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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《指数》山西—陈
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山西—陈红赞—设计—指数
4.1 指 数
教学设计（两个课时）
临猗中学 陈红赞
一、内容和内容解析
1.内容
指数，包括n次方根与分数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂和它们的运算性质．
本单元需2课时，第1个课时，从n次方根、根式到分数指数幂，将整数指数幂拓展到有理数指数幂；第2课时，无理数数指数幂及其运算性质．
2.内容解析
从数学内部看指数函数，本质上是一个给定的实数
的
次方
，从“个
相乘之积”的原始意义出发，得到其运算性质：
.
再逐步推广，使得
对任意实数
都有意义，这样就得到了一个对应关系： 
把这个对应关系作为一个函数，记为
称为以为底的指数函数.
由指数幂的运算性质，自然地就有指数函数的如下性质：
同时，只要一个函数满足上式，那么它就是一个指数函数
所以，指数函数是与指数运算和运算性质紧密关联的一个函数，这也是课程标准在“教学提示”中强调“指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律”的缘由．
从上述分析可见，从数学角度看，指数函数的基础是实数指数幂的意义和运算性质．
在初中数学课程中，数系已经扩充到实数，但指数幂的定义只推广到整数指数幂，本单元的任务就是要把指数幂推广到实数指数幂．
指数幂的推广实质上是将指数的范围进行逐步推广，使其对任意实数都有意义，推广的思想方法与数系扩充的思想基本一致，就是将的指数的范围逐步推广到全体实数，而在推广过程中要使指数运算性质得到保持，其具体过程是从自然数的乘方是自然数自相乘的缩写出发，逐步解决几个“关节点”问题．
设
是个相乘之积，所以自然有
(1)0和负整数指数幂的定义
这一步与引进0和的相反数
从而将自然数系扩充到整数系的想法有些类似．
(2)有理数指数幂的定义
联系平方根、立方根具有的性质，即
，首先把根式的定义推广到次根式，把使
成立的叫做的次方根，其中
且
.当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的次方根是负数，用符号
表示．当是偶数时，正数的次方根是两个互为相反数的数，写成
，负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.记作
.上述得到根式定义和性质的过程具有完备性，对培养学生的理性思维很有用，特别是在归纳定义的过程中，可以有效地培养思维的逻辑性．
接下来我们如何研究分数指数幂呢？一脉相承地，我们希望整数指数幂的运算性质对分数指数幂也适用.当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，利用整数指数幂的运算性质
，学生将
(
)与
()分别写成分数指数幂的形式，这就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式表示为分数指数的形式是合理的，
那么当根指数不能整除被开方数的指数时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？在学习幂函数时，我们已经知道正方形场地的边长c关于面积S的函数c=
也可记作
，那么它的合理性在什么地方呢？以此为切入点，可以想象对于
而言，一定存在
，使得使得
=
，则
=
=
(
)
从上述推导过程可以看出：
合理性的前提是整数指数幂的运算性质
这种兼容性为运算带来极大的方便，同时也说明了次方根表示为分数指数幂的合理性.至此，关于正数的正分数指数幂的意义
就顺理成章了.
与负整数指数幂的意义相仿，可规定
；与0的整数指数幂的意义相仿，可规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
规定了分数指数幂的意义以后，指数幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数
均有运算性质：
①
②
③
（证明过程略，学有余力的学生可以尝试证明）
事实上，数学知识的完备过程和途径并不是唯一的，我们也可以从另外一个角度出发，由
可见,规定
是合理的,进而规定也是自然的.这个思路放在最后课堂小结中引导学生思考.
(3)无理数指数幂的定义
这里需要解决的问题仍然是：当是无理数时，的意义是什么，它是否为一个确定的数？如果是，它有什么运算性质？解决的方法是，利用初中学习中借助有理数认识无理数的经验，通过有理数指数幂认识无理指数幂，需要用有理数指数幂夹逼无理数指数幂．
总之，指数幂的推广是数系扩充的一部分，主要是明确指数幂的意义及其运算的性质．实际上，指数幂，除为正整数外，它的意义不明显．与对有理数、无理数的研究重点有所不同，对指数幂，我们不太关心
到底是多少，重点是对它有什么“与众不同”的性质进行考察．的最重要的性质是
，再加上
等少数几个性质，就完全确定了．
3.教学重点
指数幂的推广，实数指数幂的运算及其性质．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过对有理数指数幂
、实数指数幂
含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．
（2）通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)经历从整数指数幂到有理数指数幂的拓展过程，能说出的次方根的意义，能说出
等符号的意义以及它们之间的逻辑关系，能说出0的分数指数幂的意义．
(2)能说出有理数指数幂的运算性质，能用有理数指数幂的定义和运算性质进行有理数指数幂的化简、求值.
(3)通过具体实例，感受用一对有理数指数幂左右夹逼无理数指数幂的过程，认识无理数指数幂的含义，能说出实数指数幂的运算性质．
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
学生在初中阶段经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，已经学习了整数指数幂及其运算性质，积累了一定的数系扩充经验，为本单元的学习奠定了一定基础．但学生往往把注意力集中在具体运算上，对数系扩充的原则，指数幂的含义和运算性质等缺乏必要的关注，而本单元的内容主要是“定规则”，着力点在指数幂的指数的范围扩充后的意义，不仅抽象而且逻辑性强，所以存在较大困难．
首先，学生不清楚从整数指数幂到有理数指数幂推广的整体架构．这样，他们对从哪里入手推广、按怎样的逻辑顺序展开、每个环节如何实施才能做到逻辑严谨等都会比较茫然．也就是说，学生对该做什么和如何做都不太清楚，从而造成被动学习．为了解决这个难点，教学中要引导学生回顾从有理数到实数(主要是平方根和立方根)、正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，通过适当的讲解，为学生搭建适当的脚手架，使他们在适当的类比对象下展开学习，从而增强学习的主动性．
其次，从根式的意义到有理数指数幂的含义的理解，其中涉及数学符号表达方式的转换，转换要满足等价性，其抽象性，逻辑性都很强，需要较强的代数思维和逻辑推理能力，这对学生具有挑战性．教学中，要注意通过类比数系的扩充过程，通过具体实例，引导学生理解定义
的合理性，并按照数学定义的完备性要求给出完整的有理数指数幂的定义，从而建立起理解有理数指数幂含义的基础．
第三，因为学生的运算技能、代数思维等方面的欠缺，他们在进行根式，有理数指数幂的运算等过程中经常会出现错误．教学中要注意发挥这个内容在提升学生数学运算素养上的作用，让学生充分经历从具体实例到运算法则的归纳过程，使他们在理解根式的意义、有理数指数幂的含义基础上，通过适当的从根式到分数指数幂的解题训练，形成较好的运算技能．
第四，无理数指数幂的含义涉及数列的极限，具有构造性，也是本单元的一个学习难点．教学时要注意借鉴初中阶段用有理数夹逼无理数的经验，通过信息技术手段提供直观理解的支持，帮助学生更好地体验无理数指数幂的唯一确定性．
2.教学难点
(1)建立指数幂推广的整体架构；根式性质的理解；分数指数幂的理解、有理数指数幂的运算性质及无理数指数幂的意义．
(2)对无理数指数幂的理解:用有理数指数幂逼近无理数指数幂．
四、教学支持条件分析
PPT课件，GGB课件
通过计算工具计算、展示
等的不足近似值、过剩近似值夹逼
，
的过程，并在数轴上进行动态演示．
五、教学过程设计
4.1.1 n次方根与分数指数幂
（第一课时）
引导语 在第三章我们学习了函数的概念和性质，并初步应用它研究了“幂函数”，大千世界中很多的现象、规律都可以用函数刻画，从本章开始，我们将利用上一章的知识、方法和经验研究几个具体的函数．
环节一 了解背景，整体把握
请同学们先阅读课本第103页的章头图和章引言.
问题1：本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？可以解决哪些现实问题？
师生活动：学生带着问题阅读、思考并回答，教师予以点拨，并揭示课题．
本章学习的基本内容是指数函数和对数函数这两类基本初等函数及其基本性质和应用。细胞分裂、人口增长、放射物质的衰减、测定遗址的年代等现实问题都可以利用这两类函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。
追问：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，类比数域的扩充，你觉得指数幂的推广路径是什么？扩充的原则是什么？
师生活动：学生类比思考，得出.
推广路径：将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂.（板书推广路径）
扩充的原则是新的数域中原来的运算性质仍然成立，即满足相容性.
教师讲解：类比数域的扩充，将指数的范围从整数拓展到有理数，我们首先要解决分数指数幂的意义。初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c=记作.像
分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
环节二 类比归纳，探究新知
问题2： 初中阶段我们学过平方根、立方根的概念，你能回忆出这些概念吗？请举例说明．
若
，则叫做的_______，记作：__________，例如_________________.
若
，则叫做的_______，记作：__________，例如_________________.
师生活动：学生独立完成．可能出现的问题是：的平方根只写正的，不写负的.这是本单元的易错点，教师要及时指出，并让学生思考如何才能不出现这样的错误．
追问1：类比平方根、立方根，你能给出4次方根，5次方根，……次方根的定义吗？
若________，则叫做的4次方根，记作：__________，例如___________.
若________，则叫做的5次方根，记作：__________，例如___________.
……
若________，则叫做的次方根，其中
且.
师生活动：学生独立完成，然后进行小组交流，教师进行点评的基础上，给出完整的定义．
学生阅读课本104页之后，默写根式的定义：我们把式子称为根式，叫做根指数，叫做被开方数．
教师要注意学生在写的4次方根时可能出现的错误．此外，要收集整理不同类型的例子，为追问2的解决做铺垫，如：
，则
则
，则
； 
，则
等．
追问2：一个实数的次方根一定存在吗？举例说明。
师生活动：学生独立思考、作答。之后在互动交流的基础上，阅读课本第104页的相关内容，然后以小组为单位梳理出一个表格，如下表所示．
 |
||
|
为奇数 |
为偶数 |
|
|
|
存在，有一个，是正数 |
存在，有连个，互为相反数 |
 |
存在，有一个，是负数 |
不存在 |
 |
 |
|
次方根的定义，再通过具体实例，辨析一个实数的次方根的存在性。
（2）
= （4）
= 
= 
时的特例．类比练习1说说符号
的意义，并化简.其中蕴含了什么数学思想？次方根的定义出发，我们得到了它的性质
；为奇数时，
= 为偶数时，=
=
的次方根的表示，并将数的次方根推广到式．通过求解具体的根式求值问题，初步理解根式的意义，并观察运算中的规律，抽象根式的性质．同时培养学生类比研究的能力，分类讨论的思维习惯．
(2)
(3)
(5) (6)
次方根的概念，以及前面探究得到的关于
的性质.培养思维的严谨性，在解题中消灭易错点，并为后续分数指数幂的学习做铺垫．
次方根与分数指数幂的关系次方根的定义和数的运算，例1(5)(6)可以分别写为
()
()次方根表示成分数指数幂的过程中，核心思想是利用了整数指数幂的运算性质
.那么当根指数不能整除被开方数的指数时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？例如：
可以记作，那么它的合理性在什么地方呢？
，一定存在一个数，使得 =,(为了方便研究，不妨先设 
),== ()合理性的前提是整数指数幂的运算性质这种兼容性为运算带来极大的方便，同时也说明了次方根表示为分数指数幂的合理性.（
.
（.的次方根定义分数指数幂，将幂中的指数的取值范围从整数推广到了有理数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数及
，均有运算性质： 
（2）
（3）
(4) 
(2)
-
)
次方根的互相转化，特别是把次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式；次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的式巩固有理数指数幂的运算性质。
= _____________ 
+
+-
+
.,你能利用根式的性质给出的含义吗?(这里
)的限定下,
.定义,那么
,于是有
次方根的基础上,直接定义,这样也可以给出有理数指数幂的定义,可以促进学生对有理数指数幂含义的理解。
＞0)中指数
的取值范围从整数拓展到了有理数．按照上节课问题规划的研究路径（再现研究路径），接下来我们将
中的指数
的取值范围从有理数继续推广到无理数，那么，当指数是无理数时，
的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？
，得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数. 类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．的发现过程，请设计一个方案解释
的意义.的意义提出方法。
，
的近似值，观察它们的变化趋势，你有什么发现？，的近似值，小组讨论
的不足近似值（有理数）和过剩近似值
（有理数），利用计算工具计算相应的，的近似值，并填入表1．|
的不足近似值x |
 的近似值 |
的过剩近似值y |
 的近似值 |
| 1.4 | 9.518 269 693 | 1.5 | 11.180 339 887 |
| 1.41 | 9.672 699 728 | 1.42 | 9.829 635 328 |
| 1.414 | 9.735 171 039 | 1.415 | 9.750 851 807 |
| 1.414 2 | 9.738 305 174 | 1.414 3 | 9.739 872 620 |
| 1.414 21 | 9.738 461 907 | 1.414 22 | 9.738 618 643 |
| 1.414 213 | 9.738 508 927 | 1.414 214 | 9.738 524 601 |
| 1.414 213 5 | 9.738 516 764 | 1.414 213 6 | 9.738 518 332 |
| 1.414 213 56 | 9.738 517 705 | 1.414 213 57 | 9.738 517 861 |
| 1.414 213 562 | 9.738 517 736 | 1.414 213 563 | 9.738 517 752 |
| … | … | … | … |
是一个确定的实数．
追问2：通过表1可以看出，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？是一个确定的实数．利用GGB动画演示，加深学生对于无理数指数幂的理解，由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到是一个确定的实数，进而理解无理数指数幂，达到提升学生直观想象核心素养的目的．
，设计一个方案来说明它也是一个确定的实数吗？从中你学到了什么方法？体会到数学中研究问题的什么思想？
(
＞0，
为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将＞0)中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．中，为什么通常要限定＞0？=0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果这里的底数＜0，那么指数就不能为
(其中n为整数)，否则仍然没有意义．因此我们限定＞0这个条件．＞0，保证后续的指数函数y=对任意实数都有意义，为后续的课程作铺垫．中指数的取值范围就从有理数拓展到了实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．
；
；
．
； （2）
； （3）
．
；
；
； （2）
．取负实数，使得||的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的
(x∈R)的值，观察变化趋势．取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的
（x∈R）的值，观察变化趋势．的研究作铺垫．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
