视频简介：
视频标签：有心二次曲线,斜率之积为定值
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《有心二次曲线斜率之积为定值的探究》浠水
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《有心二次曲线斜率之积为定值的探究》浠水
《有心二次曲线斜率之积为定值的探究》教学设计
浠水县第一中学 叶 丹
一、教学设计
1.教学内容解析
解析几何是中学数学的主干知识之一,它在高考数学试题中所占的分数比例约是百分之二十。考查要求包含了从“了解”到“灵活运用”的各个层次。纵观近几年高考数学大纲卷中的解析几何试题,具有突出考查主干知识,注重通性通法的同时适度创新的特点,多数题目源于教材又高于教材,基于以上分析，以及小题注重定义性质考查的基础上，设计了本微专题，以课本例题为原型，探究其性质，旨在提高同学在解决与斜率相关的小题的解题速度。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：有心二次曲线斜率之积为定值的两个结论
2.学生学情诊断
班级同学基础较好，且经过了高二新课和刚刚进行的一轮复习的学习，已基本掌握本章节的重要基础知识和基本方法，但是存在一些问题如：想不到，消不去，算不对等问题，因而本节课从利用课本例题出发回顾解析几何常用的点差法，设而不求的计算技巧，并归纳总结两组常见结论。
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：两个结论的应用
3.教学标准设置
（1）通过课本探究，学生能系统掌握用点差法推导两个结论，能灵活运用两个结论解决相关问题.
（2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生从数和形两个角度感受数学的优美性.通过问题的探究，进一步渗透特殊到一般思想、类比思想、归纳思想 .
（3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神.
4.教学策略分析
本节课是一轮复习探究课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方法,结合探究进行结论的归纳.
教学流程图
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二、课堂实录
（1）创设情景（调考题导入）
（2017武汉市新起点）已知A,B分别为椭圆
的左右顶点，P,Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP,BQ的斜率分别为
m,n，若点A到直线 的距离为1，则该椭圆的离心率为
设计意图：调考题导入，引出课题，使学生对本节课优美性质的探讨产生强烈期待。
（2）回归课本 性质探究
（引例1）课本2-1 41页 例3设点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程.
（引例2）课本2-1 55页 探究设点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的性状。
（引例3）课本2-1 80页 A组第10题 已知 两个顶点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点C的轨迹。
（改编）已知两个定点A,B的坐标分别为 ，且AC,BC所在直线的斜率之积等于 ，试探求动点C的轨迹。
设计意图：以课本题为载体，让学生重视课本，为后面的结论引路。
（3）合作探究 得出结论
（探究1）椭圆 的长轴顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积是否为定值？
（探究2）设 A、B是椭圆 上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，则 是否为定值？并给予证明．
（探究3）若探究二中的椭圆改为双曲线 和圆呢？
让学生自主探究推导，然后合作交流，再用几何画板演示。
设计意图：让学生在互动交流探讨中，强化点差法的运用，得出结论，再在“几何画板”的实践中得到证实，体会知识的探索过程，提高学习的热情
结论1：若 A、B是椭圆上 关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，则
若 A、B是双曲线上 关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为 ，则
（4）类比结论 拓展思维
（探究4）已知AB是圆O的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，AB的斜率分别为 ， 则 ，那如果是椭圆和双曲线是否也有 为定值呢？
结论2：若AB是不过椭圆 中心的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，AB的斜率分别为 ，则
若AB是不过双曲线 中心的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，AB的斜率分别为 ，则
设计意图：培养学生的知识迁移类比能力，将前面学习过的性质当作结论2作系统性的归类，让学生通过类比归纳巩固性质
（5）例题示范 直击高考
例1（2017武汉市新起点）已知A,B分别为椭圆
的左右顶点，P,Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP,BQ的斜率分别为
m,n，若点A到直线 的距离为1，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
设计意图：运用结论1迅速找到切入点，达到迅速解题的目的，前后呼应。
例2(2013北京，理19)(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W： 上的
三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
设计意图：应用结论2快速寻找思路，进一步熟悉应用结论的先决条件，同时T通过投影学生解题过程强调解答题应用时要写出过程的推导。
（6）提升训练 巩固性质
1.（2016宜昌调考）已知直线 与双曲线C: 交于A,B两点，且AB中点M的横坐标为 ，过M且与直线 垂直的直线 过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为
2.（2016武汉调考）已知椭圆 ，点 为其长轴 的6等分点，分别过这五点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 于点 ,则这10条直线 , 的斜率的乘积为 ．
本练习请学生讲解
设计意图：检测学生对结论的掌握情况，并通过师生角色互换，交流解题思路，进一步帮助同学们灵活运用两个结论。
（7）反思小结 内化性质
本节课学到了哪些？由学生完成，教师补充．
（1）. 有心二次曲线中一类斜率之积为定值的性质.
（2）. 利用点差法证明与中点和对称点的问题
（3）. 从特殊到一般，探究—类比—证明解决问题的思考方法.
设计意图：学生在谈收获的同时，加深了对结论的辨析及结论的形成规律，从而形成了自觉内化的意识．
（8）课后拓展 激发兴趣
已知直线L为圆C的切线，切点为P，且直线L与直线CP的斜率分别为 ， 则 。猜想：直线L为椭圆 的切线，切点为P，且直线L与直线OP的斜率分别为 ，则 是否为定值？
直线L为双曲线 的切线，切点为P，且直线L与直线OP的斜率分别为 ，则 是否为定值？
设计意图：通过思考题，进一步内化学生的认知结构，激发学生由圆探讨圆锥曲线的相关性质；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣．
三、板书设计
教师板书 学生讲解
四、教学反思：
通过本节课的教学实践，对《新课程标准》“倡导积极主动、用于探索的学习方式”有了更进一步的认识，教师充当导游的身份，在教学过程中由课本题为导火线精心创设了一个简洁，有趣的探索数学的环境，让学生动态地串知成链，同时充分体现了学生的主体地位，发挥了活动课寓教于乐的优势，极大的激发了学生类比圆研究有心二次曲线的兴趣，为后续探讨起到较好的的铺垫。
可取之处：一是教学设计新颖，以调考题导入引入课题，并通过课本题提炼结论将整个课堂串接起来，体现了高考题来源于课本的特点，让学生重视课本；二是本节课采用讲练结合完成教学目标，在不断生成问题和解决问题的过程中引导学生完成知识结构体系的建构；三是突出学生为主体，展示学生的解题过程，要求规范书写，学生讲解巩固练习，通过师生角色互换增强学生的自信心.
改进之处：由于时间关系，在这堂课中只完成了知识结构体系中的两个结论，第3个结论得下次课完成，没有时间去梳理结论的易混点、易错点（如焦点在 轴的），若时间充裕，可考虑布置一定数量的小题让学生在解题的过程中加以区分．
五、教学点评：
本节课既较好地兼顾了认识结构的形成和结论要点的梳理，又突出体现了学生如何灵活运用结论解题的能力提升，突破了难点，两者有机匹配，相得益彰．高效地完成了教学任务的同时，体现了如下特色：
1．悉心把握教材脉络，巧妙创设探究形成结论
教师在对教材内容深层次的理解的基础上，对教材进行“二次加工”，选用学生熟知的练习题切入，学生仿佛不是在学数学，而是在研究数学．通过本节课的学习，既增强了学生学习数学的兴趣，领悟到学习数学的价值，又培养了学生创新意识，体现了学以致用，发展了学生的数学应用意识．
2．积极倡导探究教学，动态实现知识体系的有效构建
本节课中充分体了教师的主导性、学生的主体性．整个课堂教学活动有条不紊，凡是学生自己能解决的事情，教师都没有包办代替，坚决让学生自己做，学生在自主、合作、探究学习的过程中，不仅完成了本节课的教学标准，而且尝到了学习数学的乐趣，处处感受到成功的喜悦和数学文化的魅力．
3．有效渗透数学思想，恰当体现信息技术的有机融合
本节课从问题的引入、重点的突出、难点的突破，都恰时恰当地利用多媒体课件展示，课堂中黑板、多媒体、几何画板交互使用，显示了教师现代信息技术的纯熟地操作能力；重点内容的板书，既留给了学生充分思考与探索的时间，又让留在黑板上的一副静态的知识结构图演变成动态知识网络图，培养了学生的分析概括能力，渗透了特殊到一般，类比归纳的数学思想．
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