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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《超几何分布》福建
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《超几何分布》福建
《超几何分布》教学设计
福州三中 郑文祺
一、单元内容及其解析
1．内容：
超几何分布；超几何分布的均值；超几何分布与二项分布的区别和联系
7.4单元教学约需2课时，第1课时，二项分布，第2课时超几何分布
2．内容解析：
超几何分布和二项分布是两类重要的概率模型，研究它们可以帮助学生进一步了解随机变量在描述随机现象中的作用，也能更深入理解随机思想在解决实际问题中的作用。课本通过比较放回和不放回的简单随机抽样，归纳出超几何分布的模型特征，由特殊到一般地求得超几何分布的分布列。
我们可以用产品抽样和摸球等具体的随机抽样问题，归纳并描述出超几何分布的特征：总体有两种不同类型、不放回、关注的随机变量是样本中一类的个数。
超几何分布模型是古典概型，引例可直观分析，逐个不放回抽取和一次性抽取，随机变量的分布列应该是相同的，这里利用古典概型分子分母的同序原则，可引导学生用无序的组合数和有序的排列数算出比值相同，进而给与简单证明。关于随机变量的取值收到限制的问题，我们可以通过引例中正品和次品、抽取样本数量的改变，让学生发现上下界的限制，并特殊到一般的进行归纳，抽象出概念性的严格数学表达。
超几何分布均值的证明要用到组合恒等式，有一定的难度，我们用先猜后证进行活动探究。超几何分布的方差计算比较复杂，可不作要求，但证明原理、计算技巧和均值是大同小异的，程度好的同学可课后思考。
通过例6引导学生思考二项分布和超几何分布的区别和联系。相同背景下，均值相同，超几何分布的方差较小，反映在频率分布直方图中就是超几何分布取值更集中于均值附近，这是数形结合思想在本课中对抽象结论理解的重要体现。抽样数远小于总数时，超几何分布可以用二项分布近似，这可以用朴素的概率思想理解，也能从数学严格的角度予以证明，从而引导学生认识简单的实际问题蕴含着深刻的数理。另外，超几何分布需要总体中两类的具体数目，二项分布只需要一类占总体的比例即可。
无论是二项分布还是超几何分布，数值较大时都需要借助计算机软件完成计算。
本节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
二、目标及其解析
1.目标
通过具体实例，了解超几何分布及其均值,能够判定随机变量是否服从超几何分布，并能解决简单的实际问题。
2.目标解析：
达成上述目标的标志是：
（1）学生能从引例中算出分布列，并通过数值的一般化抽象出超几何分布的概念。
（2）学生能判断何时适用超几何分布模型计算概率。
（3）学生能在教师引导下，猜想并利用组合恒等式推导证明超几何分布的均值公式。
（4）学生能在学习例6的过程中，通过计算机软件比较二项分布和超几何分布的异同，而不是盲目生搬硬套某种概率模型。
（5）学生能通过超几何分布的学习掌握对于一种新的分布先研究分布列再探究数字特征的一般方法。
三、单元教学问题诊断分析
这节课学生是在已经学习了随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了随机变量分布列和二项分布的基础上，研究另一个常见的分布列。引例中放回和不放回条件的改变会引发学生将超几何分布和二项分布进行类比学习，但超几何分布概念的抽象过程，尤其是随机变量的可能取值范围的上下界确定会是一个难点。均值的推导中数学运算和组合恒等式的适时使用会是第二个难点。超几何分布与二项分布的区别联系的发现过程中的数学探究思维过程也可能是主要的认知障碍。
基于上述教学中的问题诊断分析，本章节的难点是：超几何分布概念的形成；超几何分
布均值的推导；超几何分布和二项分布的区别和联系；如何研究下一种新的分布模型。
在教学中，一方面要从引例和应用例题的数据中寻找一般规律；从特殊到一般的铺垫均
值证明所需要用到的排列组合运算性质和构造证明的思想；借助计算机软件绘出图表，应用数形结合思想认识到两种分布的异同；继续渗透研究数学对象的基本框架和基本方法，突破本节课的难点。
四、教学支持条件分析
为了加强学生对超几何分布的理解，可借助实物摸球试验等直观化的方法帮助分析问题，
也可以运用信息技术平台，例如excel制作图表，在课堂上让学生直观感受超几何分布和二项分布的区别和联系．
五、教学过程设计
第2课时 超几何分布
（一）教学内容
超几何分布；超几何分布的均值；超几何分布与二项分布的区别和联系
（二）教学目标
了解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布；会求服从超几何分布的随机变量的均值，能够利用超几何分布模型解决简单的实际问题.
（三）教学重点与难点
重点：通过具体实例，了解超几何分布的概念并应用超几何分布解决实际问题.
难点：超几何分布均值的推导；超几何分布和二项分布的区别和联系
（四）教学过程设计
1.超几何分布的概念形成
引例：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即 .
问题1：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？
学生：采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
问题2：那么X的分布列是什么？
追问：1. X的可能取值有哪些；
2. X=2的含义是什么，如何计算X=2发生的概率；
3.如何求P（X=k）
可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任取4件，样本空间包含 个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为 .由古典概型的知识，得X的分布列为 .计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.71257 | 0.25621 | 0.02989 | 0.00131 | 0.00002 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
