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视频标签：湖北好课堂,方程的根,函数的零点
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视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《方程的根与函数的零点》襄阳
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评《方程的根与函数的零点》襄阳
3.1.1方程的根与函数的零点
（湖北省襄阳市第四中学 陈辉）
一、教学目标
知识与技能 |
1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的概念；
2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；
3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。 |
过程与方法 |
1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决问题的方法的习惯；
2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；
3.引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法。 |
情感、态度与价值观 |
1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；
3.使学生感受探究式学习中探索发现的乐趣与成就感。 |
二、教学重点与难点
|
教学重点 |
体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件 |
|
教学难点 |
理解方程的根与函数零点的关系，探究发现零点存在的判定条件. |
三、教学的方法与手段
|
授课类型：新 授 课 |
教学方法：启发式教学、探究式学习 |
|
教学课件：Powerpoint课件 |
多媒体设备：计算机等 |
四、教学过程
【环节一：创设情境，提出课题】
在初中，我们已经学习了以一元一次方程和一元二次方程为主的代数方程，我们一起通过下列问题回顾它们是如何判定根的存在性的?
问题一:判断下列方程是否存在实根
1、
2、
3、
（
板书方程3的各类情况）
(设计意图:一次方程可直接求,二次方程有公式法Δ;实质均为代数法)
思考:方程
是否存在实根?
(设计意图:引起认知冲突,认识学习新知的必要性) （
板书课题）。
【环节二：设置问题，探究联系】
思考:方程是否存在实根?
代数法受挫后,重点分析方程3的各类情况与函数图象的关系
.(寻找数与形的结合点)
（
板书方程3的各类情况所对应的函数图象,由学生归纳出一般情形并填写下表）
|
判别式Δ |
Δ> 0 |
Δ= 0 |
Δ< 0 |
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根 |
两个不相等的
实数根x1 、x2 |
有两个相等的
实数根x1 = x2 |
无实数根 |
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象 |
|
|
|
|
函数的图象与x轴的公共点 |
|
|
|
学生总结出结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与
x轴公共点的横坐标．
【环节三：形成概念，感悟思想】
问题二:其它任意方程与对应函数之间也有同样结论吗？
(设计意图:由具体到抽象,由特殊到一般,类比、
归纳、
猜想抽象出概念和等价关系)
1、函数零点的概念：对于函数
，把使
成立的实数
叫做函数
的零点．（
板书概念）
思考:对于零点,你是如何理解的?如何求函数的零点?
(设计意图:学生主动构建概念并理解实质)
判断(-1,0),(3,0)是否为函数f(x)=x2-2x-3的零点?
(设计意图:及时反馈，
巩固新知)
2、函数与方程的联系：函数
的零点就是方程实数根，亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根
函数的图象与轴有交点函数有零点．（
板书等价关系）
【环节四：应用思想，合情猜想】
1、
议一议：方程是否存在实根?如何判断?
(设计意图:根据等价关系,应用思想转化问题)
转化为函数零点存在性问题后，此处要做两手准备:
①移项转化为两个函数
和
的图象问题
;②直接考虑函数图象与
轴的交点状况．
2、
视学生探究情况选择下列某一方案：
①直接画
的图象,分析特点、大胆猜想; ②类比连续地过河问题，合情猜想．
【环节五：探索定理，解决问题】
定理探究：什么条件下,函数
在(a,b)一定存在零点?
师生共同猜想
f(a)f(b)<0的条件后,由学生自主探究条件是否充分、完备
?鼓励学生畅所欲言,作出、考察各类函数反复验证,逐步调整
．(给足时间,动手实践,自主探索,合作交流)
归纳出
零点存在性定理的两条件
“连续和异号”缺一不可．
零点存在性定理：
如果函数y=
f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a) ·
f(b)<0，那么，函数y=
f(x)在区间(a,b) 内有零点．即存在c∈(a,b)，使得
f(c)=0，这个c也就是方程
f(x)=0的根．（
板书条件、
结论）
【环节六：学以致用，巩固新知】
练一练:
（ 1）判断函数
f(x)=ex-x-3在区间[1,2]上是否存在零点.
（ 2）已知函数
f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应关系:
|
x |
0 |
1 |
2 |
5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
f(x) |
-140 |
-19 |
22 |
-95 |
-133 |
-68 |
85 |
350 |
你能找出存在零点的区间吗？能确定函数零点的个数吗?
(设计意图:定理应用,巩固深化)
【环节七：反思定理，深刻理解】
辨析1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？
辨析2：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续， f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？
辨析3：以下命题对否？
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根
(设计意图:深度剖析,深刻理解)
【环节八：小结反思，埋下伏笔】
1、
小结与反思: 本节课你在数学知识上和思想方法上分别有何收获?
作业
：课本P88 1（4）、2（2）（3）
2、
课后探究: 我们已经知道，函数的唯一零点在
（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？
数学家华罗庚关于“数形结合”的经典论述:
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!
五、板书设计
一、零点
二、等价关系
|
方程的根与函数的零点
三、零点存在性定理
学生演板区域
|
与二次函数图象的关系
学生演板区域 |
六、教学反思
教学设想与教学流程：
教学设想与反思：
本节课对“方程的根与函数的零点”的认识和探究，是从初中特殊的一次、二次方程与其相应的函数关系的具体认识出发，逐步过渡到高中一般的超越方程乃至更一般的任意方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习平台或背景是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数(Ⅰ)等相关知识. “方程的根与函数的零点”一课的主要教学内容有函数的零点的定义和函数零点存在的判定方法(即零点存在性定理)，它不仅为后继内容比如用二分法求方程的近似解等的学习打下基础、做好铺垫,而且从中学数学内容结构来看,本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务.而揭示方程与函数之间的本质联系，正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的方程问题放在整体的函数中研究，将静态的方程结果放在动态的函数过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．它起到了承上启下、承前启后的作用，与整章、整册综合成一个整体.从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．
我们知道，数学的学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构过程，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对本课题知识与方法的理解，结合本教材的特点，我试图通过问题驱动思维，在思考中理解概念，在探究中发现定理，启发、诱导学生逐步发现和认识方程的根与函数零点的关系, 掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法, 初步形成用函数观点处理问题的意识,因此设计了如下的教学过程:
一、
零点概念的建构(分下列三个环节)
（一）创设情境，引出课题
问题一：判断下列方程是否存在实根
1、
2、
3、
问题一以学生熟悉的一次方程、二次方程为探究的出发点，从代数的角度很容易得出它们实根的存在情况，然后讨论了实根存在的三种情况，使学生认识到判断实根存在性常用的代数方法,即一次方程直接求、二次方程用公式法(
Δ判定).再由学生熟悉的方程推进到一个本身不能用代数法求解或判断的超越方程ln
x＋2
x－6＝0，造成学生的认知冲突，引发学生的兴趣，激发学生的求知欲望，进而引入新课.
（二）设置问题，探究联系
在回顾了初中所学代数方法判断方程实根存在性后，给学生设置了如下问题即
问题2：方程
是否存在实根?对于这一问题,我的基本想法是:用问题引发学生的认知冲突，用问题达到驱动思维，调动学生探究的内驱力，进而通过对于二次方程与函数的温故知新以降低认知起点，从而在方程与函数联系的探究中自然地生成概念.
（三）形成概念，感悟思想
此处我试图以教材中的二次方程与二次函数的联系为主要推手，从学生对特殊具体的二次方程的实根与二次函数图象和
x轴交点的横坐标的探究中去研究问题的本质，最后推广为研究一般抽象的方程与其相应函数的之间的关系，充分体现数学的严谨性、从特殊到一般的认知规律，使得零点的概念的得出水到渠成.同时使学生在潜移默化中渐渐领会到“数形结合的思想”及“转化与化归的思想”.概念的形成自然、简捷、清晰，既符合学生的认知规律，也符合学生思维的“最近发展区”.
二、零点存在性定理的探究
(分下列两个环节)
（四）应用思想，合理猜想
此处我试图诱导学生应用函数零点的概念所得到的基本思想(即三种等价关系)合理地进行归纳猜想、检验调整、再猜想、再检验．此处我做了以下两点考虑: 1、学生探究过程中尽量让学生发现问题、解决问题．学生可能会将方程移项转化为
，进而研究函数
和
的图象交点问题．对这一思路，教师应给予充分的肯定，同时可以引导学生分析交点附近两个函数图象高低的变化，以及对应的函数值大小的变化，引出相应的介值定理或转化为零点存在性定理等等的猜想．2、学生也可能会直接提出画出函数
的图象，此时教师可利用计算机或计算器作图展示，进而引发学生的思考:在零点附近的两侧有异号的函数值，从而猜出零点存在性定理的部分条件(函数值变号)
当然,此处的自主探究学生可能还会出现目标不明确或偏离的状况，教师与学生、学生与学生可以采取多种形式充分交流，相互启发，合作探究．比如:我在还准备了一个板块，即由生活中渡河问题的实例类比函数图象的相应问题以启发部分学生的思维．当然,在实际课堂中,大多学生的思考是画出函数
的图象．
（五）探索定理，解决问题
问题3：如何从数的角度刻画函数 “
在区间(2，3)内由
x轴下方‘穿过’
x轴到达
x 轴的上方？” 即在零点附近图象上形的变化？
这里我试图引导学生从“形的直观”上升到“数的精确”。“由
x轴下方‘穿过’
x轴到达
x 轴的上方”是得到的一个直观形象，这个直观形象要精确的刻画，必须辅之于数的准确，引导学生得出条件：
f (
a)
f (
b) < 0．
问题4：有条件“
f (
a)
f (
b) < 0”就能保证“函数在(
a，
b)内有零点”吗？
在学生得出条件：
f (
a)
f (
b) < 0后进一步提出问题4让学生分组思考、讨论，这一问题由于学生经常接触的是基本初等函数等连续曲线，想到不连续的图象有一定难度，因此，需给予学生充分的时间动手实践、自主探索、合作交流，教师也应结合学生思考情况适当点拨或设置更精细的问题以驱动学生思维．
三、零点存在性定理的应用与巩固(分下列两个环节)
（六）学以致用，巩固新知
对于定理探究完毕后,我设计了两个练习,分别以函数的解析法和列表法呈现出来,试图让学生由形的定性认识再回到数的定量计算,加深对定理的理解和巩固,并使学生意识到由数到形与由形到数的结合与辩证统一．
（七）反思定理，深刻理解
另外,学生对定理的理解常常不够深入,这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．基于这个想法,我又设计了3个辨析题,从定理的条件、结论深度剖析,以加深学生对定理的全面理解．
四、小结与升华
（八）小结反思，提高认识
我初步设计让学生自己谈体会、讲收获,给了两个指向性比较明确的问题:分别从知识和思想方法上进行总结提升．并要求学生课后探究:“我们已经知道，函数
的唯一零点在(2，3)内，那么该如何进一步求此零点的值呢？”，既引起学生进一步探究的欲望，以为下一节课作了铺垫、埋下伏笔．
最后，我用伟大数学家华罗庚先生关于“数形结合思想”的经典论述对本节课的核心思想方法进行总结，使学生在回味中感受数学文化和数学大师的魅力．
教学得失：
成功之处：
1、 较合理地创设了教学情境，引发学生认知冲突，激发学生求知热情.
比如:通过判断初中所学一次、二次方程是否存在实根自然过渡到高中的超越方程实根的判断,既符合学生的知识储备又符合学习的基本需求,既符合基础性原则又具备挑战性。
2、 巧妙降低教学起点，较好地突出教学重点，分散教学难点.
比如:通过若干问题的巧妙设计,层层递进,引发学生的积极思考与探索交流。整个教学设计符合学生的认知规律（比如：从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象等等），采用合情推理与演绎推理双重推进，既符合学生的思维特点又渗透了数学思想方法.
3、 较好地引导、组织学生的探究式学习，在师生、生生互动中不断探究、领悟.
比如:通过问题串和教师的引导使学生在活动与交流中体验知识的形成过程,在探究与
研讨中感悟数学思想方法的实质精髓.
4、 有机地利用各种教学手段，使教学预设在探究中较自然地生成.
比如:将传统的教学手段板书与现代的多媒体辅助教学互相结合,互为补充,提高了课堂效率和学习效果.
不足之处：
1、 个别地方表达不严谨、不规范，并且有部分口误.
2、 问题的设置还不尽合理，可以将问题设计得更加“精致化”.
比如:有些地方略显突兀.有些又因开放性不足而缺乏挑战性。可以通过分层设问、层层推进，反复围绕“由数到形” 、“由形到数” 以及“数形结合思想”方面多做文章.
3、 有的地方对于学生主动学习、自觉思考、合作交流等深入探究的氛围营造稍显呆板，学生的深度思维仍不太活跃.
4、 受制于时限，教师仍旧放得不够，可以鼓励学生以多样化、多元化的形式讨论交流、思辨、探究.
5、 可以更为合理地应用、发挥多媒体的优势,更好地促进学生发现问题、解决问题.
比如:在探究零点存在性定理条件时,可以充分运用多媒体手段反复展示函数图象上的动点由一侧经过到达另一侧的过程,有助于强化学生的思维方向,推动学生的思维进程.
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