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视频课题：第十二届全国初中青年数学教师课例展示与研讨活动课《23.1 成比例线段》吉林—王佳
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《23.1 成比例线段》吉林—王佳
23.1 成比例线段（1）
教学设计
长春外国语学校
王佳
23.1 成比例线段（1） 教学设计
一、内容与内容解析
1．内容
成比例线段的概念、比例的基本性质．
2．内容解析
成比例线段是数的比例在几何中的体现，线段的比和成比例线段是“数”的比和比例概念的拓展，是在学生已经经历了轴对称、平移和旋转、图形的全等的学习过程基础上，进一步研究直线型图形的第一步．相似多边形的定义涉及比例线段，相似三角形的性质与判定一般都与比例线段相联系，因此成比例线段是我们研究相似图形的理论起点．本节课学生通过观察照片的形状，测量照片的长与宽，比较形状相同与形状不同的照片，引导学生尝试概括成比例线段的定义，并应用概念辨析成比例线段，随后从两方面探究比例的基本性质，以及利用比例的基本性质对比例式进行简单变形．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：概括成比例线段的定义、探究比例的基本性质．
二、目标与目标解析
1．目标
（1）了解线段的比，理解成比例线段的概念；
（2）探究比例的基本性质．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能结合具体实例，通过观察、抽象、测量、归纳等过程发现形状相同的两张照片长与宽比值相等，概括出成比例线段的定义，促进学生语言表达能力的发展，并能根据定义判断四条线段是否成比例．
达成目标（2）的标志是让学生经历探究比例基本性质的过程，学生能根据四条成比例线段发现得出的比例式不同，但等积式是唯一的，进而得出比例的基本性质：比例式和等积式可以相互转化，并能利用比例的基本性质，对比例式进行简单的变形．
三、教学问题诊断分析
九年级学生在小学时已经学习过数的比、比的前项、后项，比例的项、外项、内项等概念，有关线段的比，比例尺等内容，也经历了轴对称、平移和旋转、图形的全等的学习过程，已初步具备图形性质的探究能力，但是还有待进一步培养分析问题、解决问题的能力．学生在探究四条成比例线段得到不同比例式，再由不同比例式得到“等积式”唯一会有一定困难，教学时，教师应给予学生充分的讨论时间，以加深对比例基本性质的理解．
本课的教学难点是：探究比例基本性质的过程．
四、教学过程设计
1.了解成比例线段的概念
观察 从形状和大小的角度观察，下面的照片有怎样的关系？
（1）
（2）
师生活动：学生容易得到（1）组照片形状相同，大小不同．教师指出，我们把具有相同形状的图形称为相似图形；（2）组照片大小和形状均不相同，进而启发学生发现照片的形状与它们对应的长和宽有关．
动手操作 量一量每组照片的长和宽，看看它们之间有怎样的数量关系？
|
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（1）组 |
（2）组 |
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左 |
右 |
左 |
右 |
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长/cm |
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宽/cm |
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师生活动：学生通过动手测量得出每组左侧照片的长均为2.5cm，宽为1.5cm；（1）组右侧照片的长为7.5cm，宽为4.5cm；（2）组右侧照片的长为7.5cm，宽为3cm．引导学生发现形状相同的照片有共同的属性：长宽比均为5:3，（或长之比与宽之比相等均为1:3）比值相等，而形状不同的照片长宽之比与左侧照片不相等．教师进一步指出当图形对应边比值相等时，满足特殊的几何性质，这将对我们本章即将学习的相似知识带来帮助，同时带领学生回顾
这个式子是小学学过的比例式，即相同形状的两个图形对应线段的长度，满足小学学过的比例关系，从而引出课题——成比例线段．
设计意图：通过具体实例——对同一照片的不同变换，让学生经历观察、数学抽象、直观想象的过程，认识图形的相似，培养学生的问题意识.通过动手测量照片的长与宽，发现、归纳形状相同图形的本质属性即对应线段比值相等，提高学生解决现实问题的能力，体会从具体到抽象的研究问题方法，同时引导学生回顾小学学习的比例知识，将旧知与新知联系起来，从而引出课题.成比例线段是研究相似图形的基础，在探究相似图形的性质中起着十分重要的作用.
概念生成 你能尝试概括成比例线段的定义吗？
师生活动：教师引导学生讨论，分析成比例线段的特点：成比例线段是四条线段之间的关系，并将两张照片的长宽分别设为
a，
b，
c，
d，进而得出当四条线段满足两条线段的比值相等时，叫做成比例线段.鼓励学生尝试用自己的语言概括，并相互补充，得出成比例线段的概念：对于给定的四条线段
a，
b，
c，
d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如
（或
a：
b =
c：
d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例．
设计意图：充分调动学生的主观能动性，培养学生的抽象概括能力，由于有了前面的经验，学生能很好的理解什么是成比例线段，鼓励学生用自己的语言尝试概括成比例线段的定义.
2. 辨析概念，应用巩固
例1 判断下列线段
a、
b、
c、
d是否是成比例线段：
，
，
，
．
师生活动：教师引导学生利用定义判断四条线段是否成比例，在此过程中，学生先独立思考，然后学生只需在这四条线段中选取两条线段计算比值是否等于另外两条线段之比，教师板演过程．
设计意图：让学生经历利用定义辨析成比例线段的过程，帮助学生加深对成比例线段概念的理解.
试一试 你能再举出一些成比例线段的例子吗？
师生活动：先让学生独立思考，在磁力片上写出成比例线段的长度，请几名同学在黑板上展示自己的结果，同时邀请其他同学判断这些同学举出的例子是否为成比例线段，这其中可以包括线段的长度为分数、无理数、单位不统一的情况等，教师给予充分肯定.
设计意图：鼓励学生大胆尝试，充分体现学生是学习的主体，让学生再次经历利用定义辨析成比例线段概念的过程，生生互动，总结出判断四条线段成比例的规律和方法.学生展示自己认为好的判断方法，同学之间交流合作，获得成功体验.
3.探索比例的基本性质
探究 在例1中，你是否得到了不同的比例式？
师生活动：学生先独立思考，再合作交流，同学们积极踊跃举手发言，相互补充，同时发现同样的四条成比例线段，可以得到的不同的比例式，比如例1中，学生除了可以得到
之外，还可以得到
，
等比例式.
追问1 这些比例式之间有怎样的关系？
师生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表分享发现结果．教师引导学生通过内项之积等于外项之积发现同样的四条成比例线段得到的不同比例式都可以转化为
，或者通过等式的基本性质，去分母发现结论：虽然成比例线段得到的比例式不同，但等积式是唯一的．教师进一步指出：如果
，那么
．
设计意图：学生发现
a，
b，
c，
d这四条线段是成比例线段，得出比例式的比值可能不同，但它们的等积式唯一，都是
，即内项之积等于外项之积. 在变中寻找不变，这是数学追求的本质，世界是运动变化的，我们试图用数学逻辑把复杂世界的确定性结构分析出来，找到哪些隐藏在表层背后的底层规律，帮助我们在混乱中找到秩序，从而以不变应万变.
追问2 如果
，能推出多少个不同的比例式呢？
师生活动：先小组讨论，请小组代表分享结果，并相互补充，共同总结出共有8种结果，如果不考虑比例外项、内项，仅考虑比值，只有4个．同时教师指出：我们选择其中一个比例式作为代表得到下面的结论，如果
，那么
．于是引导学生发现根据等积式：内项之积等于外项之积即最小值与最大值乘积等于另外两项之积，在判断成比例线段的过程中，选取的不能是最短与最长线段，或中间两项之比，所以在判断之前首先要将4条线段排序.
设计意图：当四条线段成比例时，能写出8个不同的比例式，因此当给定一个比例式成立时，还需要考虑它还有哪些不同的形式，故研究比例的基本性质是非常有必要的.比例的基本性质是比例式变形的主要依据，结论“
”说明比例式与等积式是等价的，可以互相转化.
例2 已知
，求证：
．
师生活动：鼓励学生尝试多种方法证明，学生实物投影仪展示，师生共同交流，分析结论后发现：可以在等式左右两边同时加1，也可以先把比例式化为等积式，在等式两边同时加上
bd．
试一试 利用比例的基本性质，将比例式
适当变形，你还能得到哪些不同的结论呢？
师生活动：鼓励学生思考交流后得出不同结论，并用实物投影仪展示．
设计意图：引导学生体会比例的基本性质是比例式变形的主要依据，能利用比例的基本性质进行一些较为简单的比例式变形，充分暴露学生的思维过程.在运用不同方法证明的过程中，提高思维的深刻性和广阔性，引导学生体会在解决问题的过程中选择最优的方法.最后提出一个开放性问题，加强对比例基本性质的应用.
4.回顾总结，反思提升
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请同学回答以下问题：
（1）本节课你学到了哪些知识？
（2）在学习过程中，运用了怎样的研究方法？
设计意图：通过小结，使学生从知识和方法两个角度梳理本节课所学的内容，把握本节课的核心——成比例线段的定义和比例的基本性质，也使学生感受观察、抽象、测量、概括、举例、探究、应用的研究方法，并在学习过程中渗透了数形结合的数学思想.
5.布置作业
教科书第51页练习第2题、第3题、第4题．
五、目标检测设计
1．判断下列长度的各组线段是否是成比例线段：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，5厘米；
（2）1.5厘米，2.5厘米，3厘米，5厘米；
（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；
（4）1厘米，2厘米，2厘米，3厘米．
设计意图：1题检测成比例线段概念的理解与运用.
2．如果
（
a、
b、
c、
d都不等于0），那么下列比例式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
的值为___________．
4．已知
．求证：
．
设计意图：2、3、4题检测比例的基本性质的掌握情况.
《23.1 成比例线段》课例点评
成比例线段通过比值研究线段之间的关系，它是研究相似形的基础。相似多边形的定义涉及比例线段，相似三角形的性质与判定都是以比例线段为基础进行研究，因此本节课的学习效果将直接影响学生的后续相似图形的学习。本节课教学具有以下特点：
1.注重概念生成过程
王佳老师首先引导学生通过观察照片的形状，动手测量照片的长与宽，通过照片长与宽之间的比值关系进而概括出成比例线段的概念。在概念辨析的过程中，以学生呈现的例子为载体，分析概念的关键词，进而探究了比例的基本性质，并进行了初步应用。上述教学环节体现了概念的产生过程，学生经历了完整的观察、比较、测量、归纳、抽象、概括等思维活动，数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养的发展都渗透其中。
2.注重问题的启发与探究
在探究比例的基本性质中，带领学生展开“有引导的探究活动”，教师提出3个非常有价值的问题，通过成比例线段得到 “等积式唯一”的结论，并给予学生充分的自主交流、合作探究的时间。在整个教学过程中，始终注重学生的参与性，启发学生深度思考，鼓励学生与学生之间交流，发展了学生的思维，将数学核心素养真正落实到课堂中。在学生交流研讨的过程中，教师作为合作者和引导者，及时了解学生的探究情况，并从中选择有代表性的回答进行全班交流，让学生在掌握数学知识和技能的同时，感悟数学的本质，感悟数学思想，积累数学思维和实践经验，形成和发展数学推理的能力。学生通过探究和交流，得出了非常精彩的回答，进而培养了学生会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。
3.注重知识梳理与小结
在小结的过程中，教师不仅引导学生回顾本节课所学知识，更关注了内容所反映的思想方法，以及如何展开思考，其中包括如何分析具体实例、如何归纳共性、如何抽象本质特征等等。这样的小结注重了数学基本思想、基本活动经验的落实，是发展学生数学核心素养的有力举措。
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