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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《直线的倾斜角与斜率》安徽
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《直线的倾斜角与斜率》安徽
用坐标法研究直线与圆，提升直观想象、数学运算的核心素养
安徽省临泉第一中学 夏凯月
一、《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订》要求及分析
本单元是选择性必修课程主题二几何与代数中平面解析几何的内容。课标指出，本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。
本单元直线与圆的方程内容要求如下：
1.内容要求
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
2.教学提示
本主题的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法。
在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程：首先，通过实例了解几何图形的背景；进而，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题，例如，两点决定一条直线等，再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。
应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。在教学中，可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。
3.学业要求
能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。
能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。
重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
（二）课程标准要求分析
从课程标准对本单元的要求来看：
1.解析几何的研究对象是几何图形。以平面直角坐标系为研究工具，通过代数运算研究几何问题是解析几何的特征.坐标法的要点是通过代数运算和推理研究几何图形，这里的运算是具有几何特征的运算.
2.解析几何研究的核心问题是利用坐标法研究图形，研究步骤是：在直角坐标系中认识图形的几何特征——建立标准方程——运用代数方法研究曲线的性质——通过代数运算研究曲线的位置关系——应用.一是用代数语言表达几何要素和对象，二是用代数的知识研究几何对象的性质以及几何对象之间的关系。
3.研究直线与圆，要注重完整地探究过程，在用代数语言转化几何问题、用代数运算推导结论之前，要注意用几何的眼光分析面临的问题，在直角坐标系中把握几何问题和图形特点的基础上，再进入到形数转化、代数运算.
4.建立直线的方程、圆的方程，应认识曲线与方程之间的关系，纯粹性（点在曲线上，坐标满足方程）和完备性（坐标满足方程，点在曲线上）。曲线与方程之间的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系。有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的思想
解析几何属于几何学。几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的一门数学学科，而解析几何是用代数方法研究几何图形的数学分支科学，研究方法是通过建立几何图形的代数方程（或不等式），运用代数运算，由代数运算的结果得到几何图形的性质。本单元主要研究直线与圆，建立它们的方程，由方程研究它们的有关性质。“直线和圆”作为解析几何起始阶段的研究对象，一方面容易建立与平面几何的联系；另一方面，有利于学生构建研究的路径，使学生在与“综合法”的比较中体会“坐标法”的特点。
（一）单元结构
本单元包括两部分，第一部分是直线的方程，包括“2.1直线的倾斜角与斜率”“2.2直线的方程”“2.3直线的交点坐标与距离公式”3节；第二部分是圆的方程，包括“2.4圆的方程”“2.5直线与圆、圆与圆的位置关系”2节。
（二）单元内容分析
本单元的主要内容是用代数语言表达几何要素和对象以及用代数的知识研究几何对象的性质、几何对象之间的关系。具体概括一是用两点的坐标刻画斜率和距离，即角度和距离代数化，二是以此建立直线和圆的方程，即直线和圆代数化；三是进而用方程研究它们的性质：形状、大小、位置关系。建立直线与圆的方程是本单元的教学重点，在这之前需要明确直线与圆的几何特征，直线的几何特征是经过其上任意两点，直线的倾斜角不变。直线这种没有定义的几何对象，描述其几何特征需要用比它本身复杂的几何对象，如倾斜角进行描述。圆的几何特征本质上则是两点间的距离。
因此，本单元的内容按照直线与圆方程的建立安排了两条线。对于直线的方程的建立，要先明确确定直线位置的几何要素，方向如何刻画，这样就建立了直线的倾斜角与斜率，进而得到了过两点的直线的斜率公式，在过两点的直线斜率的公式的基础上，推出直线的点斜式方程，又得到直线的两点式方程、一般式方程。确定圆的几何要素是圆心和半径，刻画半径需要用到距离，即是一个线段的长度，于是在两点间的距离公式基础上，得到标准方程，进而在标准方程的基础上得到圆的一般方程。除此之外，在两点间距离公式的基础上结合直线的一般式方程，又可得到点到直线以及两条平行直线间的距离，即是把距离完全量化。得到直线与圆的方程后是研究他们的性质，本单元研究性质主要是研究位置关系，首先是直线与直线的位置关系，然后是直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
本章研究直线、圆及其相关问题用的是坐标法，坐标法是解析几何中最基本的研究方法，它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想。通过本章的学习，学生能从利用代数运算研究几何性质，掌握用坐标法解决问题的步骤，形成对坐标法与综合法的联系与差异的深刻体验，经历从形到数，又从数到形的过程，体会数形结合的思想，在这个过程中重点提升学生的直观想象和数学运算素养。并且也为后续第三章圆锥曲线的学习积累有效的活动经验，建立研究的范式。
1.直线的倾斜角与斜率
本节的主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念以及它们之间的关系，过两点的斜率公式，以及利用斜率判断两条直线平行或者垂直的位置关系。
直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向，相对于x轴的倾斜程度。一点和倾斜角或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置．过两点的直线斜率公式把直线的倾斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.它是解析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础.
教学时要让学生认识到，对确定直线位置的几何要素的刻画，是按照方向--倾斜角---倾斜角的正切值---斜率---直线上任意两点纵横坐标的差商过程展开的，这个过程是对直线这个几何研究对象逐步代数化的过程，把形逐步转化为数，用数表示形，这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化，不断精致的过程。在这个过程中提升学生直观想象、数学抽象等核心素养。
2.直线的方程
本节内容主要是直线的点斜式、两点式以及一般式方程。
直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，这是学生第一次系统地用坐标法刻画一个几何对象. 坐标法是本节教学的核心，本节同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.
3.直线的交点坐标与距离公式
本节主要内容是两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离。
度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本.“两点之间线段最短”是欧氏几何的本质所在，把两点所确定的线段长度定义为这两点间的距离，再以此为基础，利用空间元素的垂直关系，解决各种各样的距离问题，这就是几何中解决距离问题的基本思路.
初中定性地研究了相交线与平行线，建立直线方程后.我们就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量研究.也就是说.利用直线的方程，我们不仅能判断两条直线是否相交.而且在相交时能求出交点的位置.在平行时能求出两条平行线间的距离.同样，在平面直角坐标系中，我们可以得到两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等。通过平面直角坐标系，深化对平面内点、直线之间相互关系的认识。学生能借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，利用直线方程，通过直观想象和代数运算求解相关问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
4.圆的方程
本节内容是圆的两类方程∶标准方程和一般方程.
圆是学生熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”．学生在初中已经学习过圆的一些性质．现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用.圆的方程的两种形式各有特点.圆的标准方程直接体现了确定圆的两个几何要素，即圆心的位置和圆的半径；圆的一般方程的代数特征很明显，是
在
B = 0,A=C≠0时的特例.在直线与直线的方程中，教科书述及了两者之间的一一对应关系．现在通过对圆与圆的方程关系的研究，丰富了学生对曲线与方程之间一一对应关系的认识.这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系．有了这种关系，我们可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”.
通过本节的学习，要让学生掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径.要让学生掌握圆的一般方程的特点，能把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径.能够根据具体条件，选择适当的圆的方程形式，求出圆的标准方程，或圆的一般方程.在这一过程中，渗透转化化归、数形结合的思想，重点发展学生直观想象、数学运算的核心素养。
5.直线与圆、圆与圆的位置关系
在本节，教科书运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题。
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画。定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法,得到图形的性质。
在本节的教学中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验以及本章前面所学内容，类比用直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。在这个过程中感受综合法、坐标法以及向量法的差异。
（四）教学重难点
重点：直线与圆的方程的理解和应用，坐标法解决平面几何问题的思想
难点：直线与圆的方程的推导及应用，曲线与方程的关系
四、单元学情分析
（一）已有的知识经验
1.在平面几何中，通过直观感知、操作确认的方式，学生已经了解了直线与圆。掌握了两点确定一条直线、两点之间线段最短、点到直线的距离的意义及其度量等基本事实。知道了确定圆的几何要素，以及圆的垂径定理、切线长定理等；研究了相交线与平行线，知道了用两条直线交成的角的关系可以刻画相交线的性质，掌握了平行线的判定定理和性质定理以及平行关系的可传递性等.还定性的探究了直线与圆、圆与圆的位置关系。除了这些知识基础之外，学生还具备了一定看图识图的能力，有了一定几何直观的能力。
2.学生知道了平面直角坐标系可以将点和有序实数对建立对应，并且掌握了一次函数，知道一次函数的图象是一条直线。借助平面直角坐标系和单位圆研究三角函数，掌握了正切函数的图像和性质，具备了一定的数形结合的思想，初步具备了直观想象、数学抽象等素养。
3.在平面向量和空间向量的学习中，掌握了沟通几何和代数的工具--向量，获得平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁的经验，掌握了向量的线性运算、投影、数量积、方向向量等知识，会用向量法解决几何问题。有了数形结合的思想，初步具备了数学运算、逻辑推理等素养。
（二）可能存在的障碍点
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虽然在前面不同的学段中，学生已经研究过许多空间和平面几何图形，但是并没有对研究内容和研究方法做系统的梳理，知识整体处于分散的状态，不具有系统性。
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直线与圆是学生初中熟悉的图形，但是从它们的几何特征来看，圆的几何特征学生比较清晰，在初中圆的定义中就已经明确特征，而直线的几何特征学生是不明确的，只知两点定直线、一点一方向定直线。所以在这两部分内容的学习中直线几何特征的确定会对学生产生一些困难。
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尽管学生对直角坐标系已经非常熟悉，但将它作为一个研究几何图形的工具以及如何利用直角坐标系刻画直线的“方向”这个要素，是与平面几何有质的不同的地方，也是学生所不习惯的。
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尽管学生已经学习过直线与圆的相关性质，但更多的是几何直观，是利用综合几何法研究的推理几何，方程的学习也只是单纯地停留在代数角度进行运算等，而将方程与曲线利用坐标法建立联系，是学生的初次体验，也是学生的思维障碍点。
-
尽管在高中阶段已经学习过向量这个工具的使用，但是利用向量的知识去推理、论证、求解相关问题，对学生来说具有挑战性，需要充分调动以往的知识经验等。
在单元起始部分可利用自制微课，让学生感受解析几何产生的背景以及思想；在单元教学过程中，利用geogebra及动图，让学生直观感知几何图形的特征以及它们之间的位置关系；让学生在单元开始前梳理初中对直线与圆的研究内容，为本单元学习内容做铺垫且利于学生感受坐标法和综合法的差异。
六、单元教学目标
1.在平面直角坐标系中，能通过探索直线的几何要素，理解直线倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的公式能利用斜率判定两直线的位置关系，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
2.能根据直线的几何要素，利用代数方法探索并掌握直线的方程，理解直线方程几种形式之间的区别与联系，初步体会曲线与方程的关系，培养数形结合、转化化归，从特殊到一般的数学思想。
3.能运用直线方程求出两直线的交点坐标，推导出点与点，点与线，两平行直线间的距离公式，在这个过程中体会利用代数方法研究几何性质的思想，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
4.通过坐标法对圆的几何特征的表示，能推导和掌握圆的标准方程和一般方程，理解两种方程的特点，能互相转化，掌握坐标法探究曲线方程的一般步骤，加深对曲线与方程之间关系的理解。
5.能借助几何直观，从代数角度利用直线与圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，体会几何性质与代数方法相结合对于运算的简便性，感受综合法、坐标法与向量法的差异，强化数形结合思想，提升直观想象、数学运算的核心素养。
6.通过对直线与圆方程的研究，体会解析几何研究平面几何图形的思想，掌握坐标法研究几何图形的步骤，感受代数运算和几何直观之间的关系。在与初中对直线与圆用综合法的研究方法对比过程中，感受坐标法和综合法的差异。
七、课时教学设计
《直线的倾斜角与斜率》课时设计
安徽省临泉第一中学 夏凯月
1.内容
直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率公式。
2.内容解析
作为解析几何的起始课，章引言部分较好的介绍了解析几何的发展历史和思想，以及本章的研究方法和路径。而直线作为基本几何对象之一，是解析几何的起始研究对象，为了用代数方法研究直线的有关问题，首先要确定直线位置的几何要素，然后用代数表示这些几何要素。对确定直线位置的几何要素的刻画，是按照方向--倾斜角---倾斜角的正切值---斜率---直线上任意两点纵横坐标的差商过程展开的，倾斜角从几何角度刻画了直线的方向，斜率从代数角度刻画了直线的方向。这个过程是对直线这个几何研究对象逐步代数化的过程，把形逐步转化为数，用数表示形，这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化的过程。
本节课承接了初中对直线的认识，用解析几何的思想对直线的几何要素进行探究。在已有的知识经验基础之上，分别从几何角度和代数角度对直线的方向进行刻画，并建立它们之间的联系，在这个过程中让学生初步体会坐标法的内涵和数形结合的思想，提高直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养。通过本节课的学习，一方面为后续直线位置关系的判定和直线方程的建立提供知识基础，另一方面为本章乃至下一章圆锥曲线的学习，提供从曲线的几何特征出发，通过代数运算对其进行研究，再将代数运算得到的结果翻译成几何语言的整体研究思路，加深学生对几何直观和代数运算关系的理解。
3.教学重点
直线的倾斜角与斜率的概念、过两点的斜率公式
二、目标与目标分析
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目标
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了解解析几何的发展史和坐标法的思想，把握整章的研究内容和方法
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理解倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的斜率公式
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掌握直线斜率与方向向量的内在联系
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目标解析
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通过微课展示，学生能了解解析几何的发展史以及坐标法的思想，整体把握单元的研究路径和研究方法，感受数学文化。
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通过在平面直角坐标系中对直线运动的直观感知，能找出刻画直线倾斜程度的几何量---倾斜角，并抽象出倾斜角的概念，感受利用倾斜角刻画直线方向的合理性，提升直观想象、数学抽象的核心素养。
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通过探究二的三个问题，能利用向量以及三角函数的相关知识探索出直线上两点坐标与倾斜角的关系，掌握斜率的定义和过两点的斜率公式，能辨析斜率与倾斜角的对应关系，体会从特殊到一般、数形结合、转化化归的思想方法，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
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能自主推导出斜率与方向向量的关系，在此基础上整体把握直线两点坐标、倾斜角、斜率以及方向向量之间的联系，经历对直线方向代数刻画的完整过程，初步感受坐标法研究几何问题的思想。
三、教学问题诊断
1.问题诊断
学生在初中阶段学习了平面直角坐标系的相关概念，知道了直角坐标系中点与有序实数对之间的一一对应关系，并且掌握了两点确定一条直线等直线有关知识。高中阶段借助平面直角坐标系和单位圆研究了三角函数，掌握了正切函数的图像和性质，具备了一定的的知识基础以及数形结合的思想。在平面向量和空间向量的学习中，学生也掌握了沟通几何和代数的工具--向量，获得平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁的经验，会用向量法解决几何问题。这些都是学生已有的知识经验。
尽管学生对直角坐标系已经非常熟悉，但如何利用直角坐标系刻画直线的方向这个要素，是与平面几何有质的不同的地方，也是学生所不习惯的。因此教学中要建立在学生已有知识经验的基础之上，先通过微课让学生了解解析几何的思想以及本章的研究内容及方法，整体把握。再以课前任务对初中直线与圆内容的梳理为起点，从学生熟悉的几何直观出发，逐步引导学生发现平面直角坐标系中刻画直线方向的几何量，紧接着从知识间的联系出发，设置挑战性的学习活动，最后代数刻画直线的方向。
斜率概念的引入与以往借助生活中坡度概念的引入不同，本书中采取了全新的方法，以一个点和一个方向和两个点都能唯一确定一条直线，那么它们有一定有内在联系为指导思想，在已知两个点的坐标时，探究如何用坐标表示倾斜角，这个过程十分简洁，但对学生的抽象思维要求很高。因此在教学中先在倾斜角概念的基础上归纳确定直线的方式，再由坐标法的思想为引导，启发学生接下来要将倾斜角进一步代数化，最后由同一对象的不同刻画方式之间有某种联系出发，提出一般性问题。然后从特殊到一般，通过层层递进的问题，让学生通过动手操作、推理论证、小组合作推导出过两点的斜率公式，在这个过程中自主完善探究的结论，提升思维的严谨性。
在推导过两点的直线斜率公式时，需要联系向量、三角函数等相关知识还要进行分类讨论，需要充分调动以往的知识经验，对于学生来说难度较大。而且斜率与方向向量的坐标表示具有内在一致性学生也不容易想到。因此在教学中注意适当的引导学生回顾相关知识，比如平面直角坐标系中有关角的定义、向量的特点等等，逐步启发学生采取适当的方法进行探究，并类比两点坐标与倾斜角的关系，让学生自主提出并解决斜率与方向向量的关系。
2.教学难点
直线倾斜角的抽象、斜率公式的推导
四、教学支持条件分析
通过自制微课向学生展示解析几何发展的背景和思想，应用geogebra制作动图演示直线旋转的过程，借助多媒体投影展示学生的探究成果
五、教学策略分析
本节采用探究式的教学方法，先以微视频引入，介绍解析几何的发展历史，激发学生的学习兴趣，感受数学文化；再以课前梳理为载体开启本节课的探究，为学生搭建脚手架。利用信息技术动态演示充分调动学生的直观感知能力，从而抽象出倾斜角的概念；采用从特殊到一般的方式探究斜率，设置有挑战性的层层递进的问题，鼓励学生勇于发言提出质疑，在不断的思维碰撞中总结和完善结论，提高课堂效率。
六、教学过程设计
（一）了解背景 整体把握
引言：上一章我们利用空间向量研究了立体几何图形的一些问题，比如位置关系：平行垂直，度量问题：角度距离等。对于几何图形的研究方法，在小学一般是归纳实验，后来初中阶段通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形，这种方法叫做综合法，再到前面学习的向量法，主要利用向量的运算解决问题。本章我们将以新的视角坐标法去研究几何图形，开启解析几何的学习之旅。
师生活动：展示微课，简单介绍解析几何的发展背景、思想方法，以及本章的研究内容。
【设计意图】通过对几何研究方法的梳理，让学生对研究几何图形的方法有个系统的认知，同时也引出本章的主题；以微课形式将数学史融入课堂，让学生了解解析几何发展的历史背景，感受解析几何解决几何问题的基本内涵和方法；整体把握本章的研究对象，研究内容以及研究方法。
（二）创设情景 引入新知
师生活动：展示课前任务，即对初中直线与圆学习的梳理。从各组整理的两点确定一条直线出发，开启接下来的探究。
【设计意图】立意在大单元的角度，单元目标之一是要让学生在本章中经历坐标法研究问题的完整步骤，体会综合法与坐标法的差异性，因此设置课前任务：整理初中对直线、圆的研究内容。每节课结束后学生自行补充相应坐标法的研究内容，单元结束后，学生不仅可以构建出单元框架，增强知识的整体性，而且通过每部分研究内容的综合法和坐标法的对比，能体会两种方法的区别和联系，加深对解析几何思想的理解。
（三）动手操作 探究新知
探究一：直线的倾斜角
回顾：前面的学习中，还有什么方法可以确定一条直线？
师生活动：学生回顾向量中确定直线的方法，在此基础上抽象出一个点和方向可确定一条直线，教师指出点和方向作为确定直线的几何要素，点已经与有序实数对建立联系，进行了代数化，提出方向如何代数化的问题，引导学生关注坐标系对方向的基准作用，引出接下来的探究。
问题1：在平面直角坐标系中，过定点P任意作出直线，观察对比作出的直线有何不同？
问题2：观察直线绕点P变化的过程，思考可以用哪个量刻画直线的倾斜程度？
师生活动：学生直观感受直线倾斜程度的不同，再通过动图演示直线位置的变化，让学生找出随着直线倾斜程度不同，哪些量随之发生变化，从而观察抽象出角度刻画，教师补充。
【设计意图】问题1让学生直观感受过定点P任意作出直线的不同，引导学生找出倾斜程度的参照物，一方面让学生感受坐标系对方向的刻画作用，另一方面为接下来倾斜角的定义做铺垫。在此基础之上借助信息技术演示直线绕点P变化的过程，学生能更加清晰地感受随着倾斜程度的不同直线向上的方向与x轴正方向的夹角也随之不同，借助问题2，学生自主归纳并补充教师完善，从而抽象出倾斜角的概念。
倾斜角定义：当直线
与
轴相交时，我们以
轴为基准，
轴正向与直线
向上的方向之间所成的角α叫做直线
的倾斜角
思考：倾斜角的定义适用于所有直线吗？
规定：当直线
与
轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
问题3：倾斜角的范围是多少？
师生活动：抽象出倾斜角定义后，教师追问学生定义是否适用所有直线，从而引出特殊直线倾斜角的规定。在此基础上学生自主思考问题3，得出倾斜角的范围，最后师生共同归纳倾斜角从形的角度对直线的方向进行了刻画。
【设计意图】研究数学对象时，往往要通过探索特例或进行推广，从而对问题有更深入的知识。给出倾斜角定义后，通过思考中的问题，一方面给出特殊直线倾斜角的规定，另一方面为问题3中倾斜角的范围研究做铺垫，提升思维的严谨性。
探究二 直线的斜率
根据坐标法的思想，提出接下来的任务，将倾斜角代数化。由两点确定，直线确定，则方向确定即是倾斜角确定，引出两点坐标与倾斜角一定有某种联系。
探究：在平面直角坐标系中，设直线
的倾斜角为
-
已知直线经过
,与
，
的坐标有什么关系？
-
类似地，如果直线经过
，
，与
,
的坐标又有什么关系？
-
一般地，如果经过两点
，
，那么与,的坐标有怎样的关系？
师生活动：问题1由学生自主做答，教师引导学生回顾正切函数的定义，考虑到学情，未对学生刻意引导采用向量法；问题2采用学生展示交流的方式，鼓励用不同方法解决但以向量方法为重点，这个过程中教师可根据学情适当引导，如类比问题1想用正切函数的定义就要让角的顶点在原点，从而启发学生想到平移，再结合向量在平移前后大小和方向保持不变的性质，引导学生借助向量去解决等；在前两个问题的基础上，问题3采用小组合作的方式，得出一般结论，在这个过程中，鼓励学生积极展示和大胆质疑，对不同的情况进行补充完善，最终得到倾斜角正切值与两点坐标的联系。
【设计意图】探究1中的三个问题，从特殊到一般，展示了数学中研究一般问题常用的思想方法，问题1给出的是过原点的特殊直线，对学生难度较小，为后续问题提供了利用正切函数定义探究该类问题的经验。有了问题1的基础，学生便有了将问题2转化为问题1的思想，在这个过程中体会转化化归的数学思想。在前两个问题研究基础上，学生可类比给出一般的推导从而完成问题3，通过问题3，学生合作交流质疑补充，在思维碰撞的过程中逐步完善倾斜角正切值与两点坐标的关系，在这一过程中感受和总结出公式的适应范围以及与两点的顺序无关等结论。从特殊到一般的研究方法符合学生初步体会坐标法的学情，将几何问题代数化，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养。
直线
的倾斜角
与直线上的两点
，
的坐标有如下关系：
(1)，我们把一条直线的倾斜角
的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母
表示，即：
(2)
思考1：倾斜角与斜率是否为一一对应？
思考2：当直线的倾斜角由0°增大到180°时，斜率如何变化？
由（1）（2）可知，若直线经过两点
， ， 则斜率公式为：
【设计意图】通过思考中的问题加深学生对直线斜率的理解，体会倾斜角与斜率的对应关系，理解斜率可以用来刻画倾斜角的合理性，增强思维的严谨性。
问题4 实际生活中有没有像斜率这样刻画倾斜程度的量？
师生活动：师生引出生活中的坡度，坡度等于铅直高度除以水平宽度，并指出当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的。
探究三：方向向量与斜率联系
问题5：已知直线
经过两点
，
且直线斜率为
，试用
表示直线的一个方向向量.
若直线的斜率为
，则直线的一个方向向量为（
若直线的方向向量为
，则斜率
师生活动：教师指出，除了倾斜角与斜率可以刻画直线的方向，方向向量也刻画了直线的方向，引出斜率与方向向量之间也具有一定的关系，从而引出问题5，由学生自主探究。
【设计意图】问题5的设计是为了探究斜率与方向向量的关系，是直线方向的表示要素间关系的进一步总结，体现数学内部的知识联系，使得知识的呈现更具有逻辑性和整体性。考虑到本节的重点是倾斜角与斜率的探究，因此这里的探究以具体问题的形式呈现，一方面是为了给学生的探究提供方向性，另一方面是作为斜率的简单应用。
（四）初步应用 巩固新知
例1 如图，已知
，
，
，求直线
,
,
的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
【设计意图】本题一方面考察了斜率公式的掌握，另一方面考察了斜率与倾斜角的联系，也是一个从形到数再到形的过程，让学生知道不仅要会用代数语言表示几何特征，还要会把代数运算得出的结果翻译成几何结论，体现了坐标法中把几何问题代数化，再通过代数运算研究几何性质的思想。
例2 如图是部分斜拉索抽象出的直线，比较它们倾斜角以及斜率的大小
【设计意图】通过对斜拉索所在直线倾斜角和斜率的大小比较，一方面加深倾斜角概念的理解，另一方面考察随着倾斜角的变化斜率变化的趋势。
（五）课堂小结 形成结构
回顾本节课的学习，回答以下问题：
（1）本节课我们是按照什么路径对直线的方向进行刻画的？
（2）刻画直线的方向有几种方式？它们有什么区别和联系？
师生活动：学生自主发言，教师适时引导，启发学生在内容梳理的过程中思考涉及到的数学思想方法等。
【设计意图】问题1是对本节课的研究框架进行的梳理，在这个梳理的过程中，一方面让学生重现研究过程，初步体会坐标法的研究思路，另一方面结合具体研究内容渗透相关的数学思想方法，如数形结合、从特殊到一般、转化化归等等。问题2则是对本节重难点内容进行再加深。
（六）作业布置 巩固提高
巩固作业：
必做题：（1）课后练习1,2,3,4,5
（2）完善课前梳理的表格，总结本节课利用坐标法对直线几何要素的探究
选做题：课本58页习题2.1第8题
探究作业：小组合作探究如何利用斜率判断两直线位置关系，完成探究活动报告（附后）
师生活动：教师指出，本节课用代数语言斜率表达了直线的几何要素，根据解析几何研究的思想，接下来要会用代数的知识研究几何对象的性质，比如直线中特殊的位置关系：平行与垂直，请大家尝试利用斜率的角度思考探究：两直线平行或垂直与斜率之间的关系，下节课展示交流。
【设计意图】巩固作业的第一部分，是对本节所学内容的进一步应用，第二部分对课前梳理表格的完善是整个单元过程都渗透的持续性作业，通过本节坐标法对确定直线的方法探究，学生通过表格的对比，可以初步体会坐标法的思想以及与综合法的不同。课后探究一方面是斜率的进一步应用，让学生体会利用代数运算研究几何对象性质的思想；另一方面也为下节课的内容研究做铺垫。
七、板书设计
直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角
2.斜率
 
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3.方向向量与斜率
（
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探究活动报告
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探究课题 |
两直线平行和垂直与斜率之间的关系 |
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小组成员 |
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小组分工 |
组长： |
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其他组员分工: |
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探究目标 |
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探究过程 |
探究结论 |
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探究过程中遇到的问题和解决方式：
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检测习题：
1.已知 ,试判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由。
2.已知 ,试判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由。
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