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视频标签：曲线与方程
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视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《曲线与方程》湖北省仙桃
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频《曲线与方程》湖北省仙桃
2.1.1曲线与方程（教学设计）
湖北省仙桃中学 邓晓霞
一、教学内容解析
1．内容：本节课为选修2-1第34-35页中的第二章《圆锥曲线与方程》的第一节《曲线与方程》的第一小节《曲线与方程》。
2.内容分析：
（1）本节课是本章的起始课，教学内容是曲线与方程的概念，它是学生已学过直线与圆的方程知识的延续和拓展，在学习圆锥曲线与方程之前安排本节内容是为了从理论上扫清障碍，同时也是给解析几何这门学科铺下了一块奠基石。只有建立了曲线与方程的一一对应关系，才能够将两者等价转化，才能理直气壮地运用方程来研究曲线的性质，因此，本节内容起到了承上启下的重要作用。
（2）曲线与方程的关系就是曲线上的点集与方程的解集之间的一个一一对应关系，前者直观地反映了事物的几何特征，而后者刻画出了事物内在的数量规律，因此，本节所学的知识本身就体现了数形结合的思想。另外，从直线与圆中找出一般规律得到曲线与方程的本质定义，服从思维规律体现了从特殊到一般的数学思想。在研究曲线与方程的过程中离不开平面直角坐标系，因此坐标法成为了解析几何最基本的研究方法。
（3）本节课是起始课内容除了第34-35页外，还有章首页中的导读，教学中也要有所涉及。
（4）本节内容抽象性较强学生难懂，加之实例课本安排较少,增加了对概念理解的困难。
通过以上分析，我认为本节课使学生真正理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念既是教学的重点又是教学的难点。
二、教学目标设置
根据本节内容的特点，确定这一节课的教学目标：
（1）通过分析直线和圆它们与相应方程的关系，初步感受曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，类比归纳得到曲线与方程的定义；
（2）通过辨析达到初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的本质内涵；
（3）通过学生正反举例和教师应用举例的教学达到理解概念目的，能够应用概念正确判断和证明曲线与方程的关系，能够用概念中的两个判断标准来补充、修改、完善有问题的曲线和方程使得它们一一对应，和谐相映，进一步感受数形结合的作用。
三、学生学情分析
之前学生学习了直线和圆的方程,知道了直线和圆的问题可以通过方程来研究处理.这是本节课学习的认知基础是教学的有利因素。但是影响本节内容学习的问题也有不少,如：
（1）在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题，这就对本节内容的学习提出必要性；
（2）定义文字抽象拗口学生不易懂，教师要从不同的角度帮助学生理解；
（3）学生更纠结如何证明一条曲线和一个方程的互为表示，教师要引导学生抓住两条来说理。
四、教学策略分析
本节课是一节典型的概念课，教学中至始至终遵循概念课的教学规律，在课堂教学中坚持以学生为主体、以教师为主导的原则，采用“以问题为明线，以思维为主线，以发展为暗线”的教学模式。同时根据不同的内容选择恰当的教法，如概念采用问题——探究的方法，举反例弄清概念的内涵，在练习中深入对概念的理解，学生举例加深对概念的感受。同时，把多媒体技术作为学生感知概念、探究问题的工具，展示图形的动态变化过程，激发学生学习兴趣。
教学流程:
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五、教学过程设计
【环节一：嫦娥奔月话曲线，坐标方法引课题 】
活动1：看视频，话曲线，引出课题
视频展示“嫦娥一号”人造卫星奔月的过程。简单介绍圆锥曲线的由来、解析几何的特点、坐标系的作用。
【设计意图】 用生动的视频引出课题，激发学生的学习兴趣。让学生知道本节课知识的由来、使用到的数学方法、本节课内容在解析几何中的地位。
【环节二： 曲线方程何关系？直线与圆找规律】
活动2：探索直线与方程的关系
师：你能写出平分第一、三象限的直线的方程吗？
生：
师：这条直线和这个方程有什么联系呢？〔用几何画板演示动画〕
生：直线 上所有点的坐标都是方程的解，
以方程的解为坐标的点都在直线 上。
师：这时，直线 和方程 产生了一一对应的关系。
这时，我们说方程是直线 的方程，直线 是方程的直线。
【设计意图】学生对直线和方程的对应关系的认识很模糊，用几何画板可以加深他们的感性认识，有利于上升到理性认识。
活动3：探究圆与方程的关系
师：你能写出圆心为 ，半径为1的圆的方程吗？
生：
师：你能类比直线的方程，说说圆C 上的点和方程的解的关系吗？〔用几何画板演示动画〕
生：圆C上的点的坐标都是方程的解，
以方程的解为坐标的点都是圆C上的点。
这时，我们说方程是圆C的方程，圆C是方程表示的圆
【设计意图】 用几何画板验证圆与方程的关系，加深对圆与方程的关系的认识。
活动4：归纳抽象，形成概念
师：以上探究了直线与圆两种特殊的曲线与它们的方程的关系，这种关系都满足什么条件？
生：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
师：对于任意的曲线和一个二元方程 ，如果也满足这两个条件，我们就称这个方程为曲线的方程，这条曲线为方程的曲线。
〔学生齐读课本，教师板书〕
定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
【设计意图】 学生概括出曲线与方程的关系，提高学生的抽象概括能力。
【环节三：咬文嚼字析概念，学生举例化真知】
活动5：咀嚼定义，理解概念
师：同学们读了定义，你觉得在这个定义中有哪些反复出现的关键词呢？
生：曲线上的点，方程的解，都是。
师：第一个“都是”是什么含义呢？例如直线 和方程 , 符合条件②不符合条件①，所以方程 也不是直线 的方程。
所以第一个“都是”表明曲线上没有不满足方程的解对应的点，这些点都是清一色的，即曲线上没有杂点。
师：第二个“都是”是什么含义呢？例如直线 和方程 ，你能说说它们的关系吗？
生：对于直线 和方程 ，符合条件①不符合条件②，所以方程 不是直线 的方程。
师：第二个“都是”表明以方程的解为坐标的点全部在曲线上，没有落在别的地方。
只有条件(1)(2)同时具备时，曲线和方程才真正地一一对应起来，才有曲线的方程和方程的曲线，二者缺一不可。如果不同时具备这两条，那么就不能称之为曲线的方程和方程的曲线。
活动6：学生举例
师：你能够根据这个定义再举个例子吗？分别画出一条曲线，写出一个方程。
(1)使它们之间的关系既符合条件①又符合条件②
(2)使它们之间的关系符合条件①而不符合条件②
(3)使它们之间的关系符合条件②而不符合条件①
（学生分组思考，在黑板上写出例子，教师评判）
师：非常好。大家已经从正反两个方面认识了这两个条件。
【设计意图】让学生举正例和反例，从正反两方面认识定义的两个条件，并和以前的知识产生联系。
师：定义中的“曲线上的点”和“方程的解”，它们之间是什么关系？
生：一一对应。
师：曲线和方程可以互相表示，这体现了什么数学思想？
生：数形结合。
【设计意图】让学生体会到数形结合的数学思想
【环节四：判断、证明用概念，曲线、方程两相映】
活动7：应用概念
例1.(1) ABC的顶点A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程为 x=0 (0≤y≤3)
师：之前我们在求曲线的方程时，可能只注意到了曲线上的点要对应着方程的解。通过今天的学习，我们知道了方程的解也要对应着曲线上的点
(2)画出方程 表示的曲线
师：要知道曲线表示的方程，有时需要把方程变形。在变形的过程中，我们一定要注意进行的是同解变形，否则可能搞错方程表示的曲线。
师：这里的 也是 的形式，这里也是函数和它的图像的关系。看来，函数和它的图像也属于方程和它的曲线的关系。我们学过哪些曲线？
生：一次函数，二次函数，反比例函数……
师：很好。看来我们今天所学的知识把很多以前所学的知识都涵盖在内了。
【设计意图】初步了解由曲线写方程和由方程画曲线。
师：了解了由曲线写方程，由方程画曲线，接下来我们来看一看曲线方程的证明。
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
师：证明一个方程是曲线的方程需要分几步？
生：两步。第一步：证明曲线C上任一点的坐标是方程的解；
第二步：证明以方程的解为坐标的点都在曲线C上.
师：我们来看一下这道题的证明过程。
证明：(1)设 是轨迹上的任意一点，
因为点与轴的距离为 ，与轴的距离为 ，
所以 ，即 是方程的解
(2)设 是方程的解，则
即 。
而 正是点 到纵轴、横轴的距离，因此点 到这两条直线的距离的积是常数，点 是曲线上的点。
由(1)(2)可知，是与两条坐标轴的距离的积为常数 的点的轨迹方程。
证明方程是已知曲线的方程的步骤
第一步：证明曲线C上任一点的坐标是方程的解；
第二步：证明以方程的解为坐标的点都在曲线C上.
【设计意图】了解证明方程是已知曲线的方程的步骤
【环节五：课堂小结谈感受，三个“一二”收获大】
活动8：课堂小结，深化认识
教师引导学生一起回顾本节课内容，然后鼓励学生大胆地说出自己的感受、体会和收获。
一个定义：“曲线的方程”和“方程的曲线”
两个要点： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
一个方法：坐标法
两种思想：数形结合、从特殊到一般
师：大家总结的非常好。今天我们学习了一个定义：曲线的方程和方程的曲线，这个定义必需满足两个条件。这个定义从作用来看帮助我们解决了解析几何的两类问题：求曲线的方程和由方程研究曲线。从这个定义的形成过程来看蕴含着两种数学思想，并使用了坐标法。我把它总结成这样三句话送给大家：一个定义，两个条件
一个理论，两种应用
一个方法，两种思想
【设计意图】对本节课所学知识进行归纳整理，明确本节课所学知识。
课后练习：
1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是( )
A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点
2．已知直线 ：x＋y－3＝0和曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，
则点M(2,1)满足( )
A．在直线 上，但不在曲线C上 B．既在直线 上，也在曲线C上
C．既不在直线 上，也不在曲线C上 D．不在直线 上，但在曲线C上
3．方程 = 表示的曲线是( )
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )
A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是
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