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视频标签：第十二届全国初中青年
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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程根与系数的关系》湖南—余游
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程根与系数的关系》湖南—余游
第十二届初中青年数学教师课例展示与研讨活动
教学设计
一、基本信息
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参赛学科 |
数学 |
执教者 |
余游 |
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参赛项目 |
初中青年数学教师“课堂教学（视频）展示” |
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教材版本 |
湘教版 |
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年 级 |
九年级上册 |
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单元名称 |
一元二次方程 |
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本课课题 |
一元二次方程根与系数的关系 |
-
教学设计
（一）教学内容解析
《一元二次方程根与系数的关系》是湘教版《数学》教材九年级上册第二章《一元二次方程》第四节的内容.方程是初中数学的核心内容，它是刻画现实世界中量与量之间的重要数学模型，要求学生要领会模型思想、数学抽象，培养学生的运算能力.而《一元二次方程》是在学习了一元一次方程的概念、解法及建立方程模型解决实际问题以及它的几何意义的基础上，通过类比学习并运用转化思想将其化为两个一元一次方程来求解与研究的，为后续学习二次函数、一元二次不等式及研究高次方程等奠定了基础.本节课《一元二次方程根与系数的关系》以所学的求根公式、因式分解法解一元二次方程、比较系数法为基础探究一元二次方程根与系数之间存在的关系，属于初高中衔接的选学内容.根与系数的关系也称为韦达（法国数学家）定理，是初中代数中一个重要的定理，在高中乃至初等数学的学习中有着广泛的应用，也是研究高次方程的根与系数的关系的依据，所以具有承上启下的作用.因此本节课的重点是一元二次方程根与系数的关系的理解与应用.
（二）学生学情分析
通过前面的学习，学生已经掌握了用直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程，会用判别式判定方程根的情况，学习了用提取公因式、应用公式及十字相乘等方法对多项式进行因式分解和二次根式的加减乘除运算.已经初步具备了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，有一定的逻辑思维能力，能主动的去思考，会将问题进行转化，也能从特殊情况出发去探究一般性的问题.人教版教材是利用求根公式先求得一元二次方程
的两根
，再求
和
的值，从而得到方程两根之和与两根之积的关系，导入直接，学生也容易理解，只是运算麻烦.湘教版教材根据《新课标》关于二次根式计算的要求及与高中和大学学习的统一，没有采用这一方法，而是利用若
是
的两根，则方程左边的二次三项式
可因式分解成
,通过比较系数法找到根与系数之间的关系，从而得出结论，是一种通性通法，但是学生难于理解.所以，本节课的难点是一元二次方程根与系数的关系的探究.
（三）教学目标设置
1.经历从二次项系数是1的一元二次方程这一特殊情况出发探究一元二次方程根与系数关系，并将二次项系数不是1的情况转化为二次项系数是1的特殊情况，从而得到一般情况下的一元二次方程根与系数关系的过程，培养学生观察、猜想、证明、归纳的能力，渗透化归、从特殊到一般再到特殊等数学思想.
2.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决已知一元二次方程的根或通过构造一元二次方程求根后与方程两根有关的代数式的值问题，培养学生的运算能力，渗透整体思想、恒等变换思想.
3.能够运用一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根的定义解决已知一根求另一根及字母系数的值，学会从不同的方法中选取最优的方法.
4.在问题探究的过程中培养学生的团队意识、合作精神，学会有逻辑的思考.
（四）教学策略
《课程标准》提出，教学活动应将过去的教师教，学生被动接受学习转变为学生在教师的引导下自主探究，合作交流，大胆猜想，动手实践，用已有的数学知识和方法解决数学问题。所以本节课遵循以教材为载体，以方法为纽带，以核心素养为目标，讲授法、讨论法、演示法、启发法相结合，引导学生自主学习、探究学习、合作学习，同时借助多媒体技术，包括投屏，希沃游戏等丰富课堂形式,加强学生上课积极性.将每一个探究都作为数学核心素养的孕育点和生长点.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.
（五）教学过程设计
一．作业点评
已知一元二次方程
的两根分别为
，请求出下列代数式的值.
（2）
设计意图：从作业入手，回忆用公式法解一元二次方程的有关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络.同时让学生在再探索过程中，很自然地体会到研究两根之和与两根之积的必要性.设置悬念，在最短时间内将学生注意力迅速集中到新课学习上.
二．交流发现
1.按要求填写下列表格：
观察上表，你有什么新发现吗？
设计意图：学生通过计算、观察、分析，发现在二次项系数为1的情况下一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，培养学生发现问题、提出问题的能力，体会由特殊到一般的认识过程.
三．探究学习
1.运用已学知识证明：如果一元二次方程
的两个根分别是
、
那么：
2.思考：在二次项系数不为1的情况下，方程
的两根之和与两根之积与系数之间又有怎样的数量关系呢？
结论：若一元二次方程
的两个根分别是
、
，则 .
设计意图：通过探究活动，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，经历“观察、猜想、验证”这一过程。培养学生分析问题、解决问题的能力，丰富学生逻辑推理的核心素养.
希沃Pk小游戏：运用韦达定理迅速求出方程的两根之积与两根之和.
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
设计意图：运用多媒体技术，加强与学生之间的互动，增强课堂趣味性.同时通过小题及时练习巩固，体现学以致用的观念,增强学生运用新知的能力.
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根
的和与积.
-
（2）
设计意图：紧扣教材，例题示范，规范学生书写过程，加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力，让学生充分参与教学，在参与的过程中得到充足的体验和发展.
情境回归：已知一元二次方程
的两根分别为
，请求出下列代数式的值.
（1）
(2)
变式 已知一元二次方程
的两根分别为
，不解方程，求
的值.
设计意图：回归作业，首尾呼应.培养学生知识迁移能力，渗透转化、整体的数学思想.并在问题探究的过程中培养学生的团队意识、合作精神，引导学生学会有逻辑地思考.
例2 方程
有一个根是
,求方程的另一个根及
的值.
设计意图：培养学生逆向思维，引导学生学会运用根与系数之间的关系去解决关于一元二次方程根的有关问题，通过比较让学生感知韦达定理在运算上的简便作用.学会从不同的方法中选取最优的方法.
六．课堂小结
-
我们研究了什么？
-
我们是怎么研究的？
-
在研究过程中我们体会到了哪些数学思想与方法？
设计意图：不仅注重知识点的回顾，还进行过程的回顾，领悟探究过程中蕴含的思想方法，回归问题的本质.理清知识脉络，形成有结构的知识体系并培养和提升学生归纳概括和语言表达的能力.
七．拓展延伸
如果
满足
且
求代数式
的值.
设计意图：巩固已学知识，发散学生思维，渗透方程思想，提升学生综合解决问题的能力，让学生有所学，有所获.
八．课后作业
分层作业：A层：课本48页第1，2，3题（必做）
B层：课本48页第5题（选做）
设计意图：巧妙设计分层作业，让不同水平的学生都获得不同的发展，使得作业更加贴近学情，落实国家的“双减”政策.
四、教学反思
优点：
1、将探究根与系数的关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现，给予学生一个适度的梯度探究空间，符合学生认知发展规律，使得每一位学生都能参与其中. 在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究——一般猜证——深化理解”的教学设计，由“观察——猜想——再观察——再猜想”的探究过程，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会.
2、在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想.通过例题、习题的解决渗透恒等变换、化归、类比等数学的思想，以此为载体，充分发挥其素质教育的功能，培养起学生的发散性思维和探究能力.
不足：
本节课教学设计注重开发学生的思维能力,学生理解很好，但是掌握起来却有一定困难。在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，课堂45分钟内的内容准备一定要充分、简单，使学生有成就感.还应注意锻炼学生们的独立思考能力，在课堂上留好充足的练习时间.
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