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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《4.3.1 角》辽宁_王昕昕
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《4.3.1 角》辽宁_王昕昕
第十二届初中青年数学教师优秀课展示与研讨活动
角
人教版《义务教育教科书·数学》
（七年级上册第四章4.3.1）
授课教师：王昕昕 辽宁省鞍山市高新区实验学校
《角》教学设计
王昕昕
（辽宁省鞍山市高新区实验学校）
摘 要：几何概念是学生学习其他几何知识的基础，角作为中学几何概念学习中的重要概念之一，在教学中有着举重若轻的地位.本节课通过类比线段的研究思路构建出角的研究路径，从角的定义、表示方法、度量及画法等方面展开对角的研究. 学生借助直观，基于活动，通过动手操作、观察、比较、分析图形，经历了概念的探究过程，逐渐从两个角度建立角的概念，促进学生对角的理解.这节课特色在于以学生的认知特点为基础，通过小组合作，自学研读教材，学生自主去思考、探究，亲自经历知识的产生与发展过程. 有效培养学生运用数学眼光看待问题，用数学语言精准的描述问题，用数学抽象的思维方式思考并解决问题，为学生终身的发展奠定基础.
关键词：概念教学；数学抽象；概念形成；角
一、内容和内容解析
1.内容
人教版《义务教育教科书 数学》七年级上册：“4.3.1 角”.
本节课具体内容为角的定义，角的表示方法，角的度量工具和单位以及画法.
知识结构图
2.内容解析
《几何图形初步》一章的学习是图形与几何学习的开端，主要学习了基本图形概念的抽象，图形的表示，画图，作图，对几何语言的学习、运用等，这些都是几何学习的起始基础，而概念的抽象是这一章学习的难点.学生能用准确的数学语言表达出抽象的概念是学生在初学几何时的一大障碍，《角》这节课的教学恰恰是由简单向复杂学习几何图形概念的起点. 在学习本节课之前，学生在小学对角的概念、角的表示、角的度量直观上就已经有了粗浅的认识，但从理性推理的角度再认识角缺乏经验，后续学习的重点则是理解角的动态、静态概念.从理性角度给几何图形下定义，学生没有学习经验，学习下定义的方法，并用这种方法给角下定义，既符合几何图形的研究体系，也符合逻辑推理的素养.
利用几何图形构成的元素和元素之间的位置关系，以及运用描述运动过程方式给角下定义对学生来说较为困难，因此本节课采用探究式教学：实际生活情境 ——抽象几何图形——发现本质特征——描述概念——概念辨析等步骤，借用学生概念学习的学习经验，学生在探究过程中自主发现静态角的共性特征和动态角的射线运动方式给角下定义，并逐步认同它是几何图形下定义的方式. 基于以上分析,确定本节课教学重点为：角的概念与角的表示方法.
二、目标和目标解析
1.目标
-
在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，体会用运动的观点理解角、平角、周角的概念；
-
学会角的表示方法，认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生经历类比线段的研究思路得到角的研究思路
的过程，能初步意识到数学知识内部之间的联系；建立研究几何图形的一般路径；学生经历实际背景——数学抽象——概括本质特征——下定义——概念辨析的过程，通过独立思考、小组合作的学习方式，从静态和动态两个角度理解角的概念，并初步形成给几何图形下定义的思路，发展学生理性思维，积累数学研究的活动经验.
达成目标（2）的标志是：会用恰当的方式表示一个角；能独立阅读教材，会从材料中提炼知识，认识角的常用度量单位（度、分、秒），并进行简单的换算，了解角的画法中使用的工具，提高自主学习意识.
三、学生学情分析以往的教学更多的是关注概念的记忆和运用，对于概念抽象的过程以及概念内涵与外延的理解，学生由于缺乏过程体验，只是机械的记忆与背诵，所以运用概念的过程中出现混乱.基于以上原因，在七年级其他的五个班级共182名学生刚刚学完角这节课之后，我选择对他们进行调研，设计的第一组试题考察的是概念运用，第二组试题考察的是概念的数学语言表达.
学情调查问卷
学情调查数据统计
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题号 |
答对 |
答错 |
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人数 |
占百分比 |
人数 |
占百分比 |
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第一组 |
1 题 |
164 |
90.1% |
18 |
9.90% |
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2 题 |
137 |
75.2% |
45 |
24.8% |
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3 题 |
141 |
77.4%. |
41 |
22.6% |
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第二组 |
111 |
61.0% |
71 |
39.0% |
从调查中我们发现，第一组方法操作层面的考查学生答的明显好于第二组，
第二组用数学语言准确描述角的平分线这一概念，这些学生表现出薄弱，准确的使用数学语言表达，学生存在很大的障碍.这也说明本节课要注重关注学生体验角的概念生成的过程，这样才能使学生真正认识理解角的动态与静态定义，充分认识到角是从组成元素及其关系以及角的形成两个角度来刻画.小学时学生对角已经有了直观形象的认识，这三种定义方式（如图）交错一起学生会在理解及用语言描述上容易混淆.
三种定义图示
基于以上分析，本节课的教学难点为：正确理解角的概念.
四、教学策略分析
首先是整体把握，在从静态和动态两个角度探究角的概念的过程中，学生经历了图形抽象，抓取一类图形的共同特征，用精准的数学语言表述图形，在这个过程中，体验到了怎样给几何图形下定义.从角的组成到形成的两种角度给角下定义的逐次递进的过程中，学生对角的结构的认识也逐步深入和清晰.
其次是活动显性化，在小组活动中，教师将学生产生的活动经验通过活动卡片进行收集并展示，显性化学生的思维，学生在辨析中逐步理解角的概念并明确使用简洁、准确的数学语言表达角的定义.
在角的度量和画法环节采用了自学研读的学习方式，通过自学提纲的引领，教师对学生研读进行学法指导，学生独立提炼知识，逐渐归纳完成知识的建构，并在自学反馈中对角度的换算达到理解.
五、教学过程设计
教学流程示意图
环节一 确定角的研究内容
教师：现实生活中，多姿多彩的几何图形丰富了我们的生活空间，为了更好
的了解它们，我们往往从简单的几何图形开始研究，前面我们学过了点，直线，射线，线段，今天我们来研究一个小学时我们就认识的图形——角.
设计意图：先感受几何图形来自于现实生活，我们了解几何图形的必要性.
问题1 如何来研究角呢？我们一起来回忆线段是从哪些方面研究的？哪位同学来说说？
师生活动：学生回顾在线段中所学的内容，教师归纳. 教师关注：学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程.
设计意图：通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法.
追问：类比线段的研究思路，结合小学时对角的研究内容，同学们想想角将学习哪些内容呢？大家交流一下.哪个小组来说说你们的观点？
师生活动：学生讨论解决问题的方法，学生代表展示交流.学生展示后提问：类比线段的中点，你觉得角还应该研究什么呢？教师在学生展示交流的基础上，板书内容，归纳角的研究思路.
追问：小学时我们对角已经有了直观的认识，进入初中后，我们还要从理性的角度进一步对角展开研究.那我们先从哪方面来研究呢？
师生活动：确定接下来的研究内容——角的定义.
设计意图：注重学生数学“一般观念”的形成，体会类比的思想方法.用类比的方法构建研究新几何图形的框架为课堂开展打下基础.
环节二 概念教学
（一）角的静态定义
1.实际情境
教师：我们先来研究角的定义，请同学们看大屏幕，钟面上的时针和分针，
棱锥相交的两条棱，三角尺相交的两条边线都给我们以角的形象，你感受到了吗？请同学们画出你感受到的角？请在学案上画出.
师生活动：学生在学案上画出感受到的角.
教师关注：学生画角的规范性，是否能画出更多感受到的角.
设计意图：培养学生的观察能力，实现从实物到图形的抽象过程，培养学生
的抽象思维能力.
3.找出共同特征，形成概念
教师：我看到同学们画出很多你感受到的角，我们从中选出这样的三个角，
请同学们认真观察，这里有锐角，直角，钝角，它们有什么共同的特征？请你给角下一个定义.请同学们完成活动一.
师生活动：学生独立思考.写完卡片后组内交流，把想法汇总到一张卡片上.
设计意图：给角下定义是学生以往没有做过的数学活动，有一定的困难，通过分层的形式，针对于元素和元素之间的关系设置了两个小的问题，降低难度让每一个学生都能有研究的方向.引导学生观察，找几何图形的共同特征，培养学生的归纳概括能力，体会如何给角下定义.同时培养合作意识.
4.逐次递进，显性化学生的思维
问题2 我看到同学们在下定义的过程中，有这样的写法，你同意吗？说说你的想法.
师生活动：教师多媒体投影展示：
(1)两条射线组成的图形叫做角.（元素位置表述不清）
(2)两条相交的射线组成的图形叫做角.（元素位置表述错误）
(3)一个点引出的两条射线组成的图形叫做角.（小学时直观形象的表述）
(4)端点重合的两条射线组成的图形叫做角.（说清元素及元素的位置关系）
学生思考后回答观点，(1)(2)到黑板上画图，阐述错误理由.
教师：后面这两种说法都是正确的，一个点引出的两条射线组成的图形叫做角是小学时对角的形象直观的认识，初中我们又理性地从角的组成元素有两条射线，以及它们的位置关系重新定义了角，这里我们把端点重合说成有公共端点. 请同学们在学案上订正（教师板书角的定义）这里的两条射线是组成角的元素，公共端点说明了元素的位置关系.两条射线是角的两条边，公共端点是角的顶点. 以后初中学习的几何图形有很多就是用这样的方式下定义的.
设计意图：将学生产生的活动经验通过活动卡片进行收集并展示，显性化学生的思维，分别展示元素位置表述不清、元素位置表述错误、小学时直观形象的表述、说清元素及元素的位置关系的几组卡片，使学生在辨析中逐步理解角的概念并明确使用简洁、准确的数学语言表达角的定义.让学生参与到知识的产生与发展过程中. 角的静态描述自然而然地得到，从而突破重点.
5.角的概念辨析
问题3 请同学们看大屏幕，下列图形是角吗？请你说明理由.谁来说一说？
师生活动：学生思考后回答，阐述观点，说明理由.
教师关注：学生表述的是否准确.
设计意图：学生通过概念辨析，在识别角的过程中加深对角的定义的理解.
（二）角的表示方法
问题4 同学们来看，黑板上有两个角，为了区分它们，我们要给它们起名字，也就是我们要研究角的哪方面？小学时你会怎样表示角呢？师生活动：明确接下来要研究的内容——角的表示方法.
教师：我们今天再来介绍另外几种表示角的方法.请同学们跟老师一起写出
来。我们也可以用希腊字母来表示这个角，我们需要加一条弧线，标记希腊字母，这个角可以记作∠α，常见的希腊字母还有β.我们可以用三个大写字母来表示这个叫，这个角可以记作 ∠AOB，我们也可以把这个叫记作∠BOA，但是顶点的字母必须放在三个字母中间.当顶点处只有一个角时，可用顶点的一个字母来表示这个角，我们也可以简单记作∠O.请同学们看大屏幕，观察图中的∠α可以记作角 O 吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？
设计意图：此处采用讲授式的教学方式，使学生会用恰当的方式表示角，设置习题巩固对角的表示方法的认识. 培养学生数学符号的应用意识，不含糊，不产生歧义，注重严谨性.
（三）角的动态定义 1.观察动态演示过程
问题5 请同学们观察，这是一条射线（教师在黑板上画出一条射线），你能用这条射线形成 90°角吗？谁能到前面来给大家演示一下.通过这样的方式，我们还能形成哪些你熟悉的角？
师生活动：学生到前面演示旋转的过程.教师几何画板展示旋转 90°的过程. 学生回答问题.
设计意图：几何画板动态演示，先由特殊的90°角引入动态角的形成，再让学生思考可以产生哪些认识的角，再到一般度数的角，这样由特殊到一般的变化过程，清晰的展现角的形成过程，便于学生理解，能加深对动态定义的理解.
2.从形成的角度归纳概括，形成概念
教师：请同学们认真观察这条射线的运动.请你从角形成的角度，再给角下
个定义.请同学们完成活动二.
师生活动：学生独立思考.写完卡片后组内交流，把想法汇总到一张卡片上.
设计意图：培养合作意识，通过交流并尝试用自己的理解程度对形成角的过程进行归纳描述，学生再一次体会如何给角下定义，并培养学生的归纳概括能力.
问题6 我看到同学们在下定义的过程中，有这样的写法，你同意吗？说说你的想法.
师生活动：教师多媒体投影展示：(1)角可以看作是一条射线绕着端点旋转而成的图形.(2)角可以看作是一条射线旋转而成的图形.学生思考后回答观点，
(2)到黑板上画图，阐述理由.
设计意图：进一步理解角的概念内涵，学生用数学语言描述角的形成过程，并不断精致数学概念，在这一过程中感受数学的严谨性.
教师：我们从角的形成定义了角，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.起始位置的射线称为始边，终止位置的射线称为终边.请同学们写在学案上.（板书角的定义）
问题7 从形成的角度我们看，从始边出发，旋转到终边形成的角，角这个图形是否包含两条射线之间的部分？谁来说说你的观点？
师生活动：学生思考后回答观点，阐述理由.教师几何画板演示追踪射线，再让学生回答观点，阐述理由.
设计意图：掌握概念，不仅要掌握概念的内涵，还要掌握概念的外延. 上述问题目的是在理解角的概念内涵的基础上，再次认识角的外延，从而达到对角概念的全面理解，需要学生不断深入思考，逐步领悟.
教师：角不仅仅看作是有公共端点的两条射线，还应该注意两条射线所夹的平面区域，这也是角的组成部分.说明一点，初中阶段我们研究的角都是小于180
o 的角.
问题8 我们从两个角度给角下了定义，它们有什么不同？师生活动：学生思考后回答问题.
教师：我们后续学习的几何图形的定义，也有一部分从动态角度研究定义的.
设计意图：让学生感受到可以从不同的角度给几何图形下定义.
环节三 自学研读
1.学法指导 2.提炼知识 3.逐渐归纳完成知识的建构
问题9 请同学们阅读教材133页，自学研读后，说说是从哪些方面研究角的？每一方面研究了哪些内容？还有哪些困惑？说说是从哪些方面研究角的？角的度量研究了哪些内容？角的画法研究了哪些内容？选择三角板和量角器画角有什么区别呢？
师生活动：学生参考教师给出的提纲，阅读教材，解决问题.学生到多媒体中画出重点，并概括知识.并完成自学反馈.
设计意图：培养学生自主学习的能力.通过自学提纲的引领，教师对学生研读进行学法指导，学生独立提炼知识，逐渐归纳完成知识的建构，并在自学反馈中对角度的换算达到理解。
环节四 小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，总结知识与方法收获.并请学生回答以下问题：本节课在知识方面我们学习了什么？方法方面我们学到了什么？在自学研读中你有哪些方法的收获？在小组活动中同学们有哪些收获？
设计意图：通过教师与学生一起梳理知识方面的收获，数学思想方法方面的收获，数学活动经验积累的收获，关注学生的个别差异，在尊重个体差异的基础上帮助学生形成自我评价的意识.
环节五 布置作业
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《角》作业任务单 |
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姓名 |
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班级 |
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日期 |
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作业目标 |
理解角的定义，会表示一个角.
熟练度分秒的换算. |
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必做题 满分：10分 预计时间：15分钟 实际时间：_______ |
1.梳理本节课的收获.
2.教材139页 1，2，3题.
3.利用直角三角板，可以得到哪些角？请你画出这些角，并把它们用不同的方法表示出来. |
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选做题 |
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教材141页 第15题图中你能发现哪些数学知识，能得到哪些结论，请记录你是怎样想到的. |
作业说明第一部分必做题：所有同学都需要完成，不同学生可以结合自身情况，对本节课的收获进行梳理，教师可以通过学生的反思了解学生的掌握情况，了解学生学习过程中的薄弱环节，另一方面，反思性作业可以培养学生梳理知识脉络，养成回顾与复习的习惯，2，3题为常见典型题，是教材的书后习题，旨在巩固基础知识和基本技能.
第二部分：选做题.不同学生可以根据自己的实际需求进行选择，使每个同学都能有所收获. |
评价方式：评价分为教师评价和学生自我评价，评价中必做题和选做题分开评价，让不同层次的同学都能收获成功的体验，教师的评价可以帮助学生了解自己和同学之间的差异，明确自己对基础知识基本技能的掌握情况，学生自我评价的过程能够更好的让学生分析自己，认识自身的优点与不足，从而为自己将来的学习做好更有针对性的规划.
诊断改进：对于基本知识基本技能的学习，复习回顾的过程必不可少，将存在问题的题目进行汇总和分析，方便学生系统的回顾问题，分析错因，让学生加深对知识的理解.教师会根据每个孩子的情况对孩子进行针对化的方法指导，协助孩子更好的发展. |
设计意图：作业的设计体现学生的自主学习，提高自主学习的意识，发展自主学习的能力，使学生走向真实深度学习，国家文件第十条完成好基础作业，完成好基础作业就是做到知识迁移，从单一知识到综合运用避免学生知识的碎片化.
基于上述理念设计此开发式作业单.
六、课堂教学目标检测
设计意图：考察学生角的表示方法，和度 分 秒换算的掌握情况.同时考察学生对几何图形下定义方法的理解，以及研究新几何图形的框架的理解.
七、教学反思
《几何图形初步》是七年上最后一章，这一章主要学习了基本图形概念的抽象，图形的表示，作图，对几何语言的学习、运用等，这些都是几何学习的起始基础，而概念的抽象是这一节课学习的重点也是难点，学生能用准确的数学语言表达抽象出的概念更是学生在初学几何时的一大障碍，因此我设计了探究的形式对角的定义展开研究.
在小学学生已经能够熟练的从实际生活中抽象出角的形象，因此在教学设计时也没有做过多纠缠，而是把重点放到了对角的本质特征归纳、下定义、概念的辨析、到概念的精致及运用，在这些环节里.通过仔细观察角的本质特征，独立思考后加以提取，再通过小组合作交流完善表述方式，使学生感受应从哪些方面着手给几何图形下定义.通过展示同学们用不规范，不严谨的语言表述角引发学生们的思考，学生能从多角度辨析角的构成要素，在不断的否定、质疑的过程中逐渐加深对角的认识，形成概念的雏形.再在不断的纠正过程中不断精致自己的数学语言，以便能达到准确、简练.但是在设计中也存在着不足，本章是几何部分的起始，虽然小学已有一些几何经验，但还是停留在表面比较粗浅，也没有对几何图形在语言表述上做过训练，因此学生在给角下定义时出现的状况五花八门，为了能在短暂的课堂上让学生能够用数学语言描述出角的特征和由来，还要阐述角和相关的对象之间的区别和联系，没有办法对同学们所出现的问题一一进行分析、研究，只能在数学活动环节选取有代表性的几类，在课堂上展示分析.
角的概念是从静态和动态两种角度研究的，而动态的定义将角研究的范围拓宽了，为让学生更好的理解角的概念的内涵和外延，建立数学抽象的能力和空间观念.这个环节用了几何画板做以辅助，学生能清晰的感受到角的形成过程. 但由于个人在课件制作方面的技术有限，很多效果还是达不到完美，因此今后的教学过程中，不但要在教学方法和技巧方面继续学习，还要在信息技术方面加强研究，以便能把设想的教学环节，更好的表现出来.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准(2011 年版)[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
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[3]李世绮,吴颖康. 数学教育心理学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2017.
[4]沈南山. 数学教育学[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2012.
[5]姚岚.几何概念教学,行走在生动和深刻之间——范希尔理论对“认识射线、直线和角”教学的启示[J].教育观察，2019，8（221），104+124.
[6]姜文.基于 APOS 理论视角下的概念教学——对一节省级数学优质课的思考首届华人数学教育会议论文集,2014.
[7]邹森桦.关于概念形成教学的几点思考——以《角的初步认识》一课为例[J]. 教育导刊，2009（411），57-59.
[8]张熠.APOS 理论指导下的小学数学概念教学设计研究[C].宁波大学，2018.
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