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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《斐波那契数列与黄金分割》安徽
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《斐波那契数列与黄金分割》安徽
斐波那契数列与黄金分割
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内容与要求
通过实际情境引入斐波那契数列，通过代数运算导出黄金分割；联系初中阶段的黄金矩形与黄金三角形，欣赏黄金分割在研究自然规律、艺术创作等跨学科研究中的应用.
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教学内容解析
斐波那契数列是人教A版选择性必修第二册数列第一节《数列的概念》后“阅读与思考”，在等差数列和等比数列之前，意在拓宽学生视野，帮助学生了解数学文化，激发学生学习数学的兴趣.
阅读材料中以兔子繁殖问题创设情境，分析其中的数量关系，得到斐波那契数列，并由具体到抽象，研究了这一数列的递推公式. 与上一版本教科书中内容相比，新教材增加了斐波那契数列的性质. 事实上，斐波那契数列有很多有趣的性质，这也是这个数列有广泛应用的原因. 教材介绍了斐波那契数列的前
n+1项满足的一个等式，这个等式可以用图形直观地表示出来，还可以由此得到“斐波那契螺旋”，这个螺旋在项数
n不断增大时越来越接近“黄金比例螺旋”，这体现了数学美，让学生体会数形结合的数学思想. 在研究斐波那契数列性质时通过代数运算导出黄金分割数，初中阶段黄金分割是从比例线段、一元二次方程引入的，这反映了数学的统一性.在研究斐波那契数列性质时，让学生感受“观察——归纳——猜想”的过程，体会从特殊到一般的数学思想. 通过欣赏斐波那契数列和黄金分割的应用，让学生对美的感受能够从感性走向理性，在形象思维的基础上增强理性思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：认识斐波那契数列，发现斐波那契螺旋，代数运算导出黄金分割数.
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目标
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了解斐波那契数列及其递推公式；
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理解斐波那契数列的部分性质，了解斐波那契数列与黄金分割数的关系，了解斐波那契螺旋的发现过程；
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欣赏黄金分割在研究自然规律、艺术创作等跨学科研究中的应用.
2、目标解析
达成上述目标的标志是：
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学生通过对兔子繁殖问题的讨论，认识斐波那契数列并能归纳出斐波那契数列的递推公式，体会从具体到抽象的过程，发展数学抽象素养；
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学生通过计算，能归纳出斐波那契数列的部分性质，能通过代数运算得到黄金分割数，体会“观察——归纳——猜想——验证”的过程，感悟特殊到一般的思想，发展逻辑推理、数学运算素养；
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学生通过经历发现“斐波那契螺旋”的过程，体会数形结合思想；
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学生通过查阅资料，能了解到斐波那契数列以及黄金分割的广泛应用，体会数学美，认识数学的应用价值和审美价值.
学生已经学习了数列的概念，会通过观察得到简单数列的通项公式或递推公式，会通过数列的通项公式和递推公式求数列的某一项. 高二的学生已经具备了一定的运算能力、动手操作能力和分析问题的能力，也会简单操作Excel软件和几何画板软件.
学习本节内容需要学生通过计算、观察、总结规律并归纳出结果，需要学生具备一定的抽象概括能力. 但学生的抽象概括能力和提炼总结意识较弱，课堂上教师可通过“问题串”的形式引导学生观察发现和归纳总结. 学习本节内容时学生还没有学习累加法和数学归纳法等，所以对斐波那契数列的性质只能采用归纳的方法，无法给予严格证明.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：观察、分析、归纳斐波那契数列的部分性质.
本节课共设计课堂上四个活动、课后一个活动，总计五个数学活动，分别是寻找数列、计算找性质、探究数学美、计算找规律、查阅资料成果汇报. 通过数学活动结合几何画板软件、Excel软件帮助学生攻克本节课重难点.
“寻找数列”的活动中设计兔子繁殖问题引入斐波那契数列，目的是展示数学知识生成的文化背景，使学生了解数学史的知识，感受数学文化，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性. 这个环节里学生对大量的数据不敏感，少部分学生能够很准确地发现数据之间的联系，故这里采用了引导性教学手段. 将问题拆分成三个部分完成，先让学生分析讨论1至5月的兔子数目，再寻找6-10月的兔子数目，最后思考如何得到第50个月兔子总数. 让学生经历从单纯的“数”到寻找相邻两个月兔子数目规律，最后抽象成数列问题的过程，体会数学抽象的过程，降低大部分学生课堂上认知的难度，发展数学抽象素养.
“计算找性质”和“计算找规律”的两个活动中均设置计算题，预计学生能准确计算结果，但学生往往不注重归纳，故通过“问题串”引导学生发现规律，让学生经历从观察到归纳的过程. 以学生目前知识水平没有办法严格证明学生归纳出的结果，故增加了用Excel软件验证的过程和数学史知识. 发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
“探究数学美”的环节设置了拼图游戏，此游戏用了卡纸和几何画板软件，目的是让课堂上所有学生都可以动手实际操作，感受发现美的过程，增加课堂趣味性，提高学生数形结合的能力.
斐波那契数列与大自然的联系、黄金分割在各学科领域的广泛应用都需要查阅资料了解，学生自己查找会有更深刻的印象和感受，故设计成课后活动，学生以小组形式查阅资料，再集中汇报成果. 这可以有效的反馈学生课堂上的学习情况.
五、教学过程
引导语：有人说，大自然是懂数学的，树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列都遵循了某种数学规律. 这个数学规律与一个数列有着密切的联系.我们一起来寻找这个神奇的数列.
【活动一】寻找数列
《兔子繁殖问题》
如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子. 假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
问题1：请同学们结合表格，算一算前5个月每月每一类兔子的对数.
师生活动：分小组计算讨论，填写表格. 老师追问以下问题：
（1）表格中6-10月的数据是多少呢？
（2）第50个月的兔子数要这么一直列表格算下去吗？根据我们所学的数学知识，该如何研究这个问题？能否将它转化成一个数学问题？
（3）什么是数列？
（4）对于该数列，应该如何求第50项？请同学们小组讨论，寻找解决问题的方法.
师生活动：通过分析前5个月兔子数目之间的规律，完成表格中6-10月的数据，再引导学生将问题转化为数列问题，估计学生可能会想到通过数列的通项公式来求第50项，但该数列的通项公式不容易观察得出。故引导学生寻找数列的递推公式，当知道数列首项或前几项，以及递推公式时，也可以求出数列的每一项.
学生回答：记数列的第
n项为
，则
教师指出：这个数列可以认为是由递推公式给出的.兔子繁殖问题是1202年意大利数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，故这个数列称为斐波那契数列，其中的每一个数是斐波那契数.
设计意图：通过兔子繁殖问题引入斐波那契数列，引导学生将实际问题转化成数学问题中的数列问题，让学生体会数学抽象的过程.同时展示了数学知识生成的文化背景，使学生了解数学史的知识，感受数学文化，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性.
斐波那契数列有很多有趣的性质，我们通过计算来发现它的一些性质.
【活动二】计算找性质
计算：
问题2：这些式子的和可以用斐波那契数表示吗？
师生活动：学生计算出以上式子的结果，小组讨论将计算结果用斐波那契数表示出来.
追问：根据这六个式子的规律，你可以归纳出一般情况吗？
师生活动：学生通过观察，归纳得出
，教师指出斐波那契数列的这条性质可以在同学们学习了累加法或者数学归纳法之后证明.
设计意图：让学生经历“观察——归纳——猜想”的数学发现、发展过程.
【活动三】探究数学美
问题3：这个性质也可以用图形来表示，请同学试一试用图形表示
. 首先思考该借助什么图形表示这个等式.
师生活动：通过观察式子的结构特征，引导同学们从面积的角度出发，小组讨论，动手操作.
请4个小组同学上黑板展示成果，教师追问以下问题：
（1）为什么这个图形可以表示等式“”
（2）你可以在图形中找到其余式子的图形表示吗？
师生活动：请同学结合图形指出其余式子的图形表示
设计意图：用图形表示等式，让学生体会数与形的完美结合.通过对其他几个式子的图形表示的描述，让学生了解这个性质中对
n取任意正整数都是可以找到对应的图形表示.描述的过程中引导学生关注到图形中所构成的所有长方形的宽与长都是斐波那契数列中相邻两项，为下一个活动做准备.
问题4：如果在每个正方形内做四分之一的圆弧，在原有图形的基础上，能使得这些弧线连成一条连续的螺旋线吗？
师生活动：学生操作，拼出螺旋线
教师指出：图形中的正方形都是以斐波那契数为边长的，因此这条优美的螺旋线称为“斐波那契螺旋”.如果我们在图中不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸.
设计意图：让学生经历发现美的过程，体会数学美.
在上一个活动中我们找到了图形中的长方形，这些长方形的宽与长均是斐波那契数列的相邻两项，那他们的比值有什么规律呢？
【活动四】计算找规律
计算：（结果保留到小数点后三位）
问题5：根据计算结果，你认为斐波那契数列中
的值有什么规律？
师生活动：学生计算，寻找规律:当
n值增大，
接近0.618；利用计算机Excel软件，验证大家的猜想.
教师指出：其实早在1611年著名的天文学家开普勒就指出了斐波那契数列的这一性质.可见斐波那契数列与黄金分割有着密切的联系.
设计意图：让学生通过代数运算研究斐波那数列的性质，在研究性质中发现黄金分割数，让学生经历“观察——猜想——验证”的过程.培养学生数学计算能力.
问题6: 0.618这是一个神奇的数字，同学们还记得它吗？请一位同学带着大家一起回忆初中学习的黄金分割和黄金分割数
追问：如果一个长方形的宽与长之比为黄金分割数，那这个长方形叫什么？
师生活动：学生回答“黄金分割数”，复习黄金分割的概念、黄金分割数的求法以及黄金矩形的概念.
教师指出：回到前面的图形上，如果我们在图中不断增加边长是斐波那契数的正方形，构造出的矩形宽与长比就越来越接近黄金分割数，故不断延伸的“斐波那契螺旋”的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”.
设计意图：通过复习黄金分割（数）让学生理解斐波那契螺旋线的形状只是接近黄金比例螺旋，初步体会极限的数学思想.
【结束语】
这节课我们通过分析兔子繁殖问题认识了斐波那契数列，通过计算发现了该数列的两条性质和黄金分割数，发现了一条优美的螺旋线“斐波那契螺旋”.
在本节课的开头所提到的树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列与斐波那契数列之间有怎样的联系呢？黄金分割在研究自然规律、艺术创作等跨学科研究中有广泛应用，请同学课后查阅资料.以小组的形成汇报活动成果.
六、课后活动安排
1、查阅资料，寻找树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列与斐波那契数列之间的联系；
2、查阅资料，欣赏黄金分割在研究自然规律、艺术创作等跨学科研究中的应用.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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