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视频标签：实际问题,一元一次方程,销售中的盈亏
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视频课题：人教版七年级上册数学3.4《实际问题与一元一次方程》探究1销售中的盈亏-江西省 - 赣州
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人教版七年级上册数学3.4《实际问题与一元一次方程》探究1销售中的盈亏-江西省 - 赣州
《3.4 实际问题与一元一次方程》 数学探究活动1：销售中的盈亏
教学任务分析
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]情境导入:
创设情境：
2015年11月27-28日，中央扶贫开发工作会议在北京召开．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平强调，要确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会。
结合国家扶贫工作，营造“营销环境”，创设商机，商家进行促销，从而为导入新课作铺垫．
让学生了解国家有关时事，置身于探究问题的现实情境.
激发学生探究兴趣，感知“生活中的数学”．
教 学 目 标
1．通过对销售流程、销售模型、销售应用的探究，使学生从“数”与“形”
的角度掌握销售中的有关量的数量关系，认识销售中的盈亏模型，用一元一次方程的知识解决简单的销售中的盈亏问题．
2．运用数学建模思想和方程思想对销售中的盈亏问题进行探究，感知估算的片面性，感悟利用数学知识进行准确、科学、合理判断的必要性，提升思维品质，形成数学素养．
3．体验应用数学知识进行准确判断盈亏的探究乐趣，进一步培养学生自主探究、敢于质疑等良好的学习品质，渗透爱心经营，感恩社会等意识．
教学重点 掌握销售中的数量关系，会列方程解决销售中的盈亏问题． 教学难点 如何从已知量、未知量中找到等量关系、列出方程． 教学方法 自主探索、合作交流、归纳概括． 教学手段
多媒体辅助教学、教具．
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的解法以及应用一元一次方程解决一些实际
问题，本节课重点在引导学生探究销售问题中的等量关系，利用方程知识准确
判断盈亏．
2
[活动2] 销售流程探究:
1．某商家积极响应国家号召，开展 “助学扶贫”促销活动．该商家购进一批文化衫销售，其中一款文化衫每件进价100元，请你猜想他将怎样定价销售？销售的结果可能有几种？
◆（1）商家将加价使标价高于100元去卖． （2）售价可能有几种情况？
大于100元；等于100元；小于100元． （3）销售结果有几种可能？
盈利(赚钱)；不盈不亏；亏损(赔钱)．
揭题：探究1：销售中的盈亏 2．销售流程：
学生进行交流讨论，探究商品的定价、售价、销售策略、销售结果（盈亏）．
教师揭题：探究1：销售中的盈亏．
教师引导学生探究销售的流程．
设置开放问题，学生大胆猜想，教师归结，引导学生探究销售流程中的几种可能．从整体上感知商品销售的主要环节及结果．
学生没有从事过营销活动，又需要理解销售过程，因此，以简单的模拟营销活动为例，让学生置身于解决问题的情景中，从而感知销售流程．
[活动3] 销售模型探究:
（—）代数模型(公式) 1．销售有盈有亏 盈利(赚钱)：
◆盈利＝售价－进价 亏损(赔钱)：
◆亏损＝进价－售价
2．若进价100元文化衫，加价20元卖出，那么标价是 元，售价是 元，则盈利 元，盈利率是 ．
◆盈利率＝
进价
盈利
×100﹪ →盈利＝进价×盈利率
3．若文化衫滞销，打八折卖出(一定是在标价120元的基础上打折)，则售价是 元，亏损 元，亏损率是 ．
◆售价＝标价×
10
折扣数
◆亏损率＝
进价
亏损
×100﹪ →亏损＝进价×亏损率
学生探究，教师引导、归结．
教师引导学生感知盈利、亏损的概念．探究有关量的数量关系．
设置简单的问题情境，探究盈利率、亏损率、折扣的含义以及相关量的数量关系，指出它们的参量“单位1”．
遵循学生的认知规律，从实际问题的情景中，探究盈利、进价、售价之间的数量关系，以及亏损、进价、售价之间的数量关系．
明确销售过程后，用具体的数字继续对引例的销售过程进行定量讨论，盈利率、亏损率的计算中进价是“单位1”，从而得到销售中各种量之间关系的一般结论．学生自己发现和提出问题，归纳概括得到猜想和规律，培养学生的创新能力．
从“数”的角度归纳销售中常用的数量关系（公式），构建销售问题中的代数模型．
3
[活动3]销售模型探究:
（二）几何模型(线段图)
模型1：加价后卖出．
模型2：加价后打折卖出且盈利．
模型3：加价后打折卖出且亏损．
对照线段图，教师设问，学生讨论探究其中线段表示的有关量．
线段图清晰地呈现了销售过程中有关量的“整”“分”的关系，同时也呈现了各种量之间的等量关系．
学生对销售过程中的“盈”与“亏”的定量计算有了一定的认识，利用线段图表示数量关系来解决应用问题学生在小学已经学过，特别是涉及到量与率的问题时，线段图更是能够清楚简捷地帮助学生找到问题中各个量的关系．
从“形”的角度直观展示其数量关系，进一步加深对销售中有关量的数量关系的认识．
[活动 4] 销售应用探究：
——应用
应用1．卖出一件进价48元的文化衫，盈利率为25%，求这件文化衫的售价．
◆解题策略： （三步曲）
应用2．一件文化衫标价100元后六折卖出，亏损率为25%，求这件文化衫的进价．
引导学生根据题目信息，寻找该问题中的“已知量”“未知量”，再根据这些基本量联想到有关的数学模型（公式），从而列出方程求解．
强调盈利率、
亏损率、折扣的参量“单位1”是什么． 归结销售问题求解的基本步骤：“先找基本量，再联想公式，后列方
程”．
从简单的销售问题入手，分析其基本的分析思路与解题策略，从而探究销售问题的求解步骤．
学生在探究过程中，学会梳理题目信息，寻找基本量，发现销售中各量之间的数量关系，找到等量关系，列方程求解．学生进一步体验方程建模的思想，体会数学的价值，培养学生的应用意识．
.
4
[活动 4] 销售应用探究：
——探究
探究1该商家有中、小学生两款文化衫，每件小学生文化衫比中学生文化衫的进价少10元，一件小学生文化衫的盈利率为30%，一件中学生文化衫的盈利率为20%．
(1)若小学生文化衫的进价为x元，则每件小学生文化衫的利润是 元，每件中学生文化衫的利润是 元； (用含x的代数式表示)
(2)若它们的售后利润额相同，求这两款文化衫的进价．
◆ 小结：
当一次销售中涉及到两件(或多件)商品时，其数量关系要逐件依次分析．
探究2 商家某一时间卖出每件进价60元的两件文化衫，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件文化衫总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
◆ 思路1：
比较第一件的盈利额与第二件亏损额的大小
◆ 思路2：
比较总进价与总售价的大小
学生审题，阐述探究思路．
引导发现问题中包含的商品有两种，应逐件依次分析，分别找到各自的销售有关量．
学生读题、审题，阐述自己的观点，说明理由或依据．
设置较复杂的销售问题情境，对学生在销售盈亏探究中提出更高的要求．
培养学生从大量的文字信息中找到解题的“题干”——有效信息，并将其从复杂问题中梳理出单个问题，化繁为简，逐步求解．
学生综合运用所探究的销售盈亏的知识，理性的分析销售盈亏问题．
揭示问题的本质是：盈利率与亏损率一样多，并且它们的“单位1”进价都相同（60元），所以结果为不盈不亏．
5
探究2变式1： 该商家在开展 “助学扶贫”促销活动前，以每件售价60元的价格卖出两件文化衫，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件文化衫总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
◆估算依据:
总售价＞总进价，总的是盈利．
总售价＝总进价，总的是不盈不亏．
总售价＜总进价，总的是亏损．
◆准确计算：
两件文化衫的售价总和为120元，盈亏情况要看这两件文化衫的进价总和是多少元．即求两件文化衫的进价各是多少元，要分两次一件一件的求出进价．
◆探究2与探究2变式1中，盈利率和亏损率都为25%，但探究2的结果是不盈不亏，探究2变式的结果是亏损，为什么呢？
进价（单位1）不一样．
◆探究给了我们什么启示？ 1．直觉有时并不可靠． 2．“先估算，后准确计算”是分析问题的通常顺序．
3．正确运用数学知识分析问题可以减少判断错误．
探究2变式2：该商家在开展 “助学扶贫”促销活动后，许多顾客慕名而至，销量陡增．以每件售价60元的价格卖出了7000件文化衫，其中每件盈利20%，求商家总盈利为多少元？商家把总利润的一半用于资助初中贫困学生，每位学生的资助标准为1750元，可以资助多少位初中贫困学生？若你是受助对象，你想说点什么？
学生审题：探究2变式（将条件“进价60元”变为“售价60元”），大胆猜想，先估算，说出第一直觉是盈还是亏．
学生阐述其探究思路及结果．
学生再进行准确计算．分两次运用一元一次方程求出两件文化衫的进价，然后进行综合分析，通过精确计算检验估算．
学生进一步理解盈利率、亏损率的计算中进价是“单位1”．
关注学生是否积极参与数学探究活动，利用销售模型，快速找到问题解决的途径。
因为两件文化衫售出的价格相同，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，所以容易感觉“总的结果是不盈不亏”．但是运用一元一次方程进一步探究，可知总的结果是亏损．通过探究让学生经历一个从定性考虑(估算)到定量考虑(计算)的过程，有助于提高学生对数学的应用价值的认识．
让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识．在探究数学活动中，引导学生发现销售中的一些规律，并能正确运用所学的数学知识进行分析．发展合情推理能力，清晰地表达自己的想法．体会数学的特点，了解数学的价值，对数学有好奇心和求知欲．
通过探究反思，让学生感悟，准确的判断不能仅仅依靠直觉，需要正确的运用所学的数学知识，才能做出正确的判断，激发学生学好数学．
渗透爱心经营，可以实现个人与社会共赢的理念．教育学生学会感恩．
6
[活动 5] 课堂小结:
谈谈这节课你有什么收获？ 1．销售中常用的数量关系
①盈利＝售价－进价 ②亏损＝进价－售价
③售价＝标价×10
折扣数
2．销售中的盈亏问题的解题策略
3．提炼出口诀，帮助学生记忆． 入不敷出是亏损，入大于出是盈利； 亏损盈利百分数，选择进价单位1； 打折基础是标价，然后乘以百分比； 解题策略三部曲，解决问题用方程．
学生回顾，教师补充．
口诀是帮助学生记忆的一个辅助方法，特别是口诀中给出了计算盈利率和亏损率的基础，即单位1是进价．
学生明过程知概念，从特例到一般，记忆理解销售中常用的数量关系．从代数模型和几何模型探究销售中有关量的数量关系，形成知识网络．
[活动6]布置作业:
课外作业
1．一件商品，进价16元，售出获利50%，求该商品的售价．
2．一件商品，标价50元后八折出售，亏损5%，求该商品的进价．
3．某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为9600元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%．这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
课外阅读
阅读《“代数学的鼻祖”丢番图与方程》(见学案)．
课外巩固本节课的知识点及思想方法，不同类型题型适用于不同程度学生．
学生通过阅读《“代数学的鼻祖”丢番图与方程》，了解方程的产生、发展和应用．
让不同程度的学生都能有解答，都有思维的空间，深化、提高，形成知识体系．
数学是人类文化的重要组成部分，在人文科学和社会科学发挥着越来越大的作用．引领学生关注数学文化， 促进学生的全面发展．
板书设计:
3.4 实际问题与一元一次方程
探究1：销售中的盈亏
教师在黑板上进行板书，让学生清晰的理清本节课的知识体系．
规范学生的答题书写，教师的板书起着不可替代的示范作用．在日常教学中，注重培养学生形成良好的数学学习习惯．
一、
二、
三、
7
教案设计说明
本节内容分两个部分：第一部分安排了例1和例2，并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程．第二部分安排了三个探究性问题，它们比前面的实际问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现更具开放性，本节第一部分示范性强，第二部分探究性强．本节课是第二部分的三个探究性问题中的第一个探究问题“销售中的盈亏”，理解销售流程和盈亏概念是本内容学习的前提，突破难点的关键是分析清楚销售中有关量的数量关系，从公式中构造一元一次方程．从本质上认识销售中的盈亏模型，是正确列方程解决问题的关键，也是本课培养学生的能力所在．
以简单的模拟营销活动为例，让学生置身于解决问题的情景中，从而弄清销售流程和盈亏概念．明确销售流程后，用具体的数字继续对引例的销售过程进行定量讨论．从“数”的角度得到各种量关系的一般结论，一般结论就是盈亏问题模型的重要的代数模型．学生对销售过程和盈与亏的定量计算有了一定的认识，这时我们再引入线段图，从“形”的角度直观展现其数量关系深．用线段图表示数量关系来解决应用问题学生在小学已经学过，特别是涉及到量与率的问题时，线段图更是能够清楚简捷地帮助学生找到问题中各个量的关系．
过程明确了，关系理清了，解决问题时还要有可操作的东西，学生才能化理解为落实．安排两道应用题，让学生熟练掌握销售盈亏问题的解题策略 (三步曲) ：1．找基本量；2．想公式；3．列方程．然后进行探究的学习，能够考察前面的教学是否到位，学生是否可以灵活运用所学的知识和方法．对探究的学习分三步进行：1．先进行估算；2．叙述估算的依据；3．后准确计算．通过探究学习进一步发现销售盈亏问题中的一些规律，并能正确运用数学知识进行分析验证，从而本质上了解销售中的盈亏．探究的学习是对这类问题数学模型的认识和教学策略，还可以用这样的方法研究其他类型的实际问题，从多角度去认识其数学模型，帮助学生掌握解决实际问题的方法．
在课堂教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体”的教学宗旨，通过创设有趣的数学活动展开教学，充分调动学生学习的积极性， 使学生能够主动愉快地学习．鼓励学生在独立思考的基础上进行讨论交流，让学生独立思考、学会思考，渗透方程思想、模型思想和数形结合思想，让学生充分体验数学的应用价值．在教学采用启发式教学，启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情境，借助多媒体进行教学，激发学生的好奇心，唤醒学生的求知欲，积极参与教学全过程，使学生在教师的主导下生动活泼、主动的和富有个性地学习．
同时根据新课程标准的评价理念，我在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈．在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心．
8
【阅读材料】
“代数学的鼻祖”丢番图与方程
随着人类社会的不断前进，数学在不断向前发展着，方程同样在不断向前发展着．两千多年前古希腊有一个大数学家，他的名字叫丢番图，他对数学的发展作出过巨大的贡献．他开创了用缩写方法简化文字叙述运算，因此有人把他称为“代数学的鼻祖”．丢番图著《算术》一书，书中借助符号来代替文字叙述，这在代数发展史上是非常重要的一步．《算术》一书中有解一元一次方程的一般方法，他说：“如果方程两边遇到的未知数的幂相同，但是系数不同，那么应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止．”丢番图的这段话相当于现在解方程中的移项，这样丢番图就给出一元一次方程的普遍解法，但他的解法在解算其他问题时也就不一定行了；往往是因题而异，一道题有一种特殊解法．正如19世纪德国史学家韩克尔所说：“近代数学家研究了丢番图100个题后，再去解101道题，仍然感到十分困难．”
到了公元10世纪至于14世纪，《希腊文集》特别流行，它是一本用诗写成的问题集，其中有一道关于毕达哥拉斯的问题就非常出名．
丢番图生平不详，他的唯一的一个简历是从《希腊方集》中找到的，这是由麦特罗尔写的丢番国的“墓志铭”，“ 墓志铭”是用诗歌写成的，诗词大意是这样：
“过路的人！这儿埋葬着丢番图，请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑．
他的一生中的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年，
再过去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭， 五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半， 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年，
请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”
这是一道刻在墓碑上的方程，可以用一元一次方程来解这个问题，具体解法如下：
设丢番图共活了x岁，童年
x6
1岁，少年x121岁，过去x)(71
12161年建立家庭，儿子活了x6
1岁，按题目条件可列出方程：xxx421
57112161)(，解得84x（岁），通过进一步解算可知丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁丧子，本人活了84岁．
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