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视频标签：第十二届全国初中青年
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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《函数图象再认识》吉林
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《函数图象再认识》吉林-田健豪
函数图象再认识
教学设计
函数图象再认识
一、 教学内容解析
（一）教学内容
在学生掌握了函数及其图象的初步知识和一次函数的相关知识基础上，给定一个函数图象，学生能想象出一个具体的生活情境描述图象所表达的函数关系．
（二）内容解析
学生通过函数及其图象的初步知识和一次函数的相关知识的学习，已经会把实际问题抽象成函数关系，进而得到函数图象．为使学生真正理解不同情境中构成函数的两个变量间的关系，还需将这一过程反过来，让学生能根据给定的函数图象，说出能描述该图象的一个具体情境，从而进一步体会函数中两个变量间的本质关系，体会变化过程中存在的不变量，提高学生思维的灵活性．
本课以一次函数图象为载体，通过探究能具体描述图象所表达的函数关系的不同情境，加深学生对函数的理解，锻炼学生发散思维和发展数学模型思想．
本课的
教学重点：探究用不同的情境来具体描述给定函数图象所表达的函数关系．
二、教学目标设置
1、学生能对给定的简单的函数图象，赋予具体情境，确定图象所对应的函数关系．
2、学生通过讨论，对给定的较复杂的函数图象，赋予具体情境，并能进行简要的说明．
3、学生感受探究数学问题的正向思维和逆向思维过程；通过细致观察图象，发展学生几何直观；通过对问题的解决，发展数学抽象．
三、学生学情分析
学生在小学阶段就已具备判断图形及点的位置等几何直观，初中阶段，通过系统学习函数及函数的图象、一次函数、反比例函数等相关知识，已经具备了一定的函数思想以及运用函数解决简单的实际问题的能力，具备一定的想象力和表达力．但还不善于把抽象的数学概念和具体的事物联系起来，对给定的函数图象分析其变量关系比较模糊，需要教师引导进一步加深对函数本质的理解．
本节课的
教学难点：通过多个问题实例，准确抽象出构成函数的两个变量，加深对一个函数图象可以表达一类现实事物的运动变化规律的理解．
四、教学策略分析
通过熟悉的一次函数图象为载体，形成问题驱动，引出本节课要研究的内容．让学生尝试改变引课中函数图象横、纵轴的意义，说出在实际生活中能符合该图象的具体情境，通过引导学生对举出的例子逐一辨析，准确抽象出构成函数的两个变量，归纳出符合给定图象表示的函数关系的一类事物运动变化的共同本质特征．以此突破难点．
通过小组合作学习培养学生合作能力．在任务设置环节中要求小组合作完成２个问题的设置，不同学习能力的学生获得不同程度的成长，学习能力较弱的同学也可以提出相对简单的问题，在此过程中获得成功的喜悦，增加学生的自信心；学习能力强的学生可充分发挥自己的数学建模能力，充分地将数学模型和实际问题结合起来．在小组汇报过程中，学生通过汇报实现学习反馈，在这一过程中，辨析不同情境是否可以表述给定函数图象表示的函数关系，再次加深学生对“函数”的理解，同时学生可以感受到，满足同一函数关系的实际情境是非常丰富的，而这些情境又可以引发进一步的问题。这一过程可以引发学生更深层次思考，体会函数的价值．使学生已有的认知结构得到重新组合，在使知识系统化的过程中，加深对函数思想的理解和运用．达到突出重点的目的，完成教学目标．
五、教学过程设计
（一）引入课题
我们已经学习了函数的相关知识，知道在一个变化过程中，有两个变量
x和
y，对于
x的每一个值，
y都有唯一的值与之对应，我们就称
y是
x的函数．对于很多函数关系我们可以通过函数图象直观的表示，例如最简单的正比例函数
y=10
x，每给一个
x的值都有唯一的
y值与之对应，我们就得到了满足这个函数关系的点坐标，通过描点法得到
y=10
x的函数图象，对于这个图象上所有的点也都满足
y=10
x这个函数关系，这样我们就将
y=10
x与它的图象建立了对应关系．这是我们研究的数学问题．我们常说生活离不开数学，数学是服务于生活的，在我们学习一次函数应用的时候，我们就利用函数图象和函数解析式解决过实际问题，如我们曾遇到过这样一个实际情境：
周末小明骑自行车匀速从家出发去文化宫，在这个实际情境中我们抽象出两个变量：小明离家的距离
y与离开家的时间
x，他们的关系满足
y=10
x(
x≥0)，我们可以用这个图象来刻画这个情境中两个变量的函数关系：
利用图象从而帮助我们分析解决这个情境下的问题．
问题驱动：这是对于给出的情境我们可以经过分析画出它的函数图象，如果反过来，给出一个函数图象，你能为它创设一个符合这个图象所表示的函数关系的实际情境吗？
这就是本节课我们要来研究的内容，为给定的函数图象创设情境——函数图象再认识．
设计意图：从学生熟知的用一次函数图象表达行程问题入手，复习旧知，再利用逆向思维，制造认知冲突，引出本节课要研究的内容．
（二）问题解决
首先我们来观察这个函数图象，它所表示的函数关系是
y=10
x(
x≥0)，我们想要为它创设的情境，在这个情境中抽象出来的两个变量的关系只要也满足
y=10
x(
x≥0)即可．这样的情境有吗？我们刚举的例子就满足这个关系：小明骑自行车匀速从家出发去文化宫，当我们抽象出这个情境里的两个变量：离家的距离
y与离开家的时间
x，它们的关系也满足
y=10
x(
x≥0)，此时我们就可以用这个情境来描述这个图象所表示的函数关系．但在这个情境中我们研究的两个变量的实际意义是被限定的，此时这个图象就仅能反映一个行程问题中距离关于时间的函数关系．
问题驱动：我们可以为这两个变量赋予其他的实际意义，用其他的情境描述这一图象所表示函数关系吗？
【独立思考】问题1：对于满足如图所示函数图象所表示的两个变量，请同学们尝试赋予新的实际意义，再用一个具体实际情境来描述这个图象所表示的函数关系．
学生活动：学生在思考后，举出生活中的情境．
师生活动1：教师引导学生对每个具体情境进行辨析，明确情境中的抽象出来时的变量
y与
x的实际意义，当它们的关系满足
y=10
x(
x≥0)时，就可以创设新的情境描述函数图象表示的函数关系；不满足则不可以．
追问1：我们为给定的
y=10
x(
x≥0)的函数图象创设了不同的实际情境，总结一下我们是怎么做到的？
生答：首先明确给定函数图象所表示的
y与
x的函数关系，然后在实际生活中寻找一个情境，抽象出这个情境中的两个变量，如果两个变量的关系也满足上述
y与
x的函数关系，就可以用这个情境来描述这个图象所表示的函数关系，也就为这个给定的函数图象创设了实际情境．
追问2：我们为
y=10
x(
x≥0)的函数图象创设了情境，它仅是正比例函数中的一种，我们可以把这个函数图象推广给形如
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函数图象吗？大家找到的这些情境还符合吗？
师生活动：学生思考表示可以类比形如
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函数图象．教师小结：在生活中，只要具体情境（如行程问题、工程问题、注水问题、利润问题等），它们抽象出来的两个变量
y与
x的关系满足
y=
kx(
k≠0，
x≥0)，就可以用来描述
y=
kx(
k≠0，
x≥0)的函数图象所表示的函数关系．
设计意图：通过最简单的最常见的正比例函数图象，让学生尝试创设情境来描述这个图象所表示的函数关系，并辨析正确与否．在这个过程中加深学生对函数本质的理解，引导学生体会数学建模思想，发展学生用数学建模能力．
问题2：如果给定的函数图象复杂了，你还能用一个具体的情境来描述这个图象所表示的函数关系吗？
问题驱动（1）首先观察图象，你能得到什么信息？
学生回答：这个函数图象由三条线段组成的，先上升再不变最后下降．
问题驱动（2）这是我们接触过的分段函数，可以再详细说明吗？
学生回答：每个
x的范围内，
y随
x的增大先增大再不变后减小．
问题驱动（3）用数学语言怎么表达呢？
学生回答：当0≤
x≤20时，
y=45
x；当20<
x≤30时，
y=900；当30<
x≤40时，
y=-45
x+1800．
问题驱动（4）虽然图象复杂了，但经过分析它是由我们熟悉的函数图象组成的，此时我们可以分段考虑，针对每一个
x的取值范围，找到
y与
x的对应关系，为这段图象创设符合这个函数关系的实际情境，最后再整合到一起，就可以为这个函数图象赋予了一个具体的生活情境．
再观察，这个图象看似有三段组成，但有没有哪部分是我们熟悉的并解决过的呢？
学生回到：第一段函数图象与问题1当中的图象是一致的．
问题驱动（5）可不可以借助问题1中的情境再继续丰富 ，从而描述此时这个图象所表示的
y与
x的函数关系呢？哪位同学想试一试．
师生活动：学生思考后，借助前面的实际情境继续丰富情境从而想象出一个具体的生活情境．教师引导学生对这个具体情境进行辨析．
设计意图：从用具体情境描述一段一次函数图象所表示的函数关系，到描述由三段图象组成的新图象所表示的函数关系，加大了创设正确的实际情境的难度．经过分析让学生感受对复杂的函数图象，可以通过分段考虑再整合的方式来解决，并感受解决复杂问题的一般方法：先将问题拆解，转化为已经研究过的问题．培养学生解决问题的能力．在此过程中，提高学生用实际情境描述图象所表示的函数关系的能力，进一步发展学生的数学模型思想．
【小组探究】通过前面同学的回答，我们已经创设了一个实际情境描述这个函数图象所表示的函数关系，你还能找到其他不同的情境吗？下面通过小组合作的方式，再为这个图象创设一个合适的情境，要求如下：
1．分析情境中相关变量的意义，根据实际情境可以改变原图象中的数据，使得更符合实际意义；
2．设置2个问题，其中1个问题是利用函数图象解决实际问题，不需要计算结果．
师生活动：学生以小组形式积极展开学习，教师巡视，若学生遇到困难，及时给予帮助．
设计意图：通过改变数据，让学生进一步体会实际情景和函数所表达的单调性的关系．通过对问题2的研究，使学生充分体会数学在实际生活中的应用，从而培养学生的兴趣，增强学生的应用意识和数学建模能力．
学生活动 各小组汇报展示．
师生活动：各小组展示本组所创设的实际情境，师生共同辨析每个情境是否可以正确的描述给定的函数图象所表示的函数关系．
升华驱动：回过头来看，我们真的非常厉害，为给定的一个函数图象创设了不同的具体情境．哪位同学可以总结一下我们是怎么做到的呢？
学生回答：首先分析给定函数图象所表示的函数关系，再分析情境中变量之间的关系，关系相同时，就可以用这个情境描述这个函数图象．
设计意图：关注思维方法总结．让学生体会遇到函数关系时，如何和实际情境建立联系．通过展示让学生再次切身感受同一个函数图象，可以用不同的生活情境来描述它所表示的函数关系．引起学生思考，揭示了问题的本质的重要性，加深对函数本质的理解，同时激发学生学习数学的兴趣．
（三）总结提升
本节课，我们从另一个角度再认识了函数图象，探究了如何为给定的函数图象创设情境．为给定图象创设情境就是把实际问题抽象成数学问题的过程．我们用这个方法为同一个图象创设了不同的情境，虽然这些情境各不相同，但是经过大家对其中变量的分析，这些变量都满足同一个函数关系，就可以创设这些情境来描述同一个函数图象所表示的函数关系．在这个过程中，只要抓住函数的本质，也就是
y与
x的关系，就可以实现为给定的函数图象创设符合的情境．这些情境产生的实际问题我们又都可以利用同一个函数模型来解决，使得问题简单化．这就是我们数学的魅力！利用函数模型来解决实际问题的想法是我们所说的数学模型思想，而抽象的过程就是把现实问题转化为数学问题的桥梁．
今天仅就一次函数图象进行了探究，我们还可以就反比例函数图象、二次函数图象，甚至将来我们继续学习的函数图象同样去赋予实际情境，感兴趣的同学我们可以在课后借助其他函数图象继续研究这个问题，让我们更加深刻地感受数学的魅力．
设计意图：通过梳理本节课所学内容，理解本节课的核心——探索用不同情境表述同一函数图象所表述的函数关系，加深学生对函数的理解，感受数学模型思想，发展几何直观和发散思维能力．
（四）课后作业
【试一试】对于下面的二次函数图象，你能用具体情境描述它所表达的函数关系吗？
（五）板书设计
六、目标检测设计
对于下面的二次函数图象，你能用具体情境描述它所表达的函数关系吗？
设计意图：考查学生对本节课内容的掌握.
课例点评
过去我们习惯于从现实中抽象函数关系，而对解析式、图象可以表达一类现实事物的运动变化规律却关注不够．本节课从给定函数图象出发，在构建不同的具体情境表述图象所表达的函数关系的过程中，加深对函数关系和模型思想的理解．本节课有如下特点：
1.在教学设计上，本节课突出体现了通过已有的知识的再思考，加深学生对函数关系的理解．在学生学习过一次函数的基础上，教师通过构建满足正比例函数图象的不同情景，引导学生对满足此图象的两个变量的关系进行分析，使学生在实际生活应用这一层面加深了对函数关系的理解．
2.创设情境合理，提出的问题符合学生认知的同时，用问题驱动的方式引发学生的深入思考，提升学生的思辨能力．
3.在学生活动设计上，充分启发学生思考，既有独立思考，又有小组合作学习，使得学习活动灵活多变，牵动着学生的注意力．同时，教师注意观察学生的活动，倾听学生的发言，捕捉学生的思维难点，给出恰当的激励与点评，通过实时的启发与追问，鼓励学生放开思维，大胆设想，不断总结提升，有效把控课堂生成．通过学生与教师交流，学生与学生交流，加深对函数思想的理解和运用，达到突出重点的目的，较好地达成教学目标．
总之，本节课能够引导学生展开充分想象，在构建不同的具体情境表述图象所表达的函数关系的过程中，加深学生对函数的理解，发展了几何直观，培养了学生数学模型思想和数学学习的兴趣.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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