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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示高中数学必修第一册（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函数的基本关系》
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示高中数学必修第一册（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函数的基本关系》
课堂教学设计——同角三角函数的基本关系
《高中数学必修第一册 》（人教A版）第五章5.2.2
福建省福州第一中学曹仁剑
一、教学内容解析
（1）内容：本节课选自普通高中教科书《数学必修第一册（人教A版）》第五章5.2.2同角三角函数的基本关系，主要内容是同角三角函数的基本关系.
（2）内容解析：从三角函数的定义可知，三角函数的基本性质就是圆的几何性质的直接反映．因此，与圆的几何性质建立联系，为发现三角函数的性质提供思路，发现三角函数的基本关系后，利用关系解决三角函数中求值，恒等变形等问题．
本单元内容是建立周期性变化的数学模型，以函数的观点探究三角函数的图象和性质，解决一些简单的实际问题．本节在建立三角函数的概念后发现同角三角函数的内在联系，为三角函数求值，从而得到三角函数的图象打下基础．
本节课的教学重点是同角三角函数基本关系的发现，认识同角三角函数的基本关系和应用这个关系．
二、目标与目标解析
目标：理解同角三角函数的基本关系式：，，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．
目标解析：完成上述目标的标志是学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得到“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．
三、教学问题诊断分析
学生已有基本初等函数的学习经验，但是三角函数的内在联系性比较特殊，学生在基本初等函数的学习中没有这种经验，而且学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”认识不充分等而导致发现和提出性质的能力不足，为此，需从思想方法上加强引导探究同角三角函数的基本关系．
四、教学策略分析
本节课同角三角函数关系的结论很简单，但是关系的生成重要，所以需引导学生有序地探究出结论，从而体验数学中定义生成后探索对象一般规律的过程，培养学生探索新知的意识；得到同角三角函数关系后，为了使学生逐渐熟悉结论，掌握结论的应用，采取引导学生利用代数运算尝试各种结论的变化形式，激发学生的创新意识.
五、教学过程设计
环节一：复习旧知识，铺垫新探索
教师问题1：在昨天的课堂上我们学习了三角函数的概念和一组诱导公式，它们分别是什么？
学生1：角的终边和单位圆的交点
，正弦定义为纵坐标
，余弦定义为横坐标
，正切定义为
．诱导公式一：
．
环节二：探究新公式，理解新公式
教师问题1：终边相同的角的同一三角函数值有相等关系，那么，终边相同角的不同三角函数值之间是否也有某种关系？为什么？
学生1：终边相同的角的三个三角函数值是由同一个点得到的，所以它们必然有关系．
【设计意图】三个三角函数值之间如果没有关系，则没有研究的必要，通过问题引导学生明确探索的方向，坚定探索的信心．
教师问题2：终边相同的角有无穷多个，那么，如何研究多个角的三角函数值的关系？
学生2：因为终边相同的角的三个三角函数值相等，所以只要用一个角代替所有终边相同的角．
【设计意图】利用诱导公式一，简化探究内容．
教师问题3：如何探索？已知什么？能得到什么？
学生3：已知三角函数的定义，容易得到
．
【设计意图】引导学生利用联系的观点进行探索，利用运算发现基础关系．
教师问题4：还有什么关系？三角函数是用点
的坐标定义的，那么坐标的含义是什么？启发我们如何探究？
学生4：坐标的含义启发我们利用几何意义进行探究．
【设计意图】引导学生利用联系的观点，把代数问题转化为几何问题．
教师问题5：
和
有什么关系？
学生5：根据勾股定理，得到
，所以
．
【设计意图】引导学生通过几何直观联系到直角三角形，从而联系到勾股定理，得到线段长的数量关系，从而探究出三角函数的平方关系．
教师问题6：
就是
，
就是
吗？
学生6：不是，绝对值才对．
教师问题7：
任何时候都成立吗？
学生7：不是，要有直角三角形，也就是点
不在坐标轴上．点
在坐标轴上时，结论依然成立．
教师问题8：
任何时候都成立吗？
学生8：不是，须要
有意义，
，也就是角的终边不在
轴上，即
．
【设计意图】引导进行反思，思考推理的严谨性．
环节三：总结新知识，应用新知识
教师总结：我们得到了同角三角函数的基本关系：①平方关系：
；②
（
）．式子的结构特征：同一个角的正余弦的平方和为
，正余弦的商为该角的正切值．
【设计意图】帮助学生理解记忆公式．
教师问题１：公式有什么用途？
学生1：已知同一个角的正弦值可以求出余弦值，类似地，已知余弦值可以求出正弦值；进而已知角的正弦或余弦值，可以求正切值．
学生２：同一个角的三个三角函数值已知一个可以求出另外两个．
【设计意图】以方程的观点理解公式．
例１：已知
，求
，
的值.
分析：应用公式求解，问题在开方时符号的确定，所以需要对角的终边位置讨论.
解：由
且
得，
是第三象限或第四象限角，
由
得
，
若
是第三象限角，则
，
；
若
是第四象限角，则
，
．
【设计意图】具体的例子让学生体验三角函数基本关系的应用，解答过程中也锻炼了学生运算的能力和分类讨论能力．这样的例题可以直接地呈现本节课的主要内容，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养．
变式１：已知
是第三象限角，
，求
，
的值.
分析：很难应用公式直接求解，把两个公式合在一起，建立方程解决问题，两个方程两个未知数，消元求解．
解：由
是第三象限角得，
且
，
，
由
得
，代入
，
得
，所以，
所以，．
【设计意图】在例题１的基础上，把数值运算提升为字母运算，把公式的直接运算提升为方程思想解题，逐步提升运算求解能力．
教师问题２：由变式１，把
用
代回，得到一个恒等式：，你能证明吗？
学生３：右边右边，所以等式成立．
学生４：左边右边，所以等式成立．
【设计意图】由方程得到恒等式，对恒等式寻求证明方法，帮助学生深入理解公式的结构和含义；引出恒等式证明问题，寻求恒等式证明的一般方法——“化同”；在“化同”的一般方法下，引导学生体会“齐次化正切”的特殊方法．
环节四：探索新恒等式
教师问题：由同角三角函数的基本关系经过一些代数运算，可以得到一些新的恒等式，你能用运算的方法探索出一些恒等式，并给出证明吗？
学生：展示各自的结果．
【设计意图】开放性的问题激发学生的创新能力和创新意识．在利用基本关系探究恒等式的过程中，让学生不断强化对基本关系的理解，并体验共同学习合作探究的过程．
环节五：学生小结归纳，教师点评总结.
教师问题：归纳小结一下这节课的主要内容：
１．认识了同角三角函数的两个基本关系，得到了利用基本关系求三角函数值的方法，得到了简单的三角恒等式的探索和证明方法；
2．体验了从定义出发探索三角函数基本关系的思维过程；
【设计意图】归纳梳理本节课主要内容，巩固学到的知识．
五、课堂教学目标检测
1．教科书第185页第6题，第12题，第13题
【设计意图】考查同角三角函数的基本关系．
2．教科书第186页第15题
【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力．
3．教科书第186页第18题
【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力，从特殊到一般的方法．
4．写出一些三角恒等式（不同于课上已有的），并给出证明
【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力．
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