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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示3.2.1单调性与最大（小）值教学-福建
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人教A版（2019年）必修第一册第三章第二节函数的基本性质的第一课时
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计
一、教学内容解析
1.内容
本节课是人教A版（2019年）必修第一册第三章第二节函数的基本性质的第一课时。
2.内容解析
本节课是在学生学习了函数的概念以及表示方法后进行的。在学完本小节后，学生将掌握研究函数性质的一般方法，对接下来基本函数模型的学习具有指导作用。而对于函数的基本性质这节课来说，单调性是所有函数都具备的性质之一，是研究函数性质必不可少的一部分，因此作为为第一课时的内容进行学习。
函数单调性是函数的一种定性性质。在必修课程的函数主题中，我们利用代数运算和图象直观结合的方式研究函数的单调性，并用更加精确的符号语言描述。而在选择性必修课程中，将进一步利用导数语言来精确刻画函数在局部上的单调性，因此本单元是后续学习的基础，特别是学习数学语言刻画尤为重要。
在本节课中，学生研究函数需要研究函数的变化规律，而不变的规律就是所谓的性质，因此在研究函数性质时要抓住变化中的不变性。而在单调性研究的过程中，教师要引导分析函数值随自变量的值的变化而变化中具有的不变关系。同时通过图象的几何直观进而数学抽象出符号语言，用更加简洁的符号语言进行描述，不断提升学生的数学抽象素养。在学习完单调性概念后，学生在教师的引导下学习了如何证明函数的单调性，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养。
3.教学重点
用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性
二、教学目标设置
1.课程目标
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
2.课时教学目标
（1）通过图象变化，经历函数单调性概念的抽象过程，能用二次函数例子说出函数单调递增、单调递减的定义及其图象特征，同时能够说出增函数、减函数的定义及其图象特征；同时通过全称量词和存在量词等数学符号语言表达单调性定义，经历数学抽象的过程。
（2）能够通过例子明确用函数单调性定义证明函数的单调性的步骤，能用函数单调性的定义解决函数单调性问题，发展逻辑推理、数学运算素养。
三、学生学情分析
1.问题诊断
学生已经在前面的学习中掌握了函数的概念及其表示方法，在初中已经熟练掌握了利用函数的图象来说明函数值随自变量的值的变化而变化的性质。同时学生已经在前面学习了如何用数学符号语言来说明“任意”，“都有”这样的数学语言，已经具备利用数学语言来刻画函数性质的能力。
但是学生还欠缺的是将这些语言组织起来进而表达函数的单调性，因此本节课采用的是“规-例”法教学，即先由教师在具体情境中示范如何使用符号语言表达函数的单调性，然后再让学生进行模仿，在熟悉相应的符号语言表达后，再给出严格的定义，并在应用定义证明具体函数单调性的过程中，更深入理解符号语言。教师在这个过程中采用几何画板动态展示函数值随自变量变化而变化的情况，设置一个从定性到定量的归纳过程，引导学生逐步给出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义。
本节课的第二个难点就是函数单调性的证明，这是学生代数推理证明的薄弱，需要学生通过应用代数变形以及不等式的相关性质进行证明。教学中教师从简到难，在不断熟练的过程中逐步掌握证明函数单调性的方法和步骤，积累相应的活动经验。
2.教学难点
用符号语言表达函数的单调性；利用定义证明函数的单调性。
四、教学策略分析
1、本节课从图象入手，让学生从更直观的角度分析函数的图象，进而分析函数的基本性质，同时能够利用学生初中所学的知识更快地进入课堂内容。同时在导入本节课单调性的定义时，也采用的是初中所学过的二次函数进行分析。
2、为了能够吸引学生的兴趣，更加直观感受函数值随自变量值的变化而变化，利用几何画板进行动态演示，通过坐标的变化让学生对于这个变化的感觉更加有冲击力，也能有利于学生通过符号表达其中的变化规律。
3、为了让学生对于函数单调性的定义应用能够循序渐进，教师在安排例题时也是由浅入深进行设计。从学生最为熟知的一次函数、反比例函数入手，在图象熟悉的前提下，如何采用符号将熟悉的文字语言进行表达。最后将一次函数与反比例函数相结合进行一次强化，让学生能够加强代数变形能力，提升数学运算核心素养。这样的设计也能够让各种层次的学生得到相对应的训练，达到一定的效果。
五、教学过程
环节一 章节引入，引出话题
引导语 前面我们学习了函数的定义和表示法，明确知道函数是描述客观世界变量之间的一种对应关系。我们研究了函数的变化规律就可以用来把握客观世界中事物的变化规律。
因此如何更好、更准确地研究函数的性质对于我们研究客观世界中的事物变化规律尤为重要。而我们知道函数的表示方法中有解析法、列表法、图象法，图象法能够更加直观地发现函数的性质。
问题 观察、分析和比较图3.2-1中的函数图象，你能从变化规律以及图象的特征等角度说说它们有什么特点吗？
师生活动 学生观察图象，说出函数的性质，教师应该多引导学生观察图象，尽可能多地说出函数的性质。教师在这个过程要多引导学生，都要给予正面肯定的评价。同时教师也要在这个过程中引导学生如何观察。教师在学生说的过程中在黑板上适当板书。
【设计意图】整体感知函数的性质，规划单元整体研究方案，明确本节课的学习任务，了解本节课的地位作用。
环节二 抽象概括，形成概念
问题 在初中我们已经利用了函数的图象研究过了函数值随自变量的变化而变化的性质，我们把它叫做函数的单调性。因为初中只是用图象来研究，这样还是不够细致，因此我们需要进一步用符号语言表达函数的单调性。观察函数
，回答下列问题：
（1）你能否用初中的数学语言来说一下这个函数的函数值是随自变量的值如何变化的？
（2）我们来看看左侧的图象，大家观察点在动态移动的过程中。它的横纵坐标的变化规律是什么？
（3）我们如何用符号语言来描述“当
时，
随着
的增大而减小”这句话？
师生活动 学生根据初中所学的学习经验和对图象的观察分析，同时老师在此过程中要多加启发引导。利用几何画板进行演示，让学生对于“随着的增大而减小”有更深刻的认识。学生在教师的引导下能够把相关的符号语言写出来。
学生在教师的引导下进行说明，在教师黑板上书写出
在时随着的增大而减小的符号语言：
当
时，都有
，
追问1 那对于上面的符号语言，你能否说明为什么？
师生活动 学生在教师的引导下进行证明，通过代数变形以及不等式的性质来证明相关结论。
追问2 那对于
呢？该如何用符号语言来表示？
师生活动 学生已经有了相对应的经验，在书写相关符号语言时就比较自然，教师可以提问一些学生进行回答。
问题 刚才我们研究的是一个具体函数，其实每个函数都具有相对应的性质，如果我们把这个概念延伸到任意函数，就得到了我们今天要学习的概念——函数的单调性，你能给出函数在区间
上单调递增或单调递减的符号语言吗？
师生活动 先由学生独立思考、作答，教师进行引导，然后教师板书出完整的单调性定义：
①单调递增和增函数：
一般地，设函数的定义域为
，区间
，如果∀
，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
②单调递减和减函数：
一般地，设函数的定义域为，区间，如果∀，当时，都有
，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
③单调性和单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格）的单调性，区间叫做的单调区间.
【设计意图】在经历了特殊函数单调性的符号语言表示之后，学生从中归纳总结出共性，抽象出一般函数单调性符号语言表达。这里要先安排学生从简单的二次函数入手，在学生表达的过程中，教师就可以发现其中的表达问题，然后再让学生进行完善，这就是一个“示范-模仿-改进-完善”的过程，这样学生能够参与到课堂之中，质量和效率都有保证。
环节三 辨析概念，加深理解
问题 (1)设
是区间上的自变量的某些值组成的集合，而且∀
，当，都有，你能说函数f(x)在区间上单调递增吗？试举例说明.
(2)函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增而在另一些区间上单调递减的函数吗？
师生活动 学生先独立思考、举例，再进行小组交流，班级展示交流，教师可以通过多种方式表示函数。
【设计意图】问题（1）的目的是让学生辨析定义中的“任意”二字，问题（2）是为了区分“单调递增”与“增函数”，“单调递减”与“减函数”的概念，同时也为了引导学生认识到函数在不同区间上单调递增时，在它们的并集上不一定保持单调递增的性质。
环节四 初步应用，培养技能
例1 根据定义，研究函数
的单调性。
师生活动 先让学生独立思考研究思路，再进行全班讨论，然后学生给出严格的表述，教师点评完善解答过程。
教师应强调：虽然我们可以通过图象比较快速地知道函数的单调性，但是图象并不严谨，如果遇到更加复杂的函数，通过代数运算得出函数的单调性就比较有优势。
【设计意图】一次函数是比较简单的函数模型，学生可以很容易从观察图象得到函数的单调性，但是学生现在要提升逻辑推理证明的能力，通过简单的推理来研究函数的单调性。同时让学生熟悉利用单调性定义来研究函数单调性的基本步骤。
例2 物理学中的玻意耳定律(
为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积
减小时，压强
将增大。试对此用函数的单调性证明。
师生活动 先让学生独立思考“体积减小时，压强增大”的代数含义。建立物理意义与函数单调性的联系，再让学生独立给出证明，可以让学生进行板书，完成后再进行点评完善。
【设计意图】例2是一个物理学的公式，同时也是学生初中所学的简单函数模型——反比例函数。学生在研究的过程中明确函数模型可以用来刻画现实世界中的现象。而且数学研究的不是一个现象，而是从中抽象概括出来的一般问题，从中不断归纳出一般规律以及研究的一般方法。
例3 请根据定义说明在区间上的单调性。
师生活动 先由学生独立思考并写出证明过程，可挑选一两个同学的进行演示，然后再进行全班交流。要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向。
【设计意图】利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在
的单调性，同时也让学生掌握对于一个陌生函数的研究步骤，进一步体会本节课函数单调性的定义的作用，同时在此启发学生思考函数在其他区间的单调性。这个函数的图象该怎么画呢？又有什么特点呢？为后续课程奇偶性做好铺垫。
环节五 课堂小结，总结提升
问题 回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？
（2）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？
师生活动 在学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳。
【设计意图】学生再对本节课中的重点知识做一个回顾，特别是在理解单调性时要抓住任意。同时还要注意单调性证明时研究的区间，明确研究区间才能对单调性进行研究。同时了解研究函数的一般方法，对于研究函数性质有一个更加深刻的认识。
环节六 作业布置
课后作业 校本作业。
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