数学语言刻画.从知识结构的启下来看，它既是函数概念的拓展和深化，也是为继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数奠定基础。
从知识的横向发展来说，利用定义证明函数的奇偶性是算法思想的提前渗透，在强调对奇偶性的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫.
基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：①函数奇偶性的定义，包括概念的由来，概念的内涵；②运用图像和定义判断函数的奇偶性.
二、教学目标的设定
根据新课标理念，本着培养学生数学核心素养的基本原则，依据学生的认知心理规律和我国新一轮基础教育的改革初步目标，确定本节课的教学目标如下：
知识与技能：（1）掌握函数奇偶性的图象定义和符号定义，能从数和形两个角度认识函数奇偶性。
（2）掌握判断函数奇偶性的方法和步骤，能运用定义判断函数的奇偶性。
（3）能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
过程与方法：经历函数奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力.
情感、态度与价值观：（1）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。
（2）通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。
三、学情分析
从学生的知识上看：初中时学生已经学习过中心对称和轴对称图形的相关概念。学生对 等函数的图象比较熟悉。因此在此基础上引入“奇偶性”的概念。在引入概念时始终结合具体的函数图象，学生在学习时始终处于“最近发展区”，符合学生的认知规律。
从学生现有的学习能力来看，通过初中对函数的认识和实验和前面研究函数单调性的方法，学生已具备一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．
从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些对称的实物实例，主要是图形的对称，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述函数对称是学生关注的问题，也是学习的重难点问题．函数的奇偶性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础．但是如何运用数学符号将自然语言的描述转化为形式化的定义，学生接受起来还比较困难．在教学中要多引导，让学生真正的理解函数奇偶性的定义．
基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：①用符号语言去表述函数奇偶性的定义（即奇偶性的形式化定义）；②运用定义严格证明函数的奇偶性.
四、教学方法
1．教法分析
《新课标》指出：“学生在整个教学活动中，始终是认识与发展的主体。”遵循“教必须以学为基础”的原则，结合学生在形象思维能力及概括、理解能力上的差异，我选择的是“问题导学，合作探究”的教学方法。
2．学法分析
立足于学生已有的知识经验和认知发展的水平，让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中，亲身经历概念的发生、发展、形成的过程，充分发挥学生的动手参与实践的能力，使学生的学习过程成为在教师指导下的知识“再创造”过程。在这一过程中，师生之间、生生之间的交流显得充分自然，合作学习的能力会得到较好的发展。
五、教学策略
数学源于生活，在体现到大量对称美的实例让学生感受到数学的应用性；数学有它的历史，数学知识讲究发生发展的过程，同时理解数学知识，也需要一定的心理过程，因而在设计数学教学时，应充分考虑知识前后的联系，和学生的认知规律去获得奇偶性的定义.在得到函数的的奇偶性定义同时,应以一些实例进行概念的辨析和概念的深化，达到概念进一步的认识.再者，“数学是玩概念的，技巧不足道也”，在概念形成后尽可能多的让学生多举出奇函数或偶函数的例子，来达到本节课的教学评价.基于以上分析，为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我将本节课的教学流程确定如下：
六、教学设计
1．创设情境、激发兴趣．
通过让学生观察生活中大量对称美的实例，如天安门；国家大剧院，传统剪纸，华为logo等，体会生活中的大量对称性。自然联想到数学中的对称性，同时激发学生的学习兴趣，轻松引入课题．
2．引导发现，新知初探．
探究一、对于 的函数，若改变 的取值，如3、4，请画出它的大致图像，并说明图像的对称特征.
设计意图：以学生熟悉的函数 , 为例，让学生自行画出 的图像，并借助计算机给出 的图像，让学生总结出 图像关于原点对称， 图像关于 轴对称，因而取名为“奇函数”“偶函数”的这一历史渊源（由著名数学家欧拉发现），达到点题目的，既将数学文化融入生活，也体现了数学知识的发生发展过程.
探究二、根据图象完成下列表格
-a …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… a
-a …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… a
（1） 这两个函数图象有什么共同特征？_______________________________[—_____——————---来源:学§科§网Z§X§X§K]
（2） 从表格上对称的自变量来看，它们的函数值有什么样的规律.
（3） 如何用函数表达式式描述函数图象关于 轴对称呢?
设计意图：先给出两个关于 轴对称的函数的图象，让学生有一定“形的认识”，接着通过让学生填表，以及结合图像的动态实现，让学生上升到数的认识，最后上升到符号.如何从数的角度认识函数图象关于y轴对称是教学的难点。
3．追根溯源，建构新知．
（4） 我们刚刚把图像关于 轴对称的图像称为偶函数，你能否运用数学符号重新给偶函数下个定义呢？
设计意图：这个过程也是学生从感性认识上升为理性认识的关键，尤其是把直观的图像运用抽象的数学符号去表示更是学生的难点，因此在教学中偶函数的定义不能过早的给出，要一点一点的慢点挖掘，使概念自然的生成。
一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数 为偶函数.
（5） 观察下面关于原点对称的函数的数字特征，类比偶函数的定义，你能够快速的给奇函数下个定义吗？
-a …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… a
-a …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… a
-a …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… a
……
无 1
……
一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数 为奇函数.
设计意图：乘胜追击，顺势而为，学生有了偶函数定义后，类比给出奇函数的定义
4．剖析概念，新知再探
（6） 若一个函数仅满足 ， 能否说明这个函数关于原点对称？那么它是偶函数吗？
设计意图：在学生给出偶函数的定义后，很容易忽视对任意二字的理解，因而设计此问题可以更加加深对偶函数的认识.
探究三、判断下列函数的奇偶性？
设计意图：把定义域变成不关于原点对称问题的探讨,深化定义域优先的原则及对 的认识，并得到定义域不关于原点对称，函数绝不为奇偶的深刻认识.
5．尝试应用，提炼方法
例1、观察下列图像，并判断函数的奇偶性.
设计意图：通过图像进行对奇偶性的辨认，一方面是对定义域是否关于原点对称去辨别函数是否具有奇偶性这一前提的应用，也是把函数按照奇偶进行分类，分成三类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数，提出下一个探讨问题.
探究四、你能否举出一个既是奇函数又是偶函数的例子？
设计意图：关于既奇且偶函数，会存在两级分化的想法：有的学生一下就会举出 这一个函数的认识，而有的学生却难以发现，进一步提出，像这样的函数表达式是否唯一，让学生从定义上上进行逻辑认证，也为后面运用定义判断函数奇偶性的第二种方法进行铺垫.
例2、判断下列函数的奇偶性．
（1） （2）
（3） （4）
设计意图 通过例2，学生能够加强运用定义判断函数奇偶性的方法：用定义法判断奇偶性的一般步骤是，第一步：判断定义域;第二步;判断 的关系;第三步：下结论。
6．合作探究，应用创新
探究问题五、根据我们前面学习的函数，你能否构造出一些新的函数，并判断其是否具有奇偶性？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
设计意图：这是一个开放性的探究问题，在这一环节可以激活学生思维，提升应用的灵活性，得出丰富有用的结论,如：奇偶函数的加减性质；奇偶函数的复合性质等.并且可以将前面判断奇偶性的两种方法运用其中，较好的体现学以致用，不失为一个亮点.
7．反思总结，升华认知
如梦令•函数奇偶性
常思函数日暮，沉醉不知归路； 想得奇偶断肠处，惊起细胞无数.苦心人，天不负，对称之美来相助；一看二找判断渡，喜笑颜开数形悟.
设计意图：诗词结尾，体现数学的人文情怀，也彰显出数学的育人价值.
七、教学反思
1. 理解教材 探寻本质
新课标教材函数奇偶性的设计，强调借助生活实例和特殊函数，通过直观感知、符号抽象等认识过程，引导学生从数上升到形，重视概念的生成过程. 本节课教学设计从两条主线引导学生认识函数的奇偶性，函数图象和函数解析式。先从图象入手，让学生感性认识奇偶性所描述的是函数图象的对称性，然后过渡到函数符号的特殊关系。从具体的函数图象到抽象的函数符号，这样的设计符合学生的认知规律。
2. 理解学生 主动探究
本节课以生活实例引入，激发学生的学习乐趣，强调从特殊出发，由形的直观特征，上升到数量的逻辑验证，设计开放性问题，让学生自己自行组函数，自主探究，一方面是对本节课的教学评价，另一方面也是一个整体的提升. 本节课贯穿着以学生为主体的指导思想，从课前预习，到新课讲授，再到例题分析，最后到练习巩固，都围绕着学生的学习展开。通过学生自学和反馈、练习和展示等方式，充分反映学生学习的真实情况，教师及时引导和点拨。
3. 理解教学 重视过程
重视过程的核心是强调教学过程中的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。在具体教学中，如果教师更加大胆地放手，学生思维火花的碰撞会更生动精彩。
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