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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《代数推理——读心魔术的奥秘》海南
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《代数推理——读心魔术的奥秘》海南省国兴中学
课题：25.1.1《随机事件》
教 学 设 计
一、教学内容分析
1．教学内容
本节课的教学内容是通过具体的代数推理与证明，帮助学生在逻辑论证的过程中，体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式进行表述的方法，逐渐形成推理能力，培养学生的科学精神。
2．内容解析
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。代数推理就是通过数学证明，等式变换等方式将复杂的问题简单化，最终达到想要的结果。在初中数学中，它即存在于代数的纯理论证明，也体现在几何结论的代数证明（如勾股定理的面积证法），但在人教版教材中从未正面向学生正面介绍过什么是代数推理。在向学生介绍什么是代数推理时，要充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程。从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，是本课内容设计非常重视的一个问题。代数推理又具有很强的逻辑性，因此在本节课内容安排上，应具有很强的逻辑联系。
基于以上分析，在教学内容上，以学生喜爱的读心魔术为问题背景，借助读心魔术揭秘的思考方式引入代数推理的思考方式。承接学生小学已经学过的3的倍数特征问题，将结论引入代数证明，从特殊的四位数证明逐步推广到任意自然数3的倍数特征的证明，借此帮助学生深入体会代数推理的魅力，最后回到一个新的读心魔术由学生尝试利用代数推理揭秘，回归实际问题，帮助学生循序渐进的经历“特殊——一般——特殊”的思考过程。
本课内容从属于“数与代数”这一学习领域，因而在教学中，应注意发展学生的符号意识，所学内容能够帮助学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性，全方位的培养学生代数推理的能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：任意一个自然数3的倍数特征的证明方法．
二、教学目标分析
1．教学目标
（1）知识技能：
了解代数推理的概念，理解3的倍数特征的证明方法；学会用代数推理一些数与式的基本结论．
（2）数学方法：
经历“具体问题——抽象为数学问题——解决具体问题”的探究过程；通过从特殊到一般的思考方式，结合已有的经验，清晰的认识到3的倍数特征，发现9的倍数特征，感受类比思想的应用，发展符号意识．
（3）问题解决：
采用小组合作与独立探究相结合的教学方法，由具体的问题抽象为数学问题并通过代数推理给出相关证明．
（4）情感态度：
体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学习数学的乐趣；体会经过代数推理得出结论具有的一般性，树立科学精神。
2．目标解析：
达成目标（1）的标志是能在证明四位数的3的倍数特点后独立证明5位数的倍数特点，进而证明出n为数的3的倍数特征，并探究出9的倍数的数字特征．
达成目标（2）的标志是学生能够应用今日所学知识揭秘一个相关的数字读心魔术．
达成目标（3）的标志是学生在小组合作中能讨论并解决问题串中的问题，有良好的合作氛围和积极思考的态度．
达成目标（4）的标志是学生感受到数学与实际生活的联系，整节课学习的氛围是愉快高效的且有所收获．
三、学情分析
学生在小学已经学习了一些关于数与代数的知识，比如用字母表示数，学生在初中阶段也对代数式的知识进行了相关的具体学习，对代数式的运算及恒等变形有一定的基础．在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些代数推理的过程，（如勾股定理的代数证明）解决了一些简单的现实问题，感受到了掌握代数推理的必要性和作用，获得了从实际问题中抽象出数学问题必须的一些数学活动经验的基础；同时学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，并且已经掌握了一定的信息技术的操作方法．
但学生对于代数推理的理解仍旧相对模糊，且学生将实际问题抽象为代数问题的经验不足，学生在此前只学过相关结论很少接触任意自然数的一般性证明，在用代数式表示由特殊的具体问题转化为一般的抽象问题时，仍存在不小的理解和推理障碍。
基于以上分析，本节课的教学难点是：体会证明任意自然数3的倍数的思想方法，理解一般性问题的代数式表述及推理运算．
四、教学策略分析
本节课采用情景教学、小组合作、自主探究、问题串引导的教学方式，借助平板电脑进行教学．
《代数推理——读心魔术中的奥秘》共两部分内容，第一部分为通过读心模式的揭秘过程，帮助学生体会代数推理的思考过程，第二部分为代数推理的应用——证明3的倍数特征及在证明中的发现；因两部分内容逻辑关系较为紧密，故而把两部分内容编排为一课时内容．
因所学知识在实际生活中应用广泛，故而借助读心魔术的情景分析，由学生从具体情境中抽象出相应的数学思考方式，感受数学与实际生活的联系．所以我们在探究所有结论的时候，以小组合作的方式使全体学生都参与到活动中来，在活动中感悟知识，在代数推理中发展符号意识，树立科学信念．
教师在学生合作探究的过程中扮演指导的角色，将课堂主体还给学生，学生在探究中遇到问题由教师指导解决，共性问题交给全班讨论，充分调动学生的思考积极性；借助平板教学，充分给予学生展示的空间，弥补探究学习中成果不能及时反馈的缺点．
五、教学过程设计
本节课设计了八个教学环节：预习讲评、情境引入、师生研讨、学以致用、拓展延伸、巩固练习、课堂小结、布置作业．
第一环节 预习讲评
预习案——课前知识储备
-
下列各数中不是3的倍数的是（ ）.
A、1116 B、3451 C、7443 D、8769
2、3的倍数的特征是（ ）.
-
个位上的数是3的倍数，则这个数为3的倍数
-
个位上的数是6的倍数，则这个数为3的倍数
-
个位上的数是9的倍数，则这个数为3的倍数
-
各个数位上的数字和是3的倍数，则这个数为3的倍数
3、根据整数的组成，7443可以写成（ ）.
A、7×10
3+4×10
2+4×10+3 B、7×10
4+4×10
3+4×10
2+3
C、7×10
3+4×10
2+4×10
2+3 D、7×10
4+4×10
2+4×10
2+3
-
若n为整数，则代数式2n一定表示（ ）.
-
若n为整数，则代数式2n+1和2n-1一定表示（ ）.
-
两个连续的奇数 B、连个连续的偶数
-
两个连续的质数 D、两个连续的合数
-
一个五位自然数，若它的最高数位上的数字为9，则9表示（ ）个1.
A、10
2 B、10
3 C、10
4 D、10
5
-
一个n位自然数，若它的最高数位上的数字为7，则7表示（ ）个1.
A、7×10
n B、7×10
n-1 C、7×10
n-2 D、7×10
n-3
-
已知：10-1=9，102-1=99，103-1=999，104-1=9999，……，按照上面的规律，10n-1的结果从形式上看应该是（ ）.
A、n+1个9 B、n个9 C、n-1个9 D、n-2个9
-
若a1是3的倍数，a2也是3的倍数，则a1+a2一定是（ ）的倍数.
A、2 B、3 C、4 D、5
-
若a1除以3余1，a2除以3也余1，则a1－a2一定是（ ）的倍数.
A、5 B、4 C、3 D、2
师生活动：教师根绝平板电脑统计的学生预习案的大体情况，选择性讲解共性问题，学生提问个别问题．
设计意图：通过课前预习案的设置帮助学生回忆起本节课需要掌握的知识，做好课前知识储备，通过预习案的点评和讲解，帮助学生扫清前序知识的障碍，为开始接下来的新课学习打下坚实的基础．
第二环节 情境引入
情景：读心魔术。教师首先猜一个数字,写在信封内；然后请同学们任意选取一个数字均相同的三位数；接着请大家计算出这个三位数除以这个三位数各个数字之和的商；记在心里，不要告诉其他人；之后，随机抽取一名同学，公布他心里的数字；最后，揭晓教师猜的数字，看是否一致。
师生活动：同学们按规则运算记数，教师通过平板随机选择学生配合表演读心．
设计意图：通过师生间共同参与到读心术中，激发学生的好奇心，拉近师生间的距离，促进学生接下来积极投入到思考之中．
第三环节 师生研讨
问题1：你认为这个读心魔术中，导致教师猜到数字的关键步骤是哪个？
问题2：你能把它们翻译成数学语言吗？
师生活动：教同学们积极思考回答问题，教师做适当点评。
文字叙述： 代数语言：
（1）任意选取一个数字均相同的三位数；（1）设这个三位数为：
（2）计算出这个三位数除以这个三位数 （2）
各个数字之和的商。
．
设计意图：通过问题1引导同学们对读心魔术进行系统思考，找出读心术奥秘的关键步骤；问题2引导学生将文字叙述的实际问题转化为用代数语言描述的数学问题，渗透符号意识．
问题3：你能发现魔术中的奥秘了吗？
师生活动：学生进行小组活动，并将讨论结果用平板电脑上传；教师参与到小组活动中收集学生的反馈信息并为各个小组排忧解难．
设计意图：通过小组合作，引导学生对已经转化好的数学问题进行相关运算和思考，初步加深学生对利用代数推理的理解，并在此环节中体验到代数推理的妙处．
追问1：在上面魔术揭秘的过程中，设这个三位数为
的作用是什么？
师生活动：师生共同说出：字母a可以表示任意一个数字。
设计意图：通过思考，进一步加深学生对代数表示的一般性的理解.
追问2：回顾刚才探究魔术原理的过程中，我们是通过怎样的过程，借助什么来解决问题的？
师生活动：教师和学生共同总结出用字母表示数，即代数的一般性，将实际问题抽象为数学问题中的代数问题，进而借助代数知识解决问题。——这种解决问题的方法称之为“代数推理”。
设计意图：通过对上面思考过程的回顾，体会代数推理的一般过程，帮助学生感知从具体——抽象的过程。
第四环节 学以致用
例：设
是一个四位整数，证明：当
是3的倍数时，这个数也是3的倍数。
提示1：结合数的组成，
如何用
表示？
思考：
提示2：如何将
与
产生联系呢？
思考：
师生活动：学生带着问题以小组为单位进行讨论思考，并将结果呈现在平板电脑中上传中．教师引导学生分析表格中的数据，得出相关结论的代数证明．
问题3：接下来如何说明结论呢？.
思考：
．
设计意图：再次让学生经历将具体问题转化为代数问题的过程，进一步完成代数推理中的代数运算，发展学生的逻辑推理能力和符号意识。．
第五环节 拓展延伸
拓展1：仿照刚才的证明过程，你能否证明:一个五位整数，只要这个五位数的各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个自然数也是3的倍数？
设计意图：此处留给学生充分的时间与空间去活动，培养学生的类比能力，检测学生对利用代数推理解决这类问题的方法是否掌握．
拓展2：仿照刚才的证明过程，你能否证明:一个六位整数，只要这个五位数的各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个自然数也是3的倍数？
仿照刚才的证明过程，你能否证明:一个七位整数，只要这个五位数的各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个自然数也是3的倍数？
师生活动：通过类比四位数和更解决的五位数的经验，学生类比出n位自然数的证明方法，
设计意图：培养学生的类比能力，让学生经历从特殊到一般的思考过程，感受代数推理具有的一般性，检测学生对利用代数推理解决这类问题的方法是否掌握．
拓展3：回顾刚才的证明过程，还可以发现：
请填空:任意一个自然数，这个自然数的各个数位上的数字之和是
9 的倍数，那么这个自然数也是
9 的倍数。
师生活动：通过回顾刚才的证明过程，学生小组合作讨论发现9的倍数特征.
设计意图：培养学生的反思能力，举一反三和发现问题的能力．
拓展4：回顾刚才的证明过程，还可以发现：
请填空:任意两个自然数，只要这两个自然数各个数位上的数字之和相同，那么它们的差一定是
9 的倍数。
师生活动：通过回顾刚才的证明过程，学生小组合作讨论思考，两个各个数位上的数字之和相同的数做差，也是9的倍数特征，
设计意图：培养学生的反思能力，举一反三和发现问题的能力．为后面的巩固练习中的魔术揭秘做知识奠基.
第六环节 巩固练习
魔术师给某位观众表演魔术，要求观众按如下流程操作：
（1）任写一个五位数；
（2）将五位数字重新排成一个新的五位数；
（3）将这两个五位数做差；（用较大的数减较小的数）
（4）在差中任意选一个非零数字，并将其他数字告诉魔术师，魔术师马上就能说出观众选的数字。
你知道这其中的奥秘吗？
师生活动：教师引导学生思考，利用代数推理和本节课所学的知识得出奥秘．因为这两个五位数的各个数位上的数字和相同，所以这两个五位数的差一定是9的倍数，也就是所得差的各个数位上的数字之和是9的倍数，只要魔术师找到最接近观众剩下数字之和的9的倍数（这个9的倍数要比观众给的数字和大），再减去观众给的数字之和，就是观众所选的数字。
设计意图：通过课堂练习对本节知识进行巩固和提高．用本节课所学的一般性代数推理内容解决一个实际问题，为学生构筑又从抽象到具体的思考过程，体现数学知识在实际生活中有着广泛的应用，树立学生的科学精神．
追问：为什么魔术师要观众任意选一个非零的数字呢？
师生活动：学生思考问题并给出答案：因为如果观众报出的数字之和恰好是9的倍数，那么观众选的数字刚好就有0和9两种情况，指定观众选择的数非0，那么此时，观众选的数字只能是9.
设计意图：通过进一步思考培养学生思考全面的习惯，同时也加深对魔术奥秘的理解.
第七环节 课堂小结
问题：这节课你有什么收获？
师生活动：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想，巩固知识，并且对学生的价值观做正向引导．
设计意图：通过回顾整节课的知识，加深学生对本节课所学知识的理解，畅谈收获，增加学生学习数学的主动性和必要性.
第八环节 布置作业
1．完成本节课目标检测案.
2．与小组成员交流你对代数推理过程的感悟.
设计意图：借助课后练习，巩固学生对上课所学内容的理解，并做好反思，回顾，让数学思想在学生心中开花结果．
六、课堂教学目标检测案
（一）检测题目：
1、证明：两个连续的奇数的平方差为8的倍数。
【
设计意图】检测学生是否掌握代数推理的思考过程，能否将文字叙述转化为代数语言，进而借助代数知识解决实际问题。
2、证明：任意一个自然数如果个位上的数字是2的倍数则，它就是2的倍数。
【
设计意图】检测学生是否掌握代数推理的思考过程，利用代数推理证明与课上相似的问题，检测学生的类比学习能力及代数式恒等变形的能力。
3、探索推广：根据上题的证明过程，试推理出4的倍数的特征。
【
设计意图】检测学生是否具备反思回顾的能力。
4*、探索推广：根据上题的证明过程，试推理出8的倍数的特征。
【
设计意图】检测学生是否掌握代数推理和类比思想。
5、
【
设计意图】以生活中的实力出发，探索其中的规律并加以用代数推理证明，培养学生学习数学的兴趣，增加学生对生活中的数学知识的认知，体味数学知识与实际生活息息相关。
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