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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程的根与系数的关系》内蒙古—毛
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程的根与系数的关系》内蒙古—毛鑫国
展示课指定题目
《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
教学内容解析：
本节的教学内容是《数学课程标准》中“数与代数”领域的选学内容。是在学生掌握了一元二次方程的解法和根的判别式的基础上进行的，事实上求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，教材这样编排，要求既要注意数学知识的系统性，又要符合学生的认识规律。学完本节内容，能在不解方程的情况下判断根的符号、求根、验根以及求和根有关的代数式的值等。本节知识是本章前几节内容的发展、深入和完善，是学习“二次三项式的因式分解，二次方程组的解法，二次函数”等知识的基础，因此本节课起到了承前启后的作用。又由于一元二次方程根与系数的关系是一元 n 次方程根与系数关系的特例，所以学习它也为今后进一步学习方程理论打下基础。
教材这样安排，一是渗透由特殊到一般的数学思想；二是培养学生观察、比较、归纳和推理的能力，因本节的例题、习题既可用前面学过的解方程的知识解决，也可用本节知识解决，这样将新旧知识加以对比，以体现用新方法解题的优越性。使学生今后在处理有关一元二次方程的问题时多一些思路和方法。
教学重点：一元二次方程根与系数的关系以及简单应用
教学目标：
一、课程标准目标
了解一元二次方程的根与系数的关系。
二、单元目标
1.能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等，理解求根公式和根的判别式已经初步揭示了一元二次方程根与系数的关系；
2.经历进一步探索一元二次方程根与系数关系的过程，了解两根和、两根积与系数的关系；
3.能用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题。
三、本节课目标
-
了解一元二次方程根与系数的关系，能通过系数表示方程的根、用方程的根表示系数，并能灵活运用韦达定理解决一些较简单的问题；
-
探索一元二次方程根与系数的关系，经历定理的形成过程，形成“探索—发现—猜想—证明—应用”的“做数学”的能力，发展符号意识与推理能力，体会特殊与一般、类比、转化、整体代入等数学思想方法；
3.了解一元二次方程根与系数的关系的相关历史，感悟数学家追求真理的理性精神，体验数学美，品味多元数学文化。
学情分析：
一、学生已有认知基础：学生已经掌握了一元二次方程的解法，能够熟练运用求根公式解一元二次方程，熟练应用根的判别式判断根的情况。
二、达成目标所需认知基础：能经历“探索—发现—猜想—证明—应用”的探索过程，以及从特殊化到一般化的完整过程。
三、已有基础与需要基础之间的差异：学生虽然具备了一定的计算基础，但本节课的内容、思路都是学生前面方程研究中所没有遇到的。九年级学生对事物的认识多是直观、形象的。他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，对于具体问题归纳总结得到的一些结论，他们有一定的推理欲望和基础，但更关注应用，虽然已经具备一定的推理证明、知识迁移、观察总结归纳的能力，但是对所得结论的逆命题缺乏主动思考，需要教师给予恰当、适时引导。
四、教学难点及突破策略
1.本节课的教学难点：从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述和正确推理。
2.突破策略：在特例中设定开放式问题，学生可以尝试简单的运算和组合，感受一元二次方程的根与系数的关系的多样性，进而比较、讨论这些关系中哪些不受根的出现顺序的影响，更有研究价值，逐步建立起来关系，并能更加简便地解决问题。
教学策略：
一、为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以开放式的问题作为引领，引导学生积极思考。
二、根据本节内容的特点和学生情况，需要借助探究活动，让学生重构式地亲历“探索—发现—猜想—验证”的过程，让学生真正了解到根与系数关系的前世今生。从知识联系出发，不仅做到了“知其然（怎么算），知其所以然（为什么要这样算）”，还让学生明白“何由以知其所以然（怎么想到这样算）”。渗透由特殊到一般的数学思想。使学生今后对于公式、性质、法则、定理在整个数学知识系统中的作用、地位和价值有全新的认识。
三、基于本节课的内容和学生基础，设计从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，然后抛出一个利用现有知识很难解决的问题，让他们体会到现有知识的局限性，引发认知冲突，接着抛出一个开放式的探索问题，发展感性认识，合作意识，学生通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系。
四、教学要面向全体学生，并兼顾学有困难和学有余力的学生，对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能。
五、本节课是开发数学学科德育功能的绝佳载体，因此，学生在课堂上通过合作学习、大胆展示、激励性评价，完成愉快的探究、应用、感悟过程，使学生有效掌握数学原理和探究的一般规律，感悟用数学思考问题的方式方法，提高数学核心素养。
教学过程：
环节一：复习回顾
-
同学们，最近我们都在研究一元二次方程，那么你能想到关于它的哪些知识呢？
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式：
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0)（板书）
一元二次方程有实数根的条件 (△=
b2-
4ac≥0)
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程有两个相等的实数根，△＜0 时，方程无实数根。
一元二次方程的求解方法和求根公式
【设计意图】以开放式问题引导学生思考，回忆一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。开放性问题的另一个好处，是让不同层次的学生均能够参与其中，并在不知不觉中引入新课，进而激发学生的学习热情，为本节课的探索之路做预热练习。根据学生的回答，教师进行引导、跟进、展开、深化，在一系列的“问题串”后聚焦问题实质。
环节二：情境引入
-
同学们，请你谈谈对于解一元二次方程的感受？
-
确实，解一元二次方程的世界比较单调，所以人们总是在探索能不能不解方程就能知道根的一些情况，同学们目前能不解方程知道哪些情况呢？（根的判别式和求根公式）其实根的判别式和求根公式就是反映了根与系数的一种关系。
-
但是有时候用求根公式和根的判别式也很难解决的一些问题，比如说已知一元二次方程 ，你能不能用三秒钟时间求出 的值呢？根与系数之间还有哪些千丝万缕的关系呢？这就是我们今天要研究的内容（写出课题）。
【设计意图】通过具体繁杂的一元二次方程，现有知识难以快速得出结果入手，引起学生情感共鸣，激发学生学习、探索的兴趣。
环节三：新知探究
活动一：从2
x²+3
x+1=0谈起 （特例）
要求：（1）解方程；（2）把方程的两根经历简单的运算、组合，其结果与系数有什么关系？猜想一下。
学生展示：找多个学生展示探索结果。
教师问题1：通过比较同伴的探索，发现有些关系的结果相同，有些关系的结果不同，为什么会产生这样的情况？（加法、乘法交换律）
教师问题2：哪些结果不受根的顺序的影响？
教师问题3：我们应该研究不受根顺序影响的关系还是受影响的关系？今天，我们就从最具普适性，有研究价值的两个关系开启研究。
【设计意图】本环节采用开放实践、观察、发现、猜想的过程，激起学生兴趣点，引发学生深度思考得到两根之和，之差，之积，之商等，然后观察发现有些关系的结果因为根的顺序而受到了影响，而乘法、加法不受影响，逐渐开启研究主题。
活动二：请你再举例实例，看看刚才的发现还适用吗？（再试）
（学生回答问题后，老师追问）那是不是所有的一元二次方程都具备这样的根与系数的关系呢？由此你得到什么样的猜想？
设计意图：再次尝试举例，增加学生的理解与感受。
活动三：延伸到
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0且
b²-
4ac≥0)
进一步猜想根
x1，
x2与
a、
b、
c之间的关系（猜想）
【设计意图】体会由特殊到一般的解决问题的思路，培养数学观察、思考、归纳、能力。
活动四：你能证明上面的猜想吗？请证明。（验证）
（学生先思考可以根据实际情况再小组交流讨论，老师板书）
一元二次方程
ax²+
bx+
c=0（
a≠0）当
b²-
4ac≥0时，有两个实数根：
，
+
=
=
=
=
【设计意图】不是直接给出定理，而是在“矛盾冲突”中思考怎么样才能将猜想的结论推广。通过利用一般式证明一元二次方程根与系数的关系，培养符号意识和逻辑推理能力，通过这四个活动给学生渗透解决类似问题的路径：通过特例—再试—猜想—证明—应用五个过程，形成解决问题的方法。
活动五：
通过刚才的学习我们知道可以利用一元二次方程的系数表示根，那么能不能利用根来表示系数呢？（把一元二次方程的一般形式用两根之和与两根之积表示，培养逆向思维）
= 0
即：
【设计意图】加深学生的核心素养的渗透与思考，利用得到的根与系数关系逆向去推出根表达一元二次方程形式，实质就是十字相乘法解一元二次方程的化简形式，也可以利用这种形式来构建新方程，也是为后面二次函数的交点式做铺垫。激发学生的探究欲望，引导学生思维的深度参与。让学生在亲历知识发生发展的过程中，领悟根与系数关系的本质特征，实现德育教育与思维课堂的完美结合。
活动六：数学文化——韦达的简史
16世纪，有一个法国人叫韦达，他曾经当过律师、议员，战争中破译过密码，一不小心从393416边形中算出圆周率，并精确到小数点后九位，又一不小心成为第一个用字母表示已知量和未知量的人，第一个把代数变换应用到三角学中的人，一不小心获得“西方代数学之父”的称号，一不小心最早发现了根与系数的关系，所以我们也经常称这个关系为“韦达定理”。那么，这么多的成就真的是他不小心获得吗？
（老师引导知识的获得是源于满腔的的热爱与执着，希望每位同学都能够用这样的坚定去面对学习和生活）
【设计意图】拓展数学文化修养，并突出“数学育人”功能，充分发挥学生主体角色，学生可以尽情地感受、联想，形成良好的数学观。课堂小结以及课后作业都有类似的内容，促进了学生知识结构的系统性生成，强化了学生对数学思想的认识，加深对数学文化的领悟感知。
环节三：典例精讲
例:利用跟与系数关系，求解下列方程的两根之和、两根之积：
(1)
(2)
【设计意图】巩固对于一元二次方程根与系数的关系的知识，让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根之和与两根之积，比较简便，并且加深学生对根与系数的关系的本质理解。
再次回顾思考
请用三秒钟求出
的值。
【设计意图】与前面呼应，加深学生对于一元二次方程根与系数的关系的优越性的理解，提高学生的兴趣体验。
环节四：学以致用
-
已知长方形的相邻两边长是方程 x2–7x+8=0 的两个根，则长方形的周长为 ，面积为 。
-
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
3.小明和小华分别求出了方程 9
x²+6
x−1=0的根，
小明：
；
小华：
，
他们的答案正确吗？说说你的判断方法。
【设计意图】进一步巩固一元二次方程根与系数的关系 ，熟练应用一元二次方程根与系数的关系的知识解决问题，体会其作用。
环节五：课堂小结
今天的课程你了解到了哪些知识？通过什么方法得到的这个知识？学会了哪些解决问题的方法？这些知识或者方法对你今后的学习有哪些启示？
【设计意图】设问环环相扣，从而让学生在掌握四基、提高四能的过程中能够相辅相成，再次升华。
教后反思：
本课沿着定理发生和发展的脉络，从而让学生有了更深刻的了解。数学文化“知识源流”的维度让学习自然而然，水到渠成。通过设而不求的数学思想，推导一元二次方程根与系数的关系定理，体现数学的简洁美；多种数学方法的使用，引导学生体会数学的奇异美和理性精神，并完成了学习兴趣的激发、学习信念的树立、学习品质的锤炼，落实了“德育之效”。通过观察、归纳、推理、证明的方式，步步引导学生发现数学定理。从数学思想的角度来看，韦达定理体现出整体性思想，教学过程体现出归纳思想，解题方式带有化归思想。教学过程中，设计了激发性的教学情境，以激起学生的“好胜心”为开端，学生在“好奇心”的激励下主动探究韦达定理，在得出与历史上数学家毫无二致的证明过程时，自豪感便会油然而生。学生在这种良好心理状态下，保持情绪上的活跃和行动上的参与，都会提高学生的学习效率，启发他们自主发现并验证韦达定理，理解其深刻含义。在静下心的反思中，也感觉到了很多不足，例如在利用特例探索发现的环节，如果学生能生成更多的关系，例如
x1²+
x2²，在最后就能引导学生体会韦达定理解决类似关系的方法，研究过程中还有一些想法没能完全实现或实现的不够。在今后的教育教学中我将继续努力，砥砺前行！
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