视频简介：
视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《立体几何与空间向量温习课》北京
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《立体几何与空间向量温习课》北京
立体几何与空间向量温习课
1.理论依据与指导思想
(1)课程标准要求
新课程标准中提到，教师在教学活动中既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习。教师要加强学习方法指导，帮助学生建立知识之间的联系。教师要在教学活动中勇于创新，包括指导学生学习方式的创新，也包括对数学结构的梳理。
(2)信息加工理论
知识可以看作信息，信息可以以多种形式输入，但只有经过编码后才能存储。存储失败或缺失，对信息的提取以及再次加工，就会形成阻碍。这个信息加工模式说明，仅仅靠做题，而不注意数学知识体系结构，是无法学好数学的。
2.教材内容
本节课是高三立体几何与空间向量的章节温习课,即本章复习的起始课。关注的学习内容是本章节所有知识内容之间的关系，特别是知识之间的结构。在新授课教学阶段立体几何初步属于必修内容，空间向量与立体几何属于选择性必修内容。它们同属于几何与代数主题，在高三复习中有必要对两部分知识内容重新建立关系，如综合几何方法和向量方法解决一些立体几何中的推理论证，度量计算问题的知识结构整合。学生通过本节课的学习，对本章知识建立结构性认识，为后续复习打下基础。
表1 立体几何与空间向量知识要素
|
1 |
柱、锥、台、球概念 |
D立体几何初步 |
|
2 |
平行六面体、直四棱柱、长方体的关系 |
D立体几何初步 |
|
3 |
球、柱、锥的表面积计算公式 |
D立体几何初步 |
|
4 |
球、柱、锥的体积的计算公式 |
D立体几何初步 |
|
5 |
斜二测画法 |
D立体几何初步 |
|
6 |
三视图与直观图的概念 |
D立体几何初步 |
|
7 |
利用三视图还原直观图的基本方法 |
D立体几何初步 |
|
8 |
空间点、直线、平面的概念 |
D立体几何初步 |
|
9 |
空间中点、线、面的位置关系 |
D立体几何初步 |
|
10 |
确定一个平面的条件 |
D立体几何初步 |
|
11 |
线在面内的判断条件 |
D立体几何初步 |
|
12 |
两平面有一个公共点，则有公共直线 |
D立体几何初步 |
|
13 |
平行于同一直线的两条直线平行 |
D立体几何初步 |
|
14 |
线面平行推直线与交线平行 |
D立体几何初步 |
|
15 |
面面平行推第三面的两交线平行 |
D立体几何初步 |
|
16 |
一个平面的两条垂线平行 |
D立体几何初步 |
|
17 |
垂直于同一平面的两条直线平行 |
D立体几何初步 |
|
18 |
直线垂直平面内两条相交直线推线面垂直 |
D立体几何初步 |
|
19 |
面面垂直及面内直线垂直交线推线面垂直 |
D立体几何初步 |
|
20 |
面外线与面内线平行推线面平行 |
D立体几何初步 |
|
21 |
面内交线与面平行推面面平行 |
D立体几何初步 |
|
22 |
面经过面的垂线推两个平面垂直 |
D立体几何初步 |
|
23 |
异面直线的夹角及范围 |
D立体几何初步 |
|
24 |
异面直线的垂直 |
D立体几何初步 |
|
25 |
直线与平面垂直 |
D立体几何初步 |
|
26 |
直线在平面上的射影 |
D立体几何初步 |
|
27 |
直线与平面所成角及范围 |
D立体几何初步 |
|
28 |
二面角 |
D立体几何初步 |
|
29 |
二面角的平面角及范围 |
D立体几何初步 |
|
30 |
两个平面互相垂直 |
D立体几何初步 |
|
31 |
空间直角坐标系（右手系） |
F 空间向量及应用 |
|
32 |
空间两点间的距离公式 |
F 空间向量及应用 |
|
33 |
空间中中点坐标公式 |
F 空间向量及应用 |
|
34 |
空间向量的概念 |
F 空间向量及应用 |
|
35 |
空间向量的模 |
F 空间向量及应用 |
|
36 |
空间两向量的夹角 |
F 空间向量及应用 |
|
37 |
空间向量的线性运算法则 |
F 空间向量及应用 |
|
38 |
空间向量的线性运算的坐标表示 |
F 空间向量及应用 |
|
39 |
空间向量的数量积法则 |
F 空间向量及应用 |
|
40 |
空间向量的数量积的坐标表示 |
F 空间向量及应用 |
|
41 |
利用向量求n等分点坐标的方法 |
F 空间向量及应用 |
|
42 |
直线的方向向量 |
F 空间向量及应用 |
|
43 |
平面的法向量 |
F 空间向量及应用 |
|
44 |
求平面法向量的基本步骤 |
F 空间向量及应用 |
|
45 |
用向量方法证明空间中的平行垂直关系 |
F 空间向量及应用 |
|
46 |
求空间中的角的向量方法 |
F 空间向量及应用 |
|
47 |
异面直线成角与其向量成角的关系式 |
F 空间向量及应用 |
|
48 |
线面角与其向量成角的关系式 |
F 空间向量及应用 |
|
49 |
二面角与其向量成角的关系式 |
F 空间向量及应用 |
|
50 |
判断二面角余弦值的正负 |
F 空间向量及应用 |
|
51 |
向量方法解决立体几何问题的程序 |
F 空间向量及应用 |
知识结构图：
图1 立体几何与空间向量知识结构图
3.教学内容分析
由教育目标分类学，知识类型可以分为四类，事实类、概念类、程序类、元认知类。
而概念类中包含一类结构性知识，这类知识最为抽象。因此，要获得此类知识，需要更为高级的认知加工方式。从认知过程分类的角度来说，想要获得结构性知识，学生需要具有一定 的分析能力、评价能力、创造能力。
图2 知识分类结构图
图3 认知过程分类结构图
因此本节课的教学重点是建立优化知识结构图的评价标准。教学难点在于如何使通过教学活动发展学生的分析、评价、创造能力。让学生真正获得结构性认识。
根据教学内容，我设置本节课的教学目标如下：
在《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》的指导下，基于教育目标分类学理论，本节课作为本章节复习起始课，教学目标设置为：
1.以立体几何与空间向量为问题情境，通过创造、评价、分析、优化等认知活动，温习本章基本知识和知识之间的关系；
2.在不断思考、交流、展示的过程中，获得优化知识结构图方法的共识。初步获得自主建立知识结构体系的能力；
3. 通过探索式、合作式的课堂活动，获得积极的情感体验，在小组讨论和交流的过程中更好地了解他人，认识自己。
以上目标达成的标准：
1. 能够简要说明本章节的知识的关系，可以绘制知识结构图；
2. 能够说出评价结构图的若干要素和优化结构图的标准；
3. 能通过小组合作，发展合作交流意识。
图4 学生前测试题得分率统计图
授课班级为清华附中将台路校区高三4班，在本章复习前，通过前测题目答题情况发现大部分同学对本章知识有所遗忘，缺乏对立体几何与空间向量章节知识内容和结构的完整理解。如前测题2题中，大部分同学在求异面直线成角时不能想到更方便的综合几何方法；又如前测题3题中，对于相对冷门的知识点斜二测画法，大部分同学不能得分。因此在复习的起始课，有必要帮助学生建立对本章节知识的结构性认识。
关于绘制知识结构图的教学活动，通过课前的问卷调查和与学生谈话交流我得出这样两个结论：
1.学生不缺乏绘制知识结构图的活动经验；
2.学生绘制知识结构图的水平有待提高，对绘制知识结构图意义认识不够明确。
这说明，绘制知识结构图和能够获得结构性认知是两件不同的事，教师有必要通过设计教学活动，促进学生获得结构性认知。
高级认知加工能力的培养需要足够的时间和活动，因此，本节课采取小组合作学习方式，学生为主体，教师为主导，积极组织认知活动，以达到发展能力的目标。
学生的主体地位，体现课程资源，主要来自于学生的表现和创造。活动形式主要以学生的独立思考，相互交流，汇报展示为主。课堂生成资源如基本要素、评价标准不由教师给出，而由学生活动生成。
教师的主导作用体现在教师提前布置任务，设计学生活动。课堂上教师负责说明任务，组织学生有序开展活动。对学生的课堂生成资源进行点评、鼓励。引导学生在制定标准的过程中关注知识点本身和知识间的关系。
图5 教学策略示意图
【
引入活动】展示两位同学的知识结构图和学生成绩，让学生猜想成绩和知识结构图的对应。
图6 学生知识结构图对比图
【
设计意图】说明结构性知识在学习中的重要性；同时明确本节课的学习目标；激发学生的学习兴趣．
图7 学生知识结构图1号
1号图的优点是逻辑较为清晰。问题是缺少对空间向量及运算的整理，同时线面成角向量法的计算公式有误。教师可以引导学生关注知识的准确性，强调知识结构图的内容完整。
图8 学生知识结构图2号
2号图的优点是对平行垂直之间的相互转化整理的比较清楚，知识点的准确性较高。问题是缺少空间几何体部分的知识整理，内容不完整。分类不够合理。结构关系需要调整，如平行、垂直可以调到位置关系的下一层级。
图9 学生知识结构图3号
3号图的特点是按照大题和小题分别整理，这样整理有优点，也有缺点。大题部分的平行垂直证明和小题部分的平行垂直判定内容重复，但又没有说清证明的方法。
【
师生活动一】从三位同学创作的知识结构图中，评选最喜欢的知识结构图，并给出三个理由。
（1）学生独立思考；
（2）学生然后带着自己的想法进行小组讨论，达成共识，
教师在巡视和倾听的过程中指导、帮助和启发学生；
（3）选一名代表上台分享本组的选择和评选理由。
【
预设答案】
教师结合张知识结构图的特点，对学生的分享进行点评，引导学生关注知识导图的知识点完整性、准确性、知识结构是否合理，重点关注知识点和知识点之间的关系。
【
设计意图】引导学生关注其他同学的知识结构图的优点，发现优秀的知识结构图应该具备哪些要素，可以从那些维度来评价，学生在这个过程中通过分析具体的知识结构图，获得直观的经验。
【
师生活动二】探讨并制定知识结构图的评价标准。
（1）学生通过独立思考，讨论，展示，确定关键词，派代表将关键词展示在黑板上；
（2）一名同学将关键词分类，并确定优秀知识结构图的评价维度；
（3）请每个小组将其中一个维度，总结为一句话，作为评价标准。
【
预设答案】
关键词：知识点、完整、准确、精炼、分类明确、层级清晰、结构合理、关联准确
评价标准：
1.知识结构图的内容应该完整、准确、精炼；
2.知识结构方面应该分类明确、层级清晰、结构合理、关联准确。
教师提示学生写关键词时注意参考上一个任务的活动经验。引导学生对关键词的分类，合并等。引导学生关注知识内容、与结构关系，帮助学生概括出评价标准。
【
设计意图】引导学生结合实例，探索优秀知识结构图的要素，构建优秀知识结构图的评价标准，作为优化结构图的依据。在这个任务中培养学生总结概括的能力。
【
师生活动三】利用初步制定的评价标准对知识结构图提出改进意见。
（1）独立思考，用评价标准评价同学的知识结构图，提出调整、改进、优化的建议；
（2）小组讨论，交流想法，并最终达成共识；
（3）选一名学生到讲台前，分享本组的优化建议。
【
预设答案】
教师引导学生在修改知识结构图时要应用评价标准，先补充知识内容，修改错误的知识内容，确保知识内容完整、准确。然后再根据知识关系进行结构调整，重新分类，确定层级。
【
设计意图】通过应用评价标准，提升学生构建章节知识结构图的能力；强化学生对立体几何与空间向量的知识结构的理解。
【
课堂小结】学生总结自己这节课的收获，知识层面，能力层面。
【
预设答案】
1.知识层面
知识内容，对某个知识点错误认知的纠正。知识间的关系，如分别可以利用综合几何法和向量法证明平行垂直的问题。因此，这两部分可以建立关系。
2.如何绘制知识结构图
确定知识点 发现知识点的关系 设计结构 调整布局
【
课后作业】
1.总结优秀知识结构图的评价标准，根据评价标准进一步优化自己的知识结构图。
2.应用知识结构图，分析自己测试情况，找到自己的知识漏洞或理解误区。
3.用两种方法解决下面的问题，并在自己的知识结构图上指出用到的知识点：
1）已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2）如图，在三棱锥 中， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
附录1前测试题
立体几何与空间向量小测试
时间：30分钟 姓名： 班级： 成绩：
1．在 中， ，若将 绕直线 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个水平放置的正方形的面积是 ，按斜二测画法所得的直观图是一个四边形，这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．把边长为 的正方形 沿对角线 翻折，则过 四点的球的体积为 ．
5．关于直线与平面，有下列四个命题：
（1）若 ∥ ， ∥ ，且 ∥ ，则 ∥ ；
（2）若 ⊥ ， ⊥ 且 ⊥ ，则 ⊥ ；
（3）若 ⊥ ， ∥ 且 ∥ ，则 ⊥ ；
（4）若 ∥ ， ⊥ 且 ⊥ ，则 ∥ ；
其中不正确的命题为 ．
三、解答题
6．如图，在三棱锥 中， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
附录2 访谈问题
1.谈谈你高三复习的经验？
2.你希望高三复习章节的起始课是怎样的？
3.说说立体几何与空间向量这一章有哪些知识？
4.你认为要获得数学知识有哪些方法？
5.你在以往的学习过程中会主动绘制知识结构图吗？为什么？
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
| -----更多视频请在本页面顶部搜索栏输入“第十一届全国高中”其中的单个词或词组，搜索以字数为3-6之间的关键词为宜，切记！注意不要输入“科目或年级等文字”。本视频标题为“第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《立体几何与空间向量温习课》北京”，所属分类为“高中数学优质课视频”，如果喜欢或者认为本视频“第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示《立体几何与空间向量温习课》北京”很给力，您可以一键点击视频下方的百度分享按钮，以分享给更多的人观看。优质课网 的成长和发展，离不开您的支持，感谢您的关注和支持！有问题请【点此联系客服QQ：9899267】 ----- |
