视频简介：

数学探究：圆和椭圆性质的类比
【内容和内容解析】

1. 内容

圆和椭圆性质的类比，回顾圆的性质，推广到椭圆中，发现和证明椭圆的其他性质．
这个活动包含的内容比较多，除了数学探究活动所需的必要流程外，还需要完成以下内容：
（1） 研究范例：圆与椭圆性质类比之“垂径定理”的范例．
（2）对于学生所选的方向，如何在一般观念，一般研究套路的指导下展开研究，需要给出一些建议．
（3）学习GGB软件的使用,包括手机版，网页版．
（4）由于疫情期间，学生居家学习，部分成果汇报是在网上完成的，学生还要自学视频录制的一些操作.
基于以上原因，本单元内容建议课内分为3课时以及课下活动：
课下活动：（1）学生先自主探索，梳理圆和椭圆的性质，通过类比，发现有关联的性质，并说明理由，小组合作探索，以组为单位书写报告. (2)课代表统筹安排各组研究内容.
第一课时：分析圆锥曲线“垂径定理”范例，介绍几何对象研究的一般套路，在一般观念的指导下，指出研究思路，明确研究任务，完成上述(1)（2）内容．
课下活动：学生先自主探索，小组合作探索，教师给予指导．发现、提出有价值问题，探究解决．
第二课时：中期汇报．分小组展示发现、提出问题的脉络，分享探究过程，交流经验开拓思路，完善论证过程，也可提出研究过程中新的猜想以及探究的瓶颈．
课下活动：学生进一步探索，互帮互助，完善修正探究成果．
第三课时，结题交流．全面展示探究成果，完成研究报告，并撰写论文．
上述内容（3）（4），学生上网查找操作方式，自己解决，没有统一安排时间.
（由于疫情影响，学校两次放假，第一，三课时在网上交流完成）

2. 内容解析

圆锥曲线的发现和研究起始于古希腊，人们非常喜欢这种简朴而完美的曲线，像欧几里得（Euclid，前325-前265）、阿基米德、阿波罗尼奥斯等几何学大师都醉心于圆锥曲线的研究。当时人们是以纯粹的几何学观点来研究这种与圆密切相关的曲线的。是一种纯理念的探索，取得了非常辉煌的研究成果，其中以阿波罗尼奥斯的（圆锥曲线论）为代表。直到十六、十七世纪之交，开普勒（J．Kepler，1571-1630）发现行星运动三大定律，才知道行星是绕着以太阳为一个焦点的椭圆轨道运行的。开普勒三大定律是近代科学开天辟地的重大突破，它不仅开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。所以，圆锥曲线不仅是几何学中的完美对象，而且“也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一”，让我们感慨于数学与大自然居然有这样的“心灵相通”，由衷地赞叹数学与大自然的和谐之美。所以，圆锥曲线的学习，不仅仅是让学生又多掌握了一些非常重要的数学知识，同样重要的是可以让学生从中充分认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，把理性思维、科学精神的培养落在实处，
椭圆是圆锥曲线的代表性内容，双曲线、抛物线的内容与它同构。“椭圆”的内容架构、研究过程和思想方法与“圆的方程”基本一致，首先是从具体情境中抽象椭圆的几何特征，再根据几何特征建立标准方程，然后利用方程、通过代数方法进一步研究它的性质以及与直线的位置关系。自然的，对椭圆的研究，坐标法是根本大法，数形结合是根本思想，这里充分体现出“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”的特征。
椭圆是高中阶段学习的第一种全新曲线，可以为学生利用圆的方程中积累的经验进行探索性学习，独立发现和提出数学问题，自主归纳和概括数学结论，并学会有效地用于解决数学内外的问题等提供理思载体。与圆的定义一样，椭圆的定义是基于运动轨迹的，其要点是“平面内到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹”；表现出高度的简洁、和谐之美。再把抛物线定义的要点“平面内到一个定点与到一条定直线的距离相等的点的轨迹”放到一起，可以发现它们是几何学本质的直接体现-“几何的本质在于度量，度量的本质在于长度”。通过基本运算给出距离（长度）间的确定关系，进而得到圆锥曲线的定义，让学生体验这些定义所蕴含的完美的数形结合思想，可以全面提升学生对数学的认识水平，形成新的数学学科视角，提高数学表达的条理性和严谨性。
数学探究是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程．具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论．圆与椭圆都是封闭二次曲线，有很多相似的性质，这样的问题探究有助于培养学生发现问题，提出问题，分析解决问题、解决问题的能力。探究过程中鼓励学生在独立思考的基础上，合作探究学习，解决问题。
此次探究活动，因为学生已经对圆的性质比较熟悉，在类比迁移中容易展开。采用各组选方向，分组探究，制作PPT汇报，写论文实施数学探究活动，能够使学生在做中学、在学中做，从中体会数学研究的乐趣，并且展现个性，尝试创新。
本单元例要求学生完整经历数学探究的过程，掌握数学探究的基本方法与步骤，提高“四能”，培养学生数学研究兴趣，提升数学抽象，数学建模，数据分析，直观想象等素养.
3. 教学重点
经历完整的数学探究过程，掌握数学探究的一般方法与步骤，体会每一个环节的必要性和完整性，经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的全过程。
【目标和目标解析】

1. 单元目标

（1）运用所学知识，通过类比圆与椭圆的性质，提高逻辑推理能力，提升数学抽象素养.
（2）通过数学探究活动，归纳与掌握数学探究的一般方法与步骤，理解数学探究的多样性，进一步提升数学抽象，数学建模，数据分析，直观想象等素养.
2. 目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生通过分组、合作等形式， 总结圆的性质，类比椭圆的性质，制作出PPT.
(2)学生能回答“你怎么发现的这个问题，提出了怎么样的问题，怎么分析得，如何解决得”；归纳与掌握数探究的一般步骤，能提出或理解数学探究的多样性.
【学生学情分析】

1. 学生学情

在这个部分我从两个方面分析：
一.学生方面
学生现在学段是高三的一轮复习阶段，他们已掌握了圆锥曲线的基本性质，也曾对自己感兴趣的问题深入研究过，但还未经历过数学探究活动的全过程。数学教学中，我们总是习惯于让学生做现成的，条件封闭的题目，对于这样相对开放的探究活动孩子们是兴奋的，但也是迷茫的，不知该探究什么.
基于以上分析，我对学生的初步探究作了一些预设：学生可能会把一些常见的圆和椭圆性质点状得罗列，毕竟学生对做题方面还是熟悉的，写出的是一些离散的、不连贯的碎片化知识（事实上正是如此）。
二.教师方面
高三复习阶段数学教学中，教师备课更多考虑的是，知识点是否复习到位，学生训练的题型全不全，我们为学生设计好了一切。 教师利用数学探究的教学方式复习，是比较陌生的，虽然我们经常学习这方面的理论知识，但缺乏实际经验，尤其是如何引导学生展开探究还需要学习相关的理论知识。
2. 教学难点
在一般观念指导下，用研究几何图像的一般套路探究所选内容.
【教学策略分析】
我们知道，新教材的不同章节中，研究对象、研究内容和具体方法都会发生变化，但整体框架和研究路径是基本相同的。以此作为每一章教材“谋篇布局”的指导思想，不仅可以使教材体现数学的整体性，而且能使学生通过一个个具体对象的学习，逐步明了研究一个数学对象的基本框架和路径，这对发展学生的理性思维也有至关重要的作用。在此过程中，可以使学生更深入地体验“数学的方式”，明确学习方向和学习重点，更加有的放矢地展开学习，从而有力地提高学习质量和效益。
所以我决定从研究一个数学对象的基本套路为主线，引导学生用有效的研究思路和方法，展开独立思考，合作探究。最后希望学生将他们所研究的碎片化的问题串在一起，建构所研究内容体系，体现数学的整体性；加强一般观念的指导，提升教学的思想性，发展学生的理性思维。
在研究过程中，还要注意充分利用“运算”的纽带作用形成学习进程，引导学生先用几何的眼光观察与思考，再用坐标法解决，通过“运算”发现规律，有效借助运算方法解决问题，通过运算促进学生数学思维的发展，进而形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。在此过程中，学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象等素养也就得到了提升。
【教学方式设计】
在教师的带领下，以课题研究的方式进行．
【数学探究规划】
教师先以引导的方式，设计“问题串”，将圆锥曲线的“垂径定理”的研究过程，完整地呈现出来，先给学生以完整的数学探究过程。这一环节，是学生思维从“做数学题”到“ 数学探究 ”的一个过渡，帮助学生在思想上从“做数学题”转变到“数学探究”。
之后，教师以引导和启发为主，设计“问题串”，帮助学生通过类比的方式， 接下来，再让学生按照要求开展小组合作的方式自行选择研究内容。学生的学习活动包括课内活动和课下活动两部分。课下活动以学生的组内合作研究为主，教师指导为辅。课内活动包括课题示范、中期交流和成果展示，以各组学生展示交流为主，教师点评和指导为辅。这一环节是本单元教学的主要内容，能够充分发挥学生的主观能动性，真正让学生“在做中学”，体会“做数学”的味道。
在整个的探究学习的过程中，需要对学生的各探究阶段进行阶段性评价。在成果展示后，需要对各组进行评价。以达到对学生学习情况进行反馈的目的。
另外，考虑到学生对GeoGebra软件不够熟悉，需要给学生提供以下资料，让学生学习GeoGebra软件，帮助学生的研究过程。
1. 《GeoGebra与数学实验》，包括R软件的下载、安装.
2. 探究活动各阶段所需的文档模板，包括：《课题准备工作》（附件1）、《课题准备工作评价》（附件2）、《课题中期报告》（附件3）、《课题中期报告评价》（附件4）、《课题成果公报》（附件5）、《课题评分表》（附件6）．
建议课上使用3课时．课下给学生充足的探究时间．
【教学过程设计】
课下活动
1、情境与问题
高中解析几何包括四种二次曲线，分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。有的教材将这四种曲线统称为圆锥曲线，也有的教材定义后三种才是圆锥曲线，还有的教材“折中”地将圆作为椭圆的一个特例看待。但无论怎么规定，它们同为二次曲线的“血缘关系”都无法否认，也就是说这四种曲线的性质应该存在着某些共同点。
那么，它们的共同点是什么呢？
这个问题好像一时回答不清楚，究其原因，主要是我们对椭圆、双曲线和抛物线的性质了解得不全面、不透彻，无法从全局直接看出这四者的共同点。我们不妨换个角度来考虑，学生在初中阶段比较系统地学习过圆的知识，对圆的性质了解得比较透彻，如果我们对圆的性质逐一尝试，并且发现其中某些性质能推广到其他三种曲线，那么我们就找到了四种曲线性质的共同点。本着这个想法，考虑到椭圆和圆的相似度较高，对于圆的每个性质，可以先考察它在椭圆中是否成立，本次探究先让学生研究圆与椭圆两种比较相似的图形。下面我们就依照这个思路来探究圆与椭圆性质的共同点.
2、试着做一做
请列出圆的性质，然后检验这些性质在概圆中是否仍然适用。
3、教师对学生的探究流程提出如下要求：
完成任务：(1) 学生先自主探索，梳理圆和椭圆的性质，通过类比，发现有关联的性质，并说明理由，再小组合作探索，以组为单位上交.（一周时间）
(2)姜焱（数学课代表）汇总各组研究内容，与各组组长协商初步确定各组感兴趣的研究方向.
设计意图：由于学生已经是高三的一轮复习阶段，给出个人和小组任务，引导学生自主复习圆和椭圆性质，为后续探究做好准备.
第1课时  了解研究方法 确定探究任务
【教学内容】
回复习圆中垂径定理，类比到圆锥曲线中，探究圆锥曲线的“垂径定理”.
【教学目标】
（1）通过复习圆的垂径定理，积累椭圆一个性质研究的活动经验；
（2）通过经历圆与椭圆“垂径定理”的类比过程，明确研究思路，体会“先用几何眼光观察，再用坐标法推理，论证和求解”的基本思路.
【教学重点与难点】
（1）教学重点
体会“先用几何眼光观察，再用坐标法推理，论证和求解”的基本思路.
（2）教学难点
用几何的眼光观察，即对“几何要素”的分析。.
【教学过程设计】
引导语 
环节一 复习性质，按几何元素关系分类
问题1:你能说出圆和椭圆的类似性质，他们的共性是什么？涉及哪些几何要素？
追问1：你能说出圆和椭圆的类似性质，他们的共性是什么？
追问2：涉及哪些几何要素？
师生活动：复习圆与椭圆几何性质，并引导学生按几何要素关系归类，如定义涉及长度度量，垂径定理涉及角度.
环节二  圆中垂径定理
问题1  回忆圆中垂径定理，你能说出它的内容吗？
追问：圆中还有那些类似的性质？
预设回答：垂径定理及其推论.
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
 
 
追问2：你还能想到哪些有关垂直的性质？
预设回答：直径所对圆周角为直角，切线与圆心与切点相连的线垂直.
     
追问3：你能说一说他们的联系吗？它们的共性是什么？从统一的眼光看，那些是极端情形呢？
预设回答：（1）切线是弦的极限情形

（2）垂径定理的垂直和直径所对圆周角是直角的联系：如上图中 , 是中位线的关系.
师生活动：教师引导学生复习垂径定理，以及有关垂直性质.
设计意图：学生初中学过这些性质，但没有从统一，动态的角度将其联系起来，故需
从圆的垂径定理，发散到所有与之相似的内容，引导学生用统一的角度归类，体会运动变化的思维，有助于学生探究后续内容，也即从几何图形研究的一般套路出发，分析几何图像的几何要素，学会用几何的眼光观察，应用运动变化的思维，抓住垂直这一几何关系，厘清他们之间的关系，初步体会研究一个几何图形的性质的探究思路和方法.提升学生对数学的认识水平，形成新的数学学科视角，提高数学表达的条理性和严谨性。
环节三  类比到椭圆中
问题1：在椭圆中有类似的性质吗？试类比椭圆，说出你的猜想.，用GeoGebra验证.
追问1：你还能说出椭圆哪些性质？如何证明？
预设回答：


 

追问2：你能证明这些性质吗？
师生活动：用坐标法证明性质，让学生领会坐标法和数形结合思想。
设计意图：由于学生已经是高三复习阶段，椭圆这些性质并不陌生，只是没有系统的归纳过，用圆作类比，能将知识融合，同时也感受到圆与椭圆性质类比非常有必要的，通过类比能很好理解代数关系的几何意义.
环节三  确定研究思路
探究任务 以上我们梳理了圆与椭圆的一些性质，知道了用运动变化的思维将其归纳，合理类比，信息技术验证，再用坐标法证明，这一研究思路．那么以圆与椭圆为研究对象，按其几何元素关系分类，用向坐标法对性质进行再研究，你还能发现什么结论？证明你的发现，并阐述你的发现过程．
实施要求与建议：
（1）组建小组，每组成员原则上不超过六人．
（2）在独立思考的基础上，小组集体讨论探究方案，确定研究思路．之后小组成员各自展开独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告．小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告，在全班进行成果交流、评价．
（3）充分利用信息技术手段（如：GeoGebra软件等），可能会有更加丰富的成果．
（4）注意留存过程性记录，重要活动与讨论都要有文字与图片记录．
师生活动   学生课下完成．
设计意图  以终为始，用明确的任务和要求指导学生开展数学探究活动.
课下  自主开展探究，小组合作推进
该环节是利用课余时间进行的，建议给学生1周时间，学生只有在课下进行了充分探究，才能确保课上深入的思维交流互动．
在教师的鼓励与指导下，学生先进行独立思考，完成探究作业．教师或学生可根据学生的研究方向，然后开展小组内合作探究．教师及时掌握并督促小组活动，批阅小组探究作业，收集学生在活动中产生的问题，并及时给予指导．在活动过程中鼓励和引导学生借助信息技术开展探究．
学生可能遇到的问题及教师指导建议：
1.大多学生容易把数学探究活动误认为习题课，实际操作中可能会将以往在解题中发现的结论，或直接查阅资料获得的结论，逐一罗列，再加以证明．教师应及时追问这些结论是如何被发现的（习题是如何被设计出来的），引导学生探究其背后的原因，用“ 坐标法”展开探究．
2.部分学生在探究过程中会利用查阅资料得到的一些结论，“执果索因”探索来源，这样容易造成各个结论之间彼此孤立，探究成果杂乱无章．教师应引导学生绘制思维导图，借助逻辑链条有序串联，进一步理清探究发现的路径，双向递进．
3.部分学生在探究过程中喜欢查阅网上的传统几何方法推理论证，不愿利用坐标法，不会自觉地优化算法（如齐次联立，换元技巧等）， 应用坐标法发现新的数量关系（如2022年全国乙卷21题的数量关系）。对传统几何法感兴趣的同学，教师可以引导学生体验     传统几何和坐标法两种探究方式，再数形结合，融会贯通，并在运算的过程中提取有价值的数量表达式（如定值问题）．同时进一步指出坐标法具备运算与推理两兼的双刃优势，结合GeoGebra软件验证，强化树立“运算”工具的优越性．
4.教师指导学生按照不同的探究路径梳理自己的探究成果，不断强化学生对数学探究活动的认知，针对学生在探究过程遇到的问题与障碍，筛选收集示范展示案例，按照一定的逻辑关系，对学生探究获得的结论进行排序，指导学生为第2课时展示交流做好准备．具体内容见第2课时的展示．
第2课时  交流初探成果，指导探究方法
【教学内容】
展示与交流问题发现、提出的过程，进一步明确探究活动的发现路径．
【教学目标】
（1）通过展示与交流学生小组探究成果，分享体会问题发现、提出的过程，相互借鉴和学习，积累“先用几何眼光观察，再用坐标法推理，论证和求解”的经验．
（2）能通过质疑、辩论、评价，梳理发现和提出问题的脉络，为进一步的探究奠基．
【教学重点与难点】
1．教学重点：展示本组探究问题的发现与提出过程．
2．教学难点：梳理发现、提出问题的脉络，形成以一贯之的探究发现路径．
【教学过程设计】
环节一  总结探究活动本质
引导语  通过近一周内多次课下活动，我们对数学探究活动又有了更深入的认识，数学探究活动不同于传统的数学习题课，它是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程．具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论．数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容．
数学探究的基本程序及对应的行为是：

数学问题→数学猜想→解决思路和方案→     数学结论 发现提出→  猜测  →     提出     →自主探索与合作研究

 
 
 

设计意图  让学生了解数学探究活动的本质，形成主动探究意识，积累探究经验，梳理出以一贯之的探究发现路径．
环节二  展示成果，梳理探究路径
展示任务  经过前期的小组探究，大家都收获了一些成果，也遇到了一些困难，同时深切的感受到提出一个有价值的问题，要比论证一个已有的结论困难的多．因此我们把本次中期汇报的重点确定为展示并交流“发现、提出问题的脉络”．下面有请各小组进行展示，其他小组的同学认真聆听，作好记录，稍后提出困惑，做出评价．
师生活动  学生梳理课下探究成果，重点展示本组探究问题的发现与提出过程，也可以展示部分探究成果，或提出困惑，小组间展开互评．教师可给予评价，也可以进行恰当引导．
成果展示
学生展示1  椭圆与圆基本性质的比较
1.定义
椭圆：上平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹曲线。
圆：到定点的距离等于定长的点的集合.
2方程
3.顶点  
4.有界性
    5.离心率  圆：认为离心率为0的椭圆
6.参数方程：
圆：               参数方程：
椭圆：      参数方程：
椭圆：      参数方程：
应用：
例1.M(x,y)是椭圆 上的点，求 的取值范围
解：设点M(cosx,2sinx)
则   所以
教师点评：从最基本的性质出发，类比圆与椭圆,你们给后面的性质研究奠定了基础.
    学生展示2   有关垂直的园与椭圆性质类比  
在圆x²+y²=r²中过圆心O引两条互相垂直的线OP,OQ,连接PQ,过O作垂线OD⊥PQ，则D的轨迹为x²+y²=r²/2

圆与椭圆本自同根生，那么这样做在椭圆中是如何呢？
在椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中过中心O引两条互相垂直的线OP,OQ,连接PQ,过O作垂线OD⊥PQ

利用信息技术（GeoGebra）直观了解

点D的轨迹仍是一个圆
由此猜测：在椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中过中心O引两条互相垂直的线OP,OQ,连接PQ,过O作垂线OD⊥PQ，点D的轨迹是一个圆
下面来证明

 
证明：设

结论:
在椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中过中心O引两条互相垂直的线OP,OQ，连接PQ，
过O作垂线OD⊥PQ，点D的轨迹是一个半径是a²b²/(a²+b²)的圆
应用：
例.(2007天津22)如图所示， 为椭圆 上的两个动点， ,过O作直线 的垂线OD。求点D的轨迹方程.
分析：点D的轨迹是一个圆，且半径为2b²/3，上述研究其实也是此题的背景。
教师点评：能从几何元素的关系归类，研究问题背后的一般规律，很好，在证明时用得不是常规的坐标法，巧设Q点坐标，其实用了类似极坐标的方法来证明的，可以试着用常规坐标法再证明。
学生展示三：仿射变换在圆锥曲线中的起源，性质与应用
      众所周知，圆具有很好的几何性质，椭圆与圆可谓是同宗同源，于是我们猜想，有没有一种方法可以实现这种圆与椭圆的互化？我们由此引出本文的重点：仿射变换
在平面几何中，椭圆很像一个“挤压”过的圆，那么我们可以适当对椭圆进行“拉升”，从而将椭圆变成圆。放到平面直角坐标系成为坐标系的伸缩变换。
  →
在椭圆转化为圆后，可以通过研究圆的性质来研究椭圆的性质，此处可以适当结合平面几何的知识。
一．仿射变换的具体操作：
在平面直角坐标系中，设椭圆 C :
令x`=  ,y`=   ,经变换后椭圆方程C`变为
此时我们发现，经变换后椭圆终于变成了一个单位圆，这意味着我们终于能用圆的性质来解决一些圆锥曲线的问题。（注意：经变换得出结果后仍需变换回原来的坐标单位）
二．仿射变换后的性质
接下来我们来探究一些仿射变换后的性质
1.直线与曲线的位置关系
在平面直角坐标系中，设椭圆 C :      直线 l :
联立方程，消去y，得出 =
对原直角坐标系进行伸缩变换
（椭）圆C` :     直线l` :
联立方程，消去y，得出 =
（很明显 没有发生变化，说明直线与曲线的位置关系（如相交，相切等）没有改变）
由此我们得出，经过仿射变换后的直线与曲线位置关系不变
2.变换前后直线斜率的变化
设直线 l :     经仿射变换，得l`：
易得直线斜率变为原来的
3.变换后的图形面积的变化
在平面直角坐标系中，设椭圆 C : ，显然椭圆外接矩形面积为4ab
圆的外接矩形面积为4
→
仿射变换后，对应图形面积变为原来的
推广 标准变换后，对应图形的面积变为原来的   。在平面直角坐标系中，图形的面积可理解作是 kxy ，其中 k 为常量。
三．仿射变换的应用
有了仿射变换这一研究圆锥曲线的工具，接下来我们不妨对其进行应用，将圆的性质推广到圆锥曲线的性质

1. 直径所对圆周角为直角，设椭圆 C :

对原直角坐标系进行伸缩变换，（椭）圆C` :
  
变换后 ，所以变换前

2. 垂径定理

→
变换后 ，所以变换前
3.仿射变换在一些题目中的应用
已知椭圆 ,记椭圆的左，右焦点分别为 ，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），A 的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值。

解：令x`=  , y`=y
椭圆方程C变为C`： ,
由圆的几何性质可得 ABC恒为
ABC ，由基本不等式可得，当且仅当 时， 取得最大值
此时 =1
将坐标系变换为原坐标系后，得出 的最大值为
    
仿射的深入分析
一.深入分析

1. 椭圆垂径定理的推导

2.椭圆垂径定理的三种形式
(1)基本形式

2. 特殊形式

3.椭圆中的切线的性质

我们现在利用仿射进行证明：
设圆（x²+y²=1）的一个切点为M(m,n)，该点所对应的切线l为mx+ny=1，则该圆经过仿射变换后的椭圆（ + =1）的切点M'(am,bn)，切线l'为 + =1。
根据仿射后的点M'与切线l'可以分别得出直线O'M'的斜率为 ，直线l'的斜率为- 。
所以我们得出 × =- 。
二.典例示范
例.
   椭圆C： + =1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则三角形ABF的面积的最大值为？
法一：常规方法
当直线斜率存在时，设直线方程y=-kx，代入圆的方程得（1+2k²）x²=8，
∴x=± ，y=±    ∴A( ， )，B(- ，- )
< =4
 当直线斜率不存在时，直线方程为x=0， = ×2b×c=4
综上， ABF的面积的最大值为4。
法二.仿射变换
建立新的坐标系使得x'= ，y'= ，则在新坐标系中，由于仿射变换的性质， ABF面积取到最大值的位置与原坐标系中对应。
在单位圆中， A'B'F'取到最大，即A'B'⊥O'F'时，即为过原点的直线的斜率不存在时。
则 的最大值为4。
教师点评：仿射变换，揭示了圆与椭圆的内在联立，也搭建起了两者之间互化的桥梁，此次探究也为我们第一课时的类比找到了内因，很有价值.
展示三：定点的发现与猜想
已知椭圆C的中心在坐标原点，叫电脑在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，

1. 求椭圆C的标准方程；
2. 若直线l:y=kx+m与椭圆C相交与A,B两点（A,B不是左右顶点）,q且以A,B为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过顶点，并求该顶点的坐标.

分析：（1） （2）过顶点（ ，0）
类比圆中：直径所对的圆周角为直角
观察发现：直径过圆心这个定点，且两图都有直角  ，以上与题目相似.

提出猜想：  一般的椭圆，直线与椭圆交于P,Q,点P,Q分别与右顶点A的两条连线垂直,那么在椭圆中是不是有一定点过PQ的呢？
证明：（齐次联立）
，
椭圆方程可变形为： ，即为
设直线PQ：
齐次联立，得
即：
同除以 得
所以 ，得 带入直线PQ方程得：
PQ： ，所以直线PQ过定点 .
根据椭圆的对称性继续猜想：A为左顶点,也应该过定点.用信息技术验证，确实如此.

 
 
 
 
 
 
既然左右顶点都有定点，那么上下定点呢？
现在对上顶点证明：


 

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