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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《15.1.1从分数到分式》吉林_黄宇
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《15.1.1从分数到分式》吉林_黄宇
中国教育学会中学数学教学专业委员会
第十二届初中青年数学教师课例展示与研讨活动
《15.1.1从分数到分式》教学设计
1.内容
分式的概念及分式有意义的条件.
2.内容解析
分式是继整式之后对代数式的进一步研究，与分数、整式是紧密相联的，既是前面知识的延伸，也为进一步学习分式、反比例函数、分式方程等知识作好铺垫.从数学内部发展的需要看，当两个整式相除不能整除时，则用分式表示；从实际应用看，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种重要工具，是解决实际问题的常见模型之一.
本节课的主要内容是分式的概念和分式有意义的条件，是以分数为基础，类比引出分式的概念，类比分数有意义的条件，得到分式有意义的条件.学好本节课有助于培养学生的观察、类比、归纳、概括能力，并让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律；让学生在探索的学习过程中享受成功的喜悦，形成良好的学习氛围，提高学生学习数学的兴趣.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：分式的概念及分式有意义的条件.
1.目标
-
理解分式的概念及分式有意义的条件；
-
类比分数探究概括分式的概念及分式有意义的条件.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能判断一个代数式是否是分式，能确定使分式有意义的字母的取值范围.
达成目标（2）的标志是：学生能通过观察代数式的结构特征类比分数抽象出分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系，得出分式比分数更具有一般性，类比分数有意义的条件，得到分式有意义的条件，感受从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程.
学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，对于八年级学生来说，用分式来表示实际问题中的数量关系并不困难，但是他们抽象概括能力不足，所以通过观察代数式的结构特征，类比、抽象、归纳、概括出式子的共同本质属性是有一定难度的.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对分式概念的理解.
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，采用启发式、探究式的教学方法，意在帮助学生通过类比、抽象、归纳、概括等途径来深化对概念的理解.
关键是要引导学生通过与分数进行类比，从式子的形式上寻找它们的共同点；再从分子、分母单独看，分式的分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母，通过这个过程经历从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程，实现从分数到分式的过渡，从而归纳出分式的概念，体会研究代数问题的一般思路.
1.引入新课
问题1：我们知道两个整数相加、相减、相乘的结果是整数，那么两个整数相除的结果是什么？还是整数吗？例如，
，这个结果就不是整数，而是分数.
师生活动：教师开门见山直接提出问题，引领学生进入数学思考.学生很容易得出两个整数相除的结果不一定整数这个结论，教师用一个简单具体的例子清晰的呈现答案.
教师追问1：我们知道两个整式相加、相减、相乘的结果仍是整式，那么两个整式相除的结果仍然是整式吗？例如：
，这个算式的结果是整式吗？
师生活动：教师将前一个式子中的整数5换成字母
，引导学生继续思考两个整式相除的结果是否还是整式.学生根据教师举的例子容易得出答案.
教师追问2：反过来，
，这个结果还是整式吗？
师生活动：将前一个式子稍作变形得出两个整式相除的结果不是整式的情况，引发学生的思考，这样的式子应如何归属？
教师追问3：你了解这个式子吗？这样的式子如何进行运算？如何用这样的式子解决实际问题？本章我们就要研究像这样的式子——分式.
师生活动：教师提出问题，引发学生思考，帮助学生构建整章的知识体系，进而引入新课.
设计意图：通过创设数学内部问题情境激活学生的数学学习经验，从整数的除法运算可能得出分数类比得到整式的除法运算可能得到分式，渗透数式通性的同时，实现从特殊到一般、从具体到抽象的转化，引导学生自发使用“类比”的方法去感知、发现新问题.
2.探究概念
问题2：现实世界的实际问题中能否抽象出像
这样的式子，我们来看下面的几个问题：
-
长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为
，长为
，宽应为 .
（2）把体积为200 cm
3的水倒入底面积为33 cm
2的圆柱形容器中，水面高度为 cm;把体积为
的水倒入底面积为
的圆柱形容器中，水面高度为 .
（3）船在静水中的航速为 30 km/h,水的流速为
km/h
①若船顺流航行 90 km，所用时间为 h；
②若船逆流航行 60 km，所用时间为 h.
师生活动：教师提出问题，引导学生回答.（1）
（2）
（3）
设计意图：继前面借助运算类比分数引入分式后，这里教师再次创设现实世界中的问题情境，引导学生经历从实际问题到分式的抽象建模过程，使学生感受分式是不同于整式的另一类有理式，它更适合作为某些类型实际问题的数学模型，具有整式不可替代的特殊作用.同时，提高学生把实际问题转化为数学问题的能力，加强对分式是解决现实问题的数学模型的认识，体现数学建模思想，进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识，培养学生的创新精神.
教师追问1：上面问题中得到的式子
哪些是我们学过的整式？哪些不是我们学过的整式？
师生活动：教师提出问题，学生根据教师提问进行分类，在分类过程中初步感知分式与整式的区别.
教师追问2：这些式子
有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
师生活动：教师提出问题，引导学生先独立思考，再与小组同学合作交流，互相补充.学生交流后得到以下结论：①从形式上：这些式子的形式和分数一样，它们都表示除法运算的结果；②再从分子和分母单独看，分数表示两个整数的商，而这些式子表示两个整式的商.③这些式子的分母中都含有字母.教师引导学生归纳这些式子的共同特点，进而得出它们的本质属性，指出像这样的式子就是分式.
教师追问3：如果用
表示这些式子的分子，用
表示这些式子的分母，你能尝试用简洁的数学语言概括一下什么是分式吗？
师生活动：学生经历类比、抽象、归纳和概括分式概念的过程，在归纳概括的过程中逐步完善分式概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式.在分式
中，A叫做分子，B叫做分母.
设计意图：此环节教师为学生提供了充足的思考、探索和交流时间，让学生参与概念生成的全过程，引导学生分析、抽象、归纳、概括其共同本质属性，进而得出分式概念.注重让学生经历概念的生成和概括过程，使学生的数学思考从表面到本质、从具体到抽象、从孤立到系统，在发展学生数学思维的同时，潜移默化地培养学生的数学学科素养.
3.辨析概念
练习1：判断下列式子是否是分式？请说明理由.
师生活动：教师提出问题，学生回答.教师引领学生在辨析过程中重点分析（1）、（3）、（5）为什么是分式，夯实分式的概念.教师适时追问（2）、（4）是什么式子？
设计意图：在辨析过程中，引导学生在理解概念的基础上正确表述概念，并能用概念进行辨析和比较，进而掌握概念.
4.深化概念
问题3：请同学们观察分式
，回答问题：当
=2,5,-7，100等数值时，这是式子分别表示哪些分数？能取多少个这样的
的值？
教师追问：
可以取任意实数吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考，师生共同得出结论：在分式中，当
取不同的数值时，可以得到不同的分数，使学生理解分式比分数更具有一般性；通过追问，先让学生思考，教师适时点拨，最后达成共识：类比分数有意义的条件，得出使分式有意义的条件也是分母不为0，即当
时，分式
才有意义.
设计意图：运用赋予字母特殊值的办法，巧妙地让学生感受到从分数到分式是数学逻辑内在使然，分式比分数更具有一般性.渗透数式通性通法，类比使分数有意义的条件得出使分式有意义的条件，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程.
5.应用概念
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
师生活动：学生独立思考，教师引领学生做答：
（1）要使分式
有意义，分母
,即
.
（2）要使分式
有意义，分母
,即
.
（3）、（4）小题请两位学生上黑板解答，其余学生在练习本上解答，教师巡视指导.
师生共同完成（1）、（2）小题，并总结要使分式有意义，解题时要从分母不等于0入手，解一个带有“
”号的不等式.学生完成（3）、（4）小题后，师生共同检查黑板同学答案.引导学生观察，当分母中含有一个字母时，结果是这个字母不等于某个数值的形式；当分母中含有多个字母时，结果是这些字母之间不能有某种关系的形式.
设计意图：通过类比分数有意义的条件得出分式有意义的条件，旨在让学生进一步感受类比是推动数学进步的重要思想方法，类比分数研究分式，是十分自然的知识扩充.通过例题的解答，引导学生了解今后我们研究的都是有意义的分式.这里将分式有意义的问题转化为解不等式的问题，还渗透了转化的数学思想.
练习2 填空：
（1）当 时，分式
有意义；
（2）当 时，分式
有意义；
（3）当 时，分式
有意义.
师生活动：学生自主完成，教师引导学生关注分式有意义的条件是保证分式的分母不为0.
设计意图：巩固分式有意义的条件，理解要使分式有意义，必须要关注分式的分母.通过练习深化学生对分式概念的理解，知道数学中研究的都是有意义的分式.
练习3 请你写出一个分式，并指出分母中的字母满足什么条件时分式有意义.
师生活动：学生独立写出分式，教师巡视并指导，小组同学互相交流判断其他同学写的式子是否分式，并判断式子中的字母满足什么条件时分式有意义.教师可以适当的补充学生没有写出来的分式类型，例如：
，并追问：字母
满足什么条件时此分式有意义.
设计意图：设计这个开放性问题，旨在发散学生思维，继续加深学生对分式本质属性的理解，进一步掌握并应用分式概念.这样开放的设计，有利于培养学生的创造力和创新精神，激发学生学习数学的兴趣，教师的提升和引领将学生的思维进一步拓宽延伸，关注全体学生的全面发展，真正把学生的终身发展作为教育目标.
6.课堂小结
这节课类比分数学习了分式，从特殊到一般，从具体到抽象，为什么我们能够类比分数学习分式呢？这是因为分式和分数不仅在形式上相似，在基本性质和运算法则上也是相通的，今后我们还要类比分数探索和学习分式的基本性质、运算、应用等内容.
设计意图：课堂小结旨在帮助学生构建知识框架，对全章知识的研究脉络有整体的认识，进一步体会数式通性、类比、从特殊到一般、从具体到抽象、转化等数学思想方法，对分式后续的学习起到引领作用，让学生在掌握数学知识和技能的同时，感悟数学本质，感悟数学思想，形成数学核心素养，实现数学课堂的育人价值.
7.布置作业
⑴必做：教材第133页习题15.1第1、2、3题；
⑵选做：类比分数的基本性质探索分式的基本性质.
设计意图：分层作业旨在让不同的学生在数学上得到不同的发展，选做部分意在启发引导学生将课上内容延续到课后，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探索精神.
六、目标检测设计
1.下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
2.列式表示下列各量：
（1）某村有
个人，耕地40 hm
2 则人均耕地面积为 hm
2.
（2）
的面积为
，
边长为
，则高
为 .
（3）一辆汽车
h行驶了
km，则它的平均速度为 km/h;一列火车行驶
km 比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为_____ km/h.
3.下列分式的分母满足什么条件时，分式有意义？
设计意图：考查学生对分式的概念及分式有意义条件的掌握情况，了解和反馈学生的课堂学习情况，作为后续教学的参考和依据.
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