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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《19.2.1 正比例函数》湖北—吴娜
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《19.2.1 正比例函数》湖北—吴娜
19.2.1 正比例函数
（2课时，单元-课时教学设计）
湖北省襄阳市实验中学 吴娜
1.内容
正比例函数的概念、图象和性质.
本单元教学需两课时，第1课时主要学习正比例函数的概念，第2课时重点研究正比例函数的图象和性质.
2.内容解析
（1）内容的本质
本单元是学生学习特殊函数的第一阶段，在初步认识函数概念的基础上，具体讨论正比例函数这类最简单的初等函数.正比例函数是特殊的一次函数，它是初中函数学习的重要内容，通过正比例函数概念的学习，既加深对函数概念的理解，又加强对正比例变化规律的认识.通过图象，可以直观地得到函数的性质，结合解析式，可以进一步认识函数的性质.通过研究正比例函数的概念、图象和性质，可以获得初中函数研究的一般步骤（下定义—画图象—观察图象—归纳性质），为今后学习一次函数、二次函数、反比例函数做好铺垫.
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内容蕴含的数学思想方法
本单元主要涉及了模型思想、从特殊到一般、数形结合等数学思想方法.通过对现实生活和数学问题的分析，发现变量间的函数关系，列出各种函数关系式，建立函数模型；通过观察、分类，从最特殊的函数开始研究，逐步体会从特殊到一般的研究思路，初步感悟初中常见函数的一般特征；通过从图象和解析式两个方面结合研究函数性质，体会数形结合研究函数变化规律的一般方法.通过研究正比例函数可以获得初中函数研究的一般思路，一般方法，发展数学观察、抽象概括和推理能力.
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知识的上下位关系
学生学习本单元的知识基础有：正比例关系的概念，函数的概念及三种表示方法．通过对正比例函数的学习，可以获得初中函数研究的一般步骤，一般思路和一般方法，对后续进一步研究其他类型的函数具有奠基作用.
（4）内容的育人价值
在正比例函数的概念及性质的学习过程中，让学生经历初中函数研究的基本套路，体会函数研究思想的一致性和方法的普适性.在应用函数知识解决实际问题的过程中，经历数学建模的全过程，培养学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．通过本单元基础知识和基本技能的学习，让学生积累函数学习基本经验，掌握函数学习基本方法，发展数学核心素养.
3．教学重点
理解正比例函数的概念，由正比例函数的图象，并结合解析式，探究正比例函数的性质.
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单元目标
（1）结合具体情境体会正比例函数的意义，能根据已知条件确定正比例函数的表达式.
（2）能画出正比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况，归纳得到正比例函数的图象特征和性质.
（3）在画出正比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想.
（4）进一步感受函数知识内在的系统性，初步体会函数研究的一般思路与方法，为进一步学习其他函数积累经验.
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目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，确定正比例函数的解析式，抽象概括得出正比例函数的概念，知道自变量和对应的函数值成正比例的特征.
达成目标（2）的标志是：会根据解析式使用“描点”法画出正比例函数的图象，分析图象特征，归纳得到正比例函数的性质.
达成目标（3）的标志是：在画正比例函数图象、探究正比例函数性质时，体会“数”与“形”的相互转化；通过具体的图象并结合解析式，归纳得到正比例函数的性质.
目标（4）是指在正比例函数的初步探究过程中，让学生体会对函数的研究实际上就是对函数的定义、图象、性质及应用的研究.
三、学生学情分析
1．问题诊断
学生在小学学过正比例关系，实际上，实际问题中的正比例关系是正比例函数中比例系数为正的特殊情况，学习过程中要回顾类比正比例关系.学生虽已学过函数的基本概念，但理解未必深刻.在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解；对于自变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应.正比例函数的特殊性在于两个变量的比值是定值，且为不等于零的实数，这是小学正比例关系的内涵的深化.在正比例函数的图象与性质的教学中，应注重引导学生体会由“形”助“数”和以“数”析“形”，“数” “形”结合展开探究活动.
2．教学难点
本单元的教学难点是：抽象得到正比例函数概念，归纳得到正比例函数性质.
四、教学策略分析
根据本节课内容的特点及学生的实际情况，主要采用师生互动探究式教学。在教学过程中遵循“教为主导，学为主体”的教学思想。教学中采用自主探索与合作交流的学习方法，学生在教师的引导下积极参与教学过程，亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程。在数学学习、数学活动的过程中展开思维，在过程中体验合作交流的快乐。
19.2.1正比例函数（第1课时）
（一）课时教学内容
正比例函数的概念
1.课时目标
（1)理解正比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否为正比例函数关系，能够根据已知条件，确定正比例函数的解析式．
（2)引导学生经历观察、比较、分析、分类、抽象、归纳的认识正比例函数概念的全过程，为进一步学习其他函数积累经验.
（3)进一步感受函数知识内在的系统性，初步体会函数研究的一般思路与方法.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出正比例函数的概念，知道自变量和对应的函数值成正比例的特征.能根据问题中的变量关系，确定正比例函数的解析式．
达成目标（2）的标志是：在正比例函数概念的探究过程中，能通过观察、比较、分析、分类、抽象、归纳，对不同函数特征有整体上的初步认识，体会函数概念学习的一般方法.
目标（3）是指在正比例函数的初步探究过程中，让学生体会对函数的研究实际上就是对函数的定义、图象、性质及应用的研究.
（三）课时教学重点
理解正比例函数的概念，初步体会函数研究的一般思路与方法.
（四）课时教学难点
抽象得到正比例函数概念的过程．
（五）教学过程设计
1.复习回顾，类比预见函数学习路径
函数是解决实际问题的模型，回顾其他数学模型的学习内容，预想函数的后继学习内容.
师生活动：教师引导学生回顾函数的已学知识，借助回顾其他数学模型的学习内容，类比预见函数的学习路径——从特殊的函数开始学习.
设计意图：复习函数的已学知识，通过回顾其他数学模型的研究框架，帮助学生体会数学模型的一般研究方法与路径，为后续学习特殊的函数正比例函数作铺垫.重现方程与方程组、不等式的学习路径，完善数学模型学习的一般路径.
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创境列式，自主经历函数模型建立
问题1 京沪高铁自2011年至今已开通运营十周年，累计发送旅客13亿人次，京沪高铁全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
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在京沪高铁列车行驶过程中，涉及到哪些量？哪些量是变量？
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哪两个变量间是函数关系？试说明理由，并写出它们之间的函数关系式.
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中国正在研发超级高铁，超级高铁列车驶完全程所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间有何数量关系？
师生活动：教师引导学生分析问题中的数量关系，写出变量之间的函数解析式.
设计意图：通过分析实际问题，建立函数模型，让学生感受量与量之间的函数关系，体会在同一个问题背景下，当选择的常量和变量不同时，列出的函数解析式也不相同，帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想，让学生真切感受数学与实际的联系，即数学来源于生活又服务于生活．
练习1.列式表示下列问题中变量之间的函数关系.
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圆的周长l随半径r的变化而变化．
（2）正方形的面积S随边长x的变化而变化．
（3）铁的密度为7.9g/cm
3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm
3）的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
师生活动：教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果.
设计意图：给出不同的实际情景，让学生进一步感知在丰富的背景下蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力，为下一步探究正比例函数的概念做准备．培养学生用数学的眼光观察世界.
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互助探究，归类分析函数典型特征
问题2 观察上面列出的函数解析式，它们有什么相同点和不同点，小组讨论：
你能试着给它们分类吗？你的分类依据是什么？并试着给每一类函数起一个名字.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组合作讨论，小组代表上台展示不同的分类方法.根据学生不同的分类方法，帮助其巩固整式、分式、单项式、多项式的概念，形成正确的分类方法.
设计意图：在观察、比较中，学生自主探究不同函数解析式的联系与区别并分类,培养学生观察、比较、分析、归纳的能力，明确特殊函数的分类是以解析式的特征为分类标准的，形成函数概念的整体思想，发展学生的抽象概括能力.
追问：
一次函数中的这六个解析式又有什么不同呢？
师生活动：教师引导学生再次观察、比较、分类，得出
是特殊的一次函数，理解正比例函数与一次函数之间的关系.
设计意图：在观察、分析中，学生自主探究正比例函数与一次函数之间的关系,培养学生观察、比较、分析的能力，培养数学语言，形成学生对一次函数的整体认识，同时感受正比例函数相对一次函数的特殊性，感悟从一般到特殊的数学思想.
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对比联系，抽象归纳函数标准定义
问题3 这一类函数解析式有什么共同特征？
师生活动：学生观察、分析、表达，教师适时引导.
设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察、比较、分类，找出它们具有的共同特征即形式上都是函数=常量×自变量，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．
追问1：你能否归纳出这种函数的一般形式？小学知识告诉我们这两个变量是具有什么关系的量？k可以取哪些值？
师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成y=kx的形式．试着唤醒小学学习的正比例的知识，得出函数值与对应自变量的比值一定．引导学生对一般式中的常数k的取值进行探究.
设计意图：根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力，知道一般形式中各字母的意义，为给正比例函数下定义埋下伏笔．
追问2：你能试着给正比例函数下定义吗？
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．
设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义，培养学生分析、归纳的能力.
-
分层练习，巩固加深函数知识理解
练习2.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？如果是，比例系数是多少？
；
第（4）题追问：y与x-1之间是什么关系？y是x-1的正比例函数吗？
设计意图：通过辨析让学生巩固对正比例函数概念的理解，再次了解初中阶段将要学习的三种特殊函数，内化学生函数学习的系统观，从而发展学生的整体思维.
练习3.下列问题中，变量之间的关系不是正比例函数的是( ).
A.每本书的厚度为0.5cm,一摞书的总厚度h与数量n的关系.
B.圆的面积s与半径r的关系.
C.某人一年(12个月)的总收入W与平均收入q的关系.
D.买某种作业本所需的钱数y（元）与数量x（本）的关系.
设计意图：通过练习让学生巩固对正比例函数概念的认识和将实际问题抽象为函数模型的能力．
练习4.（1）你能试着举出生活中正比例函数的例子吗？
（2）根据上述解析式y=2x填表.
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x |
… |
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1 |
2 |
3 |
… |
|
y |
… |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
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|
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… |
追问1：观察解析式和表格，你能发现y随x变化而变化的过程中有怎样的规律吗？
（3）请同学们试着用描点法画出y=2x的图象.
追问2：观察图象，你又有什么发现？其它的正比例函数的图象和性质又是怎样的呢？下节课我们将进一步利用正比例函数的图象研究它的性质.
师生活动：教师引导学生先从解析式和表格观察函数y=2x的变化规律，再用描点法画出函数图象，观察图象初步感受函数y=2x的性质，并由函数y=2x的图象性质的探究过程，得到其他函数研究的一般方法和路径.
设计意图：通过让学生动手画函数图象，观察图象，感知函数的性质,体会数形结合的思想，为下一节更深入、全面的学习函数的图象、性质做好铺垫.初步展示函数研究的一般方法和路径，内化学生函数学习的系统观，培养学生函数研究的整体观.
-
梳理总结，反思感悟函数研究方法
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
-
这节课主要学习的是哪一类函数？我们是怎样想到先研究正比例函数的？
-
我们先研究正比例函数的哪些知识？我们是怎样得到正比例函数的概念的？
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我们还将研究正比例函数的哪些知识？怎样研究？
-
按照由特殊到一般的思想，今后我们将继续学习哪类函数呢？按照怎样的路径学习呢？
设计意图：通过归纳，加深学生对所学内容的理解，培养学生独立分析、归纳概括的能力,充分发挥学生的主体作用.通过反思梳理，形成函数学法，利用这种研究方法，今后我们还可以研究其它类型的函数.
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拓展探究，延伸理解函数图象价值
请用描点法画出下列函数的图象，你有什么发现？
8.分层作业，分类促进函数新知内化
（1）必做题：课本98页 第1,3题.
（2）选做题：在日常生活中，寻找正比例函数的实例，试着提出问题，画出函数图象（小组合作探究）.
设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，分层布置作业，设计了基础题和开放性的题目，基础题是对本节课内容的一个反馈，开放性的题目是让不同的学生在数学上得到不同的发展.
板书设计
19.2.1正比例函数
（六）课堂目标检测设计
1.下列函数中，是正比例函数的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A.①⑤ B.①② C.③⑤ D.②④
2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm；
（2）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm
3 ；
（3）某超市中鸡蛋价格是每千克9元，鸡蛋的销售收入y（单位:元）随着销售量x（单位：kg）的变化而变化.
设计意图：通过练习让学生巩固对正比例函数概念的认识和将实际问题抽象为函数模型的能力．
平中见奇 整体发力
——对“正比例函数”一课的点评
当下，单元整体教学研究如火如荼，已形成“核心素养-课程目标-单元设计-课时计划”的教学设计链条。课时教学成为教学的起点和根基，如何在课时教学中落实单元教学整体目标显得尤为重要。吴娜老师执教的“正比例函数”一课，让学生经历获得研究对象，明确学习主线，积累研究方法，构建知识体系这一完整的知识探究过程。
一、
明暗交错，整体建构知识体系
正比例函数是特殊的一次函数，是学生初中阶段学习的第一类具体函数，它是函数研究的特例，具有函数的通性。学习正比例函数不仅可以加深学生对函数概念的理解，而且能够为其他具体函数的研究提供思路和方法。本节课从三个方面让学生整体感知函数学习基本套路：一是让学生感知函数模型的研究范围（一次-二次-反比例）；二是整体体验函数研究方法（实际建模-分析归纳-辨析运用）；三是总结函数知识的研究路径（定义-图象-性质）， 实现了“用数学的方式发挥数学的内在力量”教学价值。
二、类比分析，整体设计数学活动
章建跃博士指出：要把如何发现数学对象、如何提出数学问题作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。本节课紧扣“两个如何”巧妙设计学习活动，平中见奇，一气呵成。
一是源于教材，巧妙窥见函数形式全貌。这节课的问题情境来源于教材的京沪高铁问题，吴老师让学生自己发现情景中的常量与变量，以及哪些变量之间存在函数关系，开放性的问题激发学生思维的积极性，增加问题“正方形的面积S随边长x的变化而变化”，不知不觉中学生列出了多样的函数类型。
二是充分对比，实现一般到特殊的转变。为什么从研究正比例函数开始研究特殊的函数？应该是这节课的追问。吴老师用了足够的时间开展小组讨论交流、展示争锋，引导学生明确函数与其他数学模型有相同的研究路径，即从特殊到一般的函数研究路径。
三是善于联系，凸显核心概念共性本质。正比例函数概念教学是本节课的重点，教学中学生经历了“情景与问题-共性分析与归纳-本质特征的抽象下定义-关键词辨析-简单运用联系与综合”的过程，让学生在观察、分析、归纳、概括中经历概念的抽象过程，注重学生对知识自然生成的理解。另一方面学生在小学学习了正比例关系，如何唤醒记忆、如何自然转换？教学中通过学生观察思考每个解析式的运算关系，利用乘除互逆运算，每个解析式中“函数值”与对应“自变量”的比值等于什么？ 使得两者快速建立联系，并形成新的问题：两者的区别是什么？伴随着问题解决，教学重点得以突破。
三、瞻前顾后，整体梳理完善结构。数学知识之间都存在内在联系，数学知识、数学思想、数学方法都具有高度系统化的特点。本节课利用学生课堂生成资源，深化概念理解，引出函数图象、性质的探究活动，展示函数研究的一般路径，为下一节课做好了铺垫。在小结环节，通过问题串，引导学生回顾学习研究全过程，指向明确，培养了学生自主建构结构体系的能力，积累了研究问题的方法，促进了学生关键能力的发展。
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