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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程的根与系数的关系》内蒙古—张
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第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《一元二次方程的根与系数的关系》内蒙古—张晓鹏
学科：中学数学 姓名：张晓鹏 盟市学校：兴安盟乌兰浩特市第十二中学
授课年级：九年级 讲课题目：一元二次方程的根与系数的关系
| 章节名称 | 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 | 学时 | 1课时 | ||||||||||||||||||||||||
| 课标要求 | 了解一元二次方程的根与系数的关系 | ||||||||||||||||||||||||||
| 内容与学情分析 | 内容分析 | 《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章 21.2 节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。因此本节课起着承上启下的作用。 | |||||||||||||||||||||||||
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学情分析 |
九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。 | ||||||||||||||||||||||||||
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学习目标 （重难点在相应条目后标注） |
1.探索发现一元二次方程根与系数的关系（难点） 2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单应用（重点） |
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| 学生课前需要做的准备工作 | 复习一元二次方程的一般形式和解法 | ||||||||||||||||||||||||||
| 学习策略 | 学生自主学习 合作探究 | ||||||||||||||||||||||||||
| 学习环节 |
学习任务设计与 教师活动 |
学生活动设计 |
设计意图 落实目标 |
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(一)创设情景 导入新课 |
问题：已知矩形的长和宽分别是一元二次方程 的两个实数根，求这个矩形的周长和面积。 用学过的方法解这个方程求出两个根会很麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能迅速求出矩形的周长和面积？ 引出今天要探究的内容： 一元二次方程根与系数的关系。 |
学生能表示矩形周长= （x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用以前的方法解方程，从而得出操场的周长和面积。但难点在于方程的系数很大，计算很麻烦。 |
通过创设问题情景，让学生在思路清晰的情况下，面对计算出现困难的情形下，吸引学生的注意力和激发学生对于本节课内容的探索欲望。 | ||||||||||||||||||||||||
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探究活动一 探究形如：x2+px+q= 0的根与系数的关系 |
观察猜想二次项系数为 1 时根与系数的关系： 活动一：
观察这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？ 让学生分 4 人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。（教师着重引导） 和学生一起归纳结论：二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项. |
学生通过解方程，观察它们两根的和、积与前面系数的关系，可以发现这三个方程的二次项系数均为 1，此时它们两根的和等于一次项系数的相反数，两根的积等于常数项。并能猜想：方程x2+px+q=0 的两根为 x1, x2。则 x1+ x2= -p， x1 x2= q 通过合作，得到验证思路： 从因式分解可知，方程(x-x1) (x- x2)=0 (x1,x2 为已知数)的两根为x1，x2 方程展开化成一般式可得方程 x 2 -（x1+ x2）x + x1 x2= 0 ，将方程化为 x 2 + px + q = 0 的形式，就能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系. |
通过引导让学生在二次项系数是 1 的方程中发现一元二次方程根与系数的关系， 并证明这个结论，体会观察→猜想→验证→归纳 （活动 1 中学生可能想不出推导过程，需要教师巡堂引导，必要时黑板上板书用讲授法推导） |
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探究活动二 探究形如：ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系 |
猜想验证一元二次方程根与系数的关系： 思考：一般的一元二次方程 ax 2 +bx +c = 0 中，二次项系数 a 未必是 1，两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？（让学生回忆一元二次方程求根公式）
观察方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？ 让学生分 4 人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。（教师着重引导） 思考，并继续以刚才的 4 人为一小组合作写出推导过程：若一元二次方程ax2 +bx+c = 0（a≠0）的两个根为 x1, x2 ， 则 x1+ x2= . x1x2= . 学生合作探究过程中教师巡堂指导，探究完毕各组派代表上台汇报，老师表扬并点评。 师生共同归纳得到韦达定理： 关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：  |
学生有了刚才活动已掌握的知识，重新探究可得到 方法1（公式法推导）：若 ax2+bx+c=0 (a≠0)两个根为 x1, x2     方法2（转化思想）： 若 ax2+bx+c=0 (a≠0)两个根为 x1, x2 二次项系数化为 1：   |
通过讨论 、合作探究让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程根与系数的关系。对学生用方法 1 这种蕴含化未知为已知数学思想的证明给予充分肯定。 |
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| （三）巩固新知理解应用： |
问题情景再现： 已知矩形的长和宽分别是一元二次方程 的两个实数根，求这个矩形的周长和面积。 |
学生能利用根与系数的关系。用 x1、x2 表示矩形周长=（x1+x2 ）×2=1234×2=2468，面积=x1x2=5678， |
及时回归引入情景，解法简便，用所学新知解决问题可增添学生的自豪感。 | ||||||||||||||||||||||||
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1.基础练习：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根 x1、 x2 的和与积 （1）x2-6x–15=0 （2）5x–1=4x2 在学生练习完后总结注意：
 时,“－”不要漏 |
学生利用根与系数的关系求出方程两根的和与积 | 让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识，及时总结易错点让学生减少错误几率。 | |||||||||||||||||||||||||
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2.例题分析：已知方程x2-(k+1)x+4=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. （启发学生用不同方法求出 k 和另一个根） 总结：已知方程的一个根，求另一个根及未知的系数或常数项时，可利用根与系数的关系求解。 |
选择一名同学在黑板上进行展示，其他同学练习本上进行计算。 | 让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识。 | |||||||||||||||||||||||||
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3.变式练习：设 x1，x2 是方程 2x 2 + 4x-3= 0 (a≠0)的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值 （1）  （2）  引导学生去变式，把未知的形式转变成两根的和与积的形式。 总结：求关于两根的代数式的值，可先将原式子转化为含两根之和、两根之积的代数式，再利用根与系数的关系求解. |
学生进行变式练习 |
此种类型为一元二次方程根与系数的常见题 型，可发散学生思维， 引导学生学会把未知转化成已知的根与系数的关系问题。 （几道题有难度，需要教师指导和讲解） |
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| （四）课堂小结 |
1.知识层面的获得：若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系： 2.数学思想的渗透： （1）一元二次方程根与系数的探究过程：由特殊到一般的数学思想 （2）二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1一元二次方程的转化思想 |
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板书 设计 |
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 （一）如果一元二次方程  的两个实数根是 则有  （二）如果一元二次方程  的两个实数根是则有  |
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