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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《代数推理》江西_周凌鹤
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《代数推理》江西_周凌鹤
观察、思考、表达
——感悟代数推理
授课教师：周凌鹤 江西省鹰潭市余江区实验初中
2021年10月
一、内容与内容解析
《数学课程标准(2011年版)》指明“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中. 推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”推理能力是数学思考能力中的一种，在《数学课程标准(2011年版)》的数学思考目标表述中,明确要求：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法. 合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论. 两种推理功能不同，相辅相成.”因此培养学生的推理能力，是数学核心素养的要求，也是数学课程和课堂教学的重要目标.
数与代数是数学课程内容之一，代数内容的学习可以锻炼学生的数学思维，而且代数在日常生活中也具有非常重要的作用，现代社会生活中存在着大量的数量关系和变化规律需要运用代数知识去解读、去探索. 鉴于推理能力和代数知识的重要性，代数推理能力作为学生推理能力在代数知识背景下的具体体现，对学生的学习具有非常重要的作用.
本节课学生通过揭秘读心术游戏、验证已知的结论，探究
的平方规律，揭秘印度乘法，进一步理解运用符号表示数、数量关系和变化规律，提升符号意识，增强代数推理能力，体会符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式. 同时理解代数推理是一个过程，在这个过程中学生先通过观察、归纳、提出猜想，然后用字母表示上述数量关系，再按照运算规则进行运算，最后提供有说服力的解释验证猜想的正确性. 即一般化、表征、计算、验证的过程. 通过本节课的学习将为后续初、高中的代数学习奠定基础，同时为学生提供了一种理解与探究现实世界的方法.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：提升符号意识，理解并掌握代数推理的过程.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）进一步理解用字母表示数，会用符号进行运算和推理.
（2）理解将代数式转化成特定的目标结构.
（3）掌握代数推理的过程.
（4）初步学会应用代数推理解决实际生活中的数学问题.
2. 目标解析
目标（1）解析：通过观察读心术游戏，获得猜想并尝试验证. 对比举例验证和用符号化表达、符号化运算来验证的这两种方法，帮助理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，知道代数式可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 培养善于用数学的眼光观察世界的良好习惯，进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯.
目标（2）解析：经历对研究对象的符号化表达、符号化运算，在生生互动、师生互动中理解代数推理侧重形式化、结构化的恒等转化，理解并掌握将代数式转化成特定的目标结构来解决问题，在此过程中也感受充分必要条件的意义. 逐步形成和发展推理能力、模型意识，培养科学精神.
目标（3）解析：引导学生回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论，总结出运用代数推理研究问题的过程. 帮助形成严谨求实的科学态度、积累数学活动经验，形成评价与反思意识，提升数学核心素养.
目标（4）解析：经历观察、归纳获得数学猜想，再符号化表达及运算，并进行形式化推理的过程，揭秘印度乘法的算法和算理. 感受代数推理提供了一种理解与探究现实世界的方法，感受代数推理在实际生活中的应用，体会数学的价值，积累数学活动经验、增强应用意识和创新意识.
八年级的学生好奇心和求知欲较强，有一定观察、归纳和表达能力，具备一定的活动经验. 在知识技能方面，他们已经掌握了有理数加、减、乘、除、乘方及整式运算，会用字母表
示数以及代数式的运算，初步理解字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性. 为本课观察、归纳获得数学猜想、符号化表达和验证提供了前提条件.
八年级学生在代数推理能力的一般化方面，学生大多能发现数量关系，但用语言描述数量关系时不够准确；在代数推理能力的表征方面，对较复杂、抽象的情境难以用准确的方式表示数量关系；在代数推理能力的运算方面，学生能熟练的按照运算规则进行计算，但思路不清晰、缺乏方向性，不知道将代数式合理的转化进行验证；在代数推理能力的论证方面，会出现毫无逻辑的解释，往往用举例子验证猜想是否正确.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：运用代数推理解决问题时，理解并掌握将代数式转化成特定的目标结构.
四、教学策略分析
在教学活动中注重情境创设，激发学生的兴趣，体会数学与生活的密切联系，同时借助创设的情境渗透数学文化的人文价值与育人价值.
在教学设计中注重探究问题的设计. 情境创设中设计能引发学生认知冲突，激发学习动机的问题. 在数学探究活动中结合具体的学习任务，在学生的认知起点和最近发展区内设计有思维含量、有层次、有梯度的问题链.
在教学实施中引导学生开展自主学习、合作交流、总结反思等学习活动，引导学生在活动中发现和提出问题，经历观察、归纳、猜想、计算、验证等方式，积极主动参与代数推理的全过程，培养学生的创新意识和应用意识，促进学生思维品质的发展.
在本节课中，采取学生自评、生生互评、师生互评的方式，评价中既关注学生学习的结果，也重视学习的过程；既关注学生数学学习的水平，也重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心.
整节课的教学注重现代信息技术与数学教学的融合，利用多媒体教学，借助“希沃授课助手”实现师生之间、生生之间的成果共享，交流互助.
五、教学过程设计
环节1：激活认知，游戏导入.
1. 师生完成“读心术”互动游戏.
游戏规则：
（1）任意写一个两位数；
（2）交换该数的十位数字与个位数字，又得到一个数；
（3）求原数与新数之和.
老师猜出学生心里想的数，十位和个位的数字和.
【设计意图】游戏导入激发学生学习兴趣，使学生获得数学活动经验和愉悦的数学情感.
在游戏中同学们通过观察发现规律，发展合情推理能力，培养学生善于用数学的眼光观察世界的良好习惯.
2. 为什么当你们说出原数和新数的和时，我能快速猜出原数十位和个位的数字和呢？
追问：这个猜想对于任何一个两位数都成立吗？请你试着验证一下.
师生活动：学生独立完成后选2种做法投屏展示，并分别让学生解释方法：
（1）举例验证；（2）用字母表示数，并进行代数式运算.
【设计意图】在课堂中充分给学生提供用语言描述数量关系的机会，加深学生对数量关系的理解，学生在交流时能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果. 同时也复习了如何用字母去表示一个两位数，为后续探究活动里正确用字母表示数打下基础.
3. 哪种方法更好？为什么？
【设计意图】此环节通过对比两种做法，使学生进一步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认. 让学生明白引入符号的必要性以及优越性，进一步感悟字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性. 养成利用数学符号论证问题的习惯，进一步提升符号意识.
环节2：初步感悟，解释结论.
1. 能被3整除的数有什么特征呢？
追问1：回忆一下小学时我们是如何得到这个结论的？
追问2：你觉得通过举例就能验证这个结论正确吗？
追问3：那你有什么好方法？你想先从几位数开始探究呢？
师生活动：在生生互动、师生互动中理清思路：用字母表示数并进行代数式运算，并从两位数开始探究.
【设计意图】让学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，感受运用代数推理解决问题的必要性和优越性，进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯.
2. 学生独立完成
. 验证：当一个数各位上的数的和能被3整除，那这个数就能被3整除.
【设计意图】活动中安排学生独立思考，是因为学生思考要独立，这是积累数学活动经验的基础，同时也是对待问题时的良好习惯. 独立思考、学会思考是创新的核心，创新意识的培养应该贯穿数学教育的始终，它有助于形成学生勇于创新的科学精神
.
3. 学生上台分享做法.
（1）做法1：只验证了当这个数是两位数的情况，便觉得该结论是正确的.
（2）做法2：分类讨论，验证了当这个数分别是二、三、四、五位数时的情况，通过类比推理,得出任意位数均可用上诉方法验证，从而解释该结论是正确的.
【设计意图】数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，鼓励学生能清晰、有条理的表达自己的思考过程，做到言之有据，落笔有理，初步养成有逻辑地表达与交流的习惯. 通过对研究对象的符号表达、符号运算、形式推理等，形成结论，让学生理解代数推理问题侧重形式化、结构化的恒等转化，掌握将代数式转化成特定的目标结构来解决问题，发展学生推理能力、抽象与概括能力、模型意识.
4. 通过以上两个探究过程，你还能得到哪些结论？并说说理由.
师生活动：学生分享：当一个数能被3整除,那这个数各位上的数的和就能被3整除. 并说明理由.
【设计意图】有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是学习的主体，促进学生的全面发展. 学生要敢于探索一些开放性的、非常规的数学问题. 通过以上的探究过程，让学生感知充分必要条件的意义，发展学生逻辑推理能力.
环节3：再次感悟，形成方法.
1. 刚刚我们运用代数推理去验证了已知结论，那如何运用它去研究一个新的数学问题呢？研究个位数是5的两位数的平方的规律. 请你先独立思考，再小组讨论.
2. 小组派代表上台分享找到的规律，并说明验证的方法.
（1）个位数是5的两位数的平方，最后两个数字都是25.
（2）个位数是5的两位数平方等于十位数字乘比它大1的数的积的100 倍加上25.
【
设计意图】这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程. 给学生充分的时间和空间去经历观察、操作、归纳的过程，从而获得猜想并进行验证，让学生感悟，通过依次计算能利于发现事物的变化规律，规范学生有条理做事的习惯. 处理好讲授与自主学习的关系，引导学生独立思考、积极探索、合作交流，体会和运用代数推理解决问题的思想与方法，获得基本的数学活动经验. 在与他人合作交流、解决问题的过程中，培养学生能够严谨、准确地表达自己的观点，并能较好地理解他人的思考方法与结论. 养成勇于质疑、独立思考、合作交流的良好学习习惯，以及实事求是的科学态度.
在学生展示、交流过程中，综合运用学生自我评价、学生相互评价、教师评价的方式. 同学之间的感受是最直接、最真实的，让学生自评、互评，引导他们形成积极的自我概念，让学生间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴，促使学生反思学习数学的情况，持续发展、提高学习效率
.
3. 回忆一下，刚刚运用代数推理去研究问题时经历了怎样的过程？
【
设计意图】教师注重对学生概括归纳、迁移运用等方面学习方法的指导，引导学生回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论. 学生能够清晰的表达自己的想法，总结出运用代数推理去研究问题时的过程是对一个实际问题，先通过观察、归纳、提出猜想，然后用字母表示上述数量关系，再运算，在此过程中将代数式根据问题转化成特定的目标结构，来验证该问题. 使学生积累经验、感悟思想，形成评价与反思意识.
环节4：巩固深化，解决问题.
1. 师生PK游戏：计算11至19之间任意两个自然数相乘的积.
师生活动：老师和学生代表进行PK，结果老师算的又快又好. 激发学生们的学习兴趣和引发学生积极的数学思考，想弄明白为什么老师算的这么快？老师是怎么算的？
【设计意图】数学游戏具有趣味性和挑战性，使课堂教学在学生兴趣盎然、积极思维的状态中进行，激发学生主动参与解决问题的愿望. 灵活设计游戏环节，培养学生进行有序思考，开展推理讨论，锻炼推理表达，从而发展学生的推理能力.
2. 小组合作讨论：
（1）先独立思考再合作讨论；
（2）说明老师是如何进行计算的；
（3）解释算法背后的理由.
【设计意图】学生在与他人合作交流解决问题的过程中，能够严谨、准确地表达自己的观点，并能较好地理解他人的思考方法与结论. 在揭秘算法的过程中学生再次经历用合情推理发现结论、用演绎推理验证结论的完整推理过程. 发展应用意识，培养创新意识和严谨的逻辑推理能力，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利.
3. 小组派代表上台讲解. 学生揭秘算法后，老师揭示这是印度计算乘法的算法以及它背后的算理.
【设计意图】学生揭秘算法后将获得成功感，增强学生学习数学的信心，激发学生探究数学的勇气. 经过探究前几个环节，学生已经感受到代数推理为我们提供了一种理解与探究现实世界的方法，学生先通过观察、归纳、获得猜想，再利用代数式建立模型，最后进行运算来验证猜想，从而对“印度乘法”的算理加以解释说明，这是对学生代数推理能力的一次很好的升华. 学生运用代数推理解决实际问题，感受代数推理在实际生活中的应用，体会数学的价值，积累数学活动经验、增强应用意识和创新意识.
环节5：畅谈体会，总结收获
通过本节课的学习你们有哪些收获呢？
【设计意图】引导每一个学生对自身学习行为的反思，启发学生从知识、技能、方法、情感等方面自主小结. 这样充分尊重了个体差异，为每一个学生都创造了在活动中获得数学活动经验的机会，也锻炼了学生的语言表达能力,关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握. 期盼学生逐步养成整理知识、提炼思想方法的习惯，不断提高运用数学语言的素养，日益增强数学总结、反思、质疑、评价的意识.
1. 研究个位数是5的数的平方的规律.
2. 查阅印度速算方法的资料，选择一种感兴趣的方法进行验证.
【设计意图】引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界. 将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动，以增强学生学习数学的兴趣，增强应用意识和创新意识，拓展学生学习的视域. 让学生自主选择感兴趣的方法来进行验证，满足不同层次学生的发展，“让不同的人在数学上得到不同的发展. ”
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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