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视频标签：湖北好课堂,等差数列
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课教学观摩《等差数列》襄阳
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课教学观摩《等差数列》襄阳
必修5—2.2等差数列（一）教学设计
一：教材分析
本节课是高中数学人教A版第二章《数列》第二节等差数列第一课时。本节课是第二章《数列》的基础，为以后学习等差数列的性质，等差数列的求和以及等比数列奠定基础，同时有助于解决实际生活中的有关问题。等差数列对后续内容的学习，无论在知识上还是方法上，都有积极的借鉴意义。
二：学生分析
上节课学生已经学习了数列的概念及表示方法，会根据数列的前几项归纳数列的一个通项公式，了解了递推关系对数列通项的作用。
同时高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，但仍然需要具体形象的生活实例来理解抽象的逻辑关系。
三：三维目标
1、知识与技能
（1）理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式；
（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式解决等差数列的各种问题。
（3）通过概念的引入和通项公式的推导，培养学生的分析探索能力；通过分组讨论，合作学习，培养学生的团队协作能力以及语言表达能力。
2、过程与方法
（1）通过观察分析发现等过程，探索等差数列的特点及其表示方法；
（2）在等差数列通项公式的推导过程中，体会不完全归纳法，迭代法和迭加法的数学思想方法。
3、情感态度与价值观
（1）通过在探索等差数列的表示方法中感受数学的简洁美；
（2）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；
（3）通过探索获得成功，增强了学生学习的自信心和意志力，特别是后进生也有了在小组中发言的机会，参与到讨论中来，培养了他们学习的积极性。
四：教学重点、难点
1.教学重点
（1）理解等差数列的定义，观察分析等差数列的性质特点；
（2）会用公式解决一些简单的问题。
2.教学难点
（1）等差数列通项公式的推导；
（2）在推导过程中体现出来的三种数学思想方法。
五：教学过程
（一）等差数列的定义
1.创设情境,提出问题
【情境】用PPT展示三个生活中的例子
(1)中国共产党全国代表大会最近几次分别在下列时间召开，
2002，2007，2012，2017
(2)一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，水库的水位组成数列（单位：m）
18，15.5，13，10.5，8，5.5
(3)黄金周期间，每天所卖水果分别为（单位：kg）
200，200，200，200，200，200，200
【设计意图】通过生活中的实例，让学生体会数列在生活中应用的广泛，引发学生的兴趣，同时三个问题蕴含了本节课要讲的等差数列。
2.观察归纳，形成定义
【思考1】观察这些数列有什么共同特点？
【师生活动】引导学生进行分组讨论。学生会从不同方面分析三个数列的共同点：前一项减去后一项是定值，后一项减去前一项是定值，相邻两项差的绝对值也是一个定值。教师指出方向：用后一项减去前一项的差为定值。
【思考2】通过对上述数据的观察，你认为该如何定义等差数列？
【师生活动】学生结合上述问题的分析，根据自己的理解给出定义。教师给出严格的定义及其相关概念：
定义：一般地，如果一个数列 ,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
此时教师应强调定义中三处关键词：第2项起，每一项与它的前一项的差，同一个常数，从而帮助学生加深对概念的理解。
然后教师介绍其数学表达式： （d为常数）
或者 （d为常数）
3.推进概念，介绍等差中项
【思考3】在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
(1）3,( ),7 （2） 4,( ),-2 (3) a,( ),b
【师生活动】由学生填空，引导学生了解由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。并且 。
4.举一反三，理解定义
【思考4】判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出公差,如果不是，说明原因。
（1）1,3,5,7,9 （2）-1,-4,-7,-10,-13
（3）3,7,11,15,19 （4）0,0,1,2,3
（5）-3,-2,-1,0,1 （6）5,5,5,5,5,5，…
【师生活动】由学生做出判断，教师给出标准答案。同时指出（6）为常数列，由（1）（2）（6）可知：等差数列的公差可以是正数，可以是负数，还可以是0。
（二）等差数列通项公式的推导
【思考5】在等差数列 中,已知 ，
那么1. （ ），2. （ ），3. （ ），4. （ ）。
【师生活动】学生能够轻松回答出前三个问题，但对于第四个很难回答，教师顺势提出要是有通项公式就好了，那么如何根据首项和公差推导出通项公式呢？
【思考6】 为等差数列,首项为 ,公差为d,求通项公式 。
【师生活动】教师提醒学生利用等差数列定义去推导，让学生分组讨论，各抒己见。讨论结束后，三个小组的代表说出了三种方法，并且分别进行讲解：
1.不完全归纳法推导等差数列的通项公式
归纳得
【师生活动】学生写出推导过程，并进行讲解，教师进行点评，表扬学生思维的敏捷。并说明这种方法叫做不完全归纳法，是一种猜想，严格的证明要用到以后学习的数学归纳法，这里先承认它是正确的。
2.迭加法推导等差数列的通项公式
将所有等式相加得
3.迭代法推导等差数列的通项公式
所以
【师生活动】三个同学分别用不同的方法，推导出等差数列的通项公式，并加以讲解。回答完后，全班学生对三位同学的优异表现爆以热烈的掌声。教师对每一位同学的方法做简单的点评。通过大家共同努力，最后得到等差数列通项公式：已知等差数列是的首项为 ，公差为d,则等差数列的通项公式为： (d是常数)。
（三）等差数列的应用
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
(2) -401是不是等差数列 -5，-9，-13，…，的项？
【师生活动】本题由学生独立完成，然后让学生回答，学生对于（1）可以直接看出 ，通过等差数列的通项公式 ，得到 .（2）思路与（1）接近。学生通过计算，体会等差数列在生活中的应用。然后教师指出在等差数列的通项公式中有4个量，分别为 ，知道其中三个就可以求出第4个。
例2：在等差数列 中,
（1）已知 ，求首项 与公差d。
（2）已知 ，求 。
【师生活动】首先教师进行分析：本题不能直接看出首项和公差，提醒学生必须进行转化。例2由学生独立完成，然后让学生回答，教师进行点评，对学生进行鼓励表扬。并说明本题需要通过等差数列通项公式，将条件转化为首项和公差，利用方程组求解。
例3：某公司2015年经销一款数码相机，获利200万元，从2016年开始，由于市场竞争激烈，预计其利润每年比上年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【师生活动】例3为一道实际应用问题，提醒学生从题目中提取有效信息，利用本节课所学知识进行求解。教师进行巡视，发现学生基本能够算出从第12年开始亏损，但具体在哪一年出现了分歧，2026年和2027均占相当大的比例。教师进行点评，并加以分析，让学生彻底弄明白。
（四）当堂检测
1.在数列 中， 则 ( )。
2.已知某等差数列的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的项是第( )项。
(五)课堂小结
【思考7】通过本节课，学到了哪些内容？
【师生活动】教师引导学生一起回答，复习巩固本节课内容。
两个定义：等差数列的定义： （d为常数）
等差中项的定义： a，A，b成等差数列,A称为a和b
的等差中项
一个公式：等差数列的通项公式
三个方法：不完全归纳法，迭加法以及迭代法
一个应用：能用通项公式解决一些简单的问题
(六)布置作业
必做题：课本39页 1，2，3，4。
选做题：
1.已知 是等差数列，则 ( )。
2.一个等差数列的首项为2，从第10项起各项都比5大，则这个数列公差的取值范围是( )。
六：板书设计
等差数列
1、 定义：第二项起，后一项与前一项的差，同一常数
( ， 为常数)
或 ( 为常数)
2、等差中项，a，A，b成等差数列
3、通项公式：
学生板出三种等差数列通项公式的推导方法
七：教学反思
优点：
1．本节课从生活中的三个数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
2．本节课设计了两个分组讨论环节。分组讨论让课堂气氛变得更加活跃，学生由被动倾听者变为积极参加者，增强了学生的团队合作意识，培养学生的语言表达能力，也有助于帮助教师了解学生的思维状态，调整自身定位，从而提高教师教学水平。
3．本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固．
4．本节课以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动。
5.能够对学生的表现给予及时的评价，多从鼓励表扬的角度出发，提高学生学习的兴趣，树立学生学习的信心。
不足：
1. 教师自身素质，专业知识以及应变能力都要加强，这样驾驭课堂更加自信从容，对于一些学生的新奇的想法，才能更加灵活面对。
2. 上课前没有完全吃透教材，部分教学环节设计不够合理，教学环节过度不够自然，“备教材”不够深入。
3. 教师对学生的可能想法和见解考虑不周，“备学生”有所欠缺。
4. 由于上课时间的限制，学生分组讨论不够充分，鼓励学生下课后继续对本节课疑惑问题进行讨论。
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