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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《14.2.2完全平方公式》宁夏
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《14.2.2完全平方公式》宁夏回族自治区__刘欣和
《14.2.2完全平方公式》教学设计
本节内容是初中数学(人教版)八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》中的——14.2.2完全平方公式。
一、教学内容解析
完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式基础上的拓展，是对多项式乘多项式中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习因式分解和配方法等知识奠定了基础，是进一步研究一元二次方程和二次函数的工具性内容。
教材按照学生的认知规律，从具体到抽象引导学生观察、猜测、实验、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。在此基础上，逐步培养学生的逻辑推理能力，体现“从一般到特殊”的研究代数类问题的一般思路、渗透“数形结合”、“建模”思想。由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起到承前启后的作用，它在本章中的地位举足轻重。
基于以上对教学内容的分析，确定本节课的教学重点为：
完全平方公式的推导过程及应用。
1.了解完全平方公式的几何背景，能正确用文字、符号语言描述完全平方公式，会应用公式进行简单的计算。
2.经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、猜想、归纳、概括、等探究创新能力，体会“由一般到特殊”的研究代数类问题的一般思路，发展有条理的表达能力，培养学生的“数形结合”能力。
3.通过“小组合作探究”等充满着探索性和创造性的数学活动，在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。
三、学生学情分析
1．认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础。但是对于如何用几何图形的面积描述代数，存在一定困难。另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)
2=a
2+b
2,(a-b)
2=a
2-b
2的问题，究其原因，主要是对公式中a、b的理解不到位，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。
2.活动经验基础：在前面单项式和多项式乘法法则的学习中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，但解决“同一类”问题的“模型”意识稍显薄弱，对公式的理解往往停留在语义记忆层次上。
3.心理特征：八年级的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力存在一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。
基于以上对学生学情的分析，确定本节课的
教学难点为：
由(a+b)
2=a
2+2ab+b
2的推导过程合作探究(a-b)
2的过程。
四、教学策略分析
1.忆旧孕新，渗透方法
完全平方公式的实质是多项式乘多项式的一个特例，因此本节课从“单元教学”的整体观视域出发，由学生熟悉的课本上的一个情境问题切入，通过改变部分条件，层层深入，结合“最近发展区理论”，由学生已有的多项式乘法的学习经验自然过渡到需要探究的完全平方公式，以期达到更好的教学效果。
在教学中通过多项式乘法这一一般情况进而特殊到研究两数和的自乘，采用“讨论法”引导学生把握其内在规律，体现研究代数类问题的一般方法，并尝试从不同角度描述完全平方公式。
-
“数”主“形”辅，主线突出
依靠“希沃白板”进行同屏，通过学生自主探究，运用图形的面积对公式进行说明，期待通过“数”与“形”不同的“语言”的互译，加深学生对公式的理解，这种“数”主“形”辅的设计思路也是与教材前一节课内容呈现一脉相承。
-
合作学习，类比探究。
在开展教学过程中，关于(a+b)
2的推导由教师引导学生进行探究学习，从多项式的乘法出发，通过观察、类比、归纳、总结等过程，对公式进行推导及验证；而(a-b)
2则完全交由学生，采用“合作学习法”，类比(a+b)
2的探究过程进行探究，教师合理引导。
4.巩固训练，思维提升
在“公式应用”环节设置有梯度的练习，既让学生掌握必备的基础知识，又为学有余力的学生提供更具有思维难度的问题：探究(a+b+c)
2,学生意识到这也是多项式乘多项式中的一类，并进一步体会“整体代换”思想，为下节课的学习奠定良好的基础。
五、教学过程
1.复习回顾，情境引入
师：前面我们已经学习了多项式乘多项式，哪位同学能描述一下多项式与多项式相乘的法则？
师：刚才同学们分别用文字语言和符号语言描述了这个法则，现在有一个长方形，能不能尝试用图形的面积再来描述一下这个法则？
师：其实之前我们在学习多项式×多项式的时候，已经赋予过它一个实际的情境。把一块原长am、宽pm的长方形绿地，加长了b m，加宽了qm.你能否求出扩大后的绿地面积？
师：对这个情境稍加改动。还是把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，同时加宽了b m.代数式发生了什么样的改变？
师：再对这个情境再做一点变动，把这里的p也换成a，此时，代数式又发生了什么样的变化？（a+b）（a+b）就等于（a+b）
2.
师：（a+b）
2=a
2+2ab+b
2这个公式就是今天我们要研究的完全平方公式。
设计意图：通过对多项式与多项式相乘的法则的复习、情境的改动及其表达式的改变的探究，一方面巩固旧知，另一方面引出今天的课题：完全平方公式。
2.观察对比，探究公式
师：刚才这个过程中，代数式发生了什么样的变化？
师：完全平方公式与多项式×多项式之间有什么关系？对，完全平方式就是特殊的多项式乘多项式。以后我们在计算形如（a+b）
2这类式子，可以用完全平方公式来简化计算。
师：代数式既然发生了改变，那描述它的图形也会发生一些改变，请同学们尝试用几何图形的面积来描述一下完全平方式。
师：同学们，再来回顾刚才的研究过程，图形又发生了什么样的变化？随着式子不断特殊，描述它的图形也越来越特殊。其实我们研究很多代数类问题都是按照从一般到特殊这样的研究方法进行的。
师：同学们，能不能尝试用文字语言描述完全平方公式？
设计意图：引导学生观察发现：完全平方式就是特殊的多项式乘多项式，并使用几何图形面积验证（a+b）
2=a
2+2ab+b
2，进一步从图形的角度验证结论的正确性，由此总结研究代数类问题的一般思路方法——由一般到特殊。
3.类比推导，模型构建
师：请同学们模仿前面研究的过程，探究（a-b）
2
法1：（a-b）
2=（a-b）（a-b）=a
2-2ab+b
2
法2：
师：学习数学，我们总是用统一的方式表达一类事物，这里的（a-b）
2其实也可以表示成[a+(-b)]
2.-b还能不能用其他的式子来替代？这里的a和b可以代表任何一个单项式或多项式。
师：（a-b）
2=a
2-2ab+b
2，我们把它叫做完全平方（差）公式，这两个公式都叫做完全平方公式。
设计意图：类比研究（a+b）
2的过程探究（a-b）
2。引导学生多角度思考问题。再现本节课的探究过程，提升学生观察、分析及抽象概括能力。
4.应用公式，解决问题
（1）下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
-
(x+2)2=x2+4
-
(2x+y)2=2x2+2xy+y2
-
(x-y)2=x2-y2
（2）运用完全平方公式进行计算：
1）(4m+n)
2 2）(y-0.5)
2
（3）在学习了完全平方公式后，老师可以很快算出102
2和99
2是多少，同学们知道老师是怎么快速计算出的吗？
设计意图：习题（1）（2）的设计检验学生能否识别完全平方公式，并能正确的运用公式进行简单的计算。习题（3）的设计帮助学生再次体会完全平方公式的作用，建立模型化的思想。
师：请同学们思考：（a+b+c）
2是多少？能不能用几何图形的面积解释？
同样它也可以用图形语言进行验证。感兴趣的同学请课后尝试说明，下节课我们一起分享。
设计意图：和前面研究的方法一样，学生发现它也是多项式×多项式的一类，感受到对“一类”问题的解决方法。并且体会“整体代换”的数学思想。
5.归纳总结，知识升华
谈谈你的收获。
总结：本节课我们从图形、文字、符号不同的角度对完全平方公式进行了推导及验证，从多项式到完全平方式的学习过程体现了研究代数类问题的一般思路：由一般到特殊。除此以外，同学们还可以进一步体会到“数形结合”思想、以及整体代换思想等。
设计意图：培养学生梳理知识的条理性，以及归纳概括能力。
6.作业布置
课本110页第1、2题。
六、课堂教学目标检测
1.下面的运算正确的是（ ）
A.(a+1)
2=a
2+1
B.(x+1)(x+2)=x
2+3x+2
C.(2a-b)
2=4a
2-2ab+b
2
D.(a-b)
2=a
2-b
2
2.下列各式：①m
2-2m+4；②y
2+y+
；③x
4-
x
2+
；④x
2+4x+4.其中完全平方式的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知x
2+mx+25是完全平方式，则m的值为（ ）
A.10 B.±10 C.20 D.±20
4.用简便方法计算：
(1)502
2= ； (2)99
2= .
5.如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②的阴影部分的正方形的边长是 .
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.
【方法1】S
阴影= ；
【方法2】S
阴影= .
(3)观察图②，写出(a+b)
2，(a-b)
2，ab这三个代数式之间的等量关系.
(4)根据(3)题中的等量关系，解决问题：
若x+y=10，xy=16，求x-y的值.
“完全平方公式”课例点评：
本节课从“单元教学”的整体观视域出发，以多项式乘多项式的法则为学习起点，由学生熟悉的课本上的一个情境问题切入，通过改变部分条件，层层深入，由学生已有的多项式乘法的学习经验自然过渡到需要探究的完全平方公式，在教学中通过多项式乘法这一一般情况进而特殊到研究两数和的自乘，采用“讨论法”引导学生把握其内在规律，体现研究代数类问题的一般方法——由特殊到一般。并始终围绕文字语言、符号语言、图形语言三个方面展开公式的研究和学习，以达到良好的教学效果。
依靠合理的信息技术，通过学生自主探究，运用图形的面积对公式进行说明，通过“数”与“形”不同的“语言”的互译，加深学生对公式的理解，体现“数形结合”的数学思想，这种“数”主“形”辅的设计思路也与教材前一节课内容呈现一脉相承。
在学习过程中，通过引导学生类比完全平方和的公式的探究过程，从文字、图形、符号不同角度探究完全平方差的公式，体现探究过程的再现与应用。在类比中让学生体会它们的差异性，体会它们本质上的一致性。除此以外，学生进一步感受到应用“完全平方公式”可以解决一类问题的“模型化思想”。
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