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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《数系的扩充和复数的概念》四川—刘
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四川—刘臆—设计—数系的扩充和复数的概念
课题：《数系的扩充和复数的概念》（第1课时）
(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修第二册第七章第1节)
复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用．在数学的历史长河中，复数的发展不是一帆风顺的.复数的引入是数系在中学数学中的最后一次扩充，抓住此次复数的学习机会，可使学生对数的概念有一个更加完整的认识.复数与平面向量、三角函数、平面解析几何等都有紧密的联系，也是学生进一步学习高等数学、力学、电学等学科知识的基础.本单元在学生已掌握实数、平面向量等相关知识的基础上，对复数这个数学研究对象的概念展开研究.
在数学内部，数系的扩充不是盲目的，必须依据数系扩充的基本思想进行．本章充分考虑学生已有的数系扩充经验，类比从有理数系扩充到实数系的过程，强调扩充后的数系与实数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，即在扩充前后要遵循同样的加法和乘法“规则”、满足同样的交换律和结合律以及乘法对加法的分配律.
复数的引入，源于历史上数学家对卡尔达诺公式“不可能”情形以及三次方程实根之间的矛盾所产生的困惑，其本质是负数能否开平方根的问题.鉴于此，可从一元二次方程的判别式
的问题情境入手，类比自然数系逐步扩充到实数系的过程及方法，考虑方程
在何种情形下有解，从而引出新数“
”，实现从实数系到复数系的扩充.这一过程，通过数系扩充基本思想的归纳，发展学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，使学生体会类比的数学思想，培育学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.
本节内容基于学生已有研究实数、平面向量等运算对象的经验，结合数学史料，使学生经历复数的研究历程，体会数学问题解决过程中展现出来的思想、精神和智慧．具体而言，通过解方程使学生理解引入复数的必要性，运用从自然数系向实数系扩充过程中积累的数学基本活动经验，以复数为载体重温研究运算对象的基本路径：背景—概念—基本性质—运算及几何意义、运算律—联系与运用.
本节以数系为什么要扩充、怎样扩充为主线，围绕复数的引入（虚数单位i的产生）展开，是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用.复数的相关概念均是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，复数的分类，复数本质的理解，以及后续复数几何意义的揭示，都能为后续研究复数的四则运算及复数的三角表示的学习作铺垫.
根据上述教学内容的分析，按照课程标准要求，确定本课时的教学重点为：
●
教学重点 ：从实数系扩充到复数系的过程与方法、引进虚数单位i的必要性、复数的有关概念 .
二、学情分析
● 学生已有知识和经验
知识储备：通过初中阶段对“数与式”的学习，学生对从有理数系到实数系的扩充过程和方法、实数的相关知识等已经有了基本的认识；具备了解一元二次方程、合并同类项、用数轴上的点表示数的经验；初步掌握了实数的运算体系及借助该体系解决问题的一般策略.此外，在上一章中，已学习了另一运算对象——平面向量，有了用数对表示运算对象的基础.
能力基础：基本养成了观察问题、分析问题的学习习惯，初步形成了从简单的现实情境和数学背景中抽象数学概念的能力，有一定的分析归纳能力.但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.
● 问题诊断及应对策略
1.囿于初中的知识储备以及认知困难，学生对数系扩充的“基本思想”尚不熟悉，对虚数单位的引入或许存在困惑，对基本思想归纳概括的理性经验也存在不足.在教学中可通过回顾由自然数系扩充到实数系的过程、积累的方法和已获取的经验，归纳数系扩充的“基本思想”，在“基本思想”的引导下，实现从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.
2.现实生活中难以找到具体的问题来支撑“虚无缥缈”的复数，复数的学习对学生而言抽象程度相对较高，学生不容易理解.教学中可通过适当介绍复数的发展简史，激发学生学习的兴趣.
3.学生在初中学习的是一元的数，其经验不足以支撑直接过渡到高中所学习的“二元”数，对从复数的几何条件切入去思考其几何意义也颇感困难.教学中可结合具体的实例，归纳出复数的一般表示方法及其几何意义，经历复数形式化的过程，运用类比、特殊到一般的数学思想方法，帮助学生深化理解.
根据学生的学习实际，基于上述分析，确定本课时的教学难点为：
● 教学难点
从实数系扩充到复数系的过程中所蕴含的“基本思想”，复数的代数表示及其几何意义.
三、目标和目标解析
本节作为复数的起始课，主要任务是使学生体会数系扩充的过程及其蕴含的“基本思想”， “基本思想”的形成需要借助数学抽象的过程，从生活实例中剥离非数学因素，让数学因素凸显出来，借此可培养学生的创新意识.通过实数系向复数系的扩充，使学生体会类比的数学思想，培育学生的逻辑推理素养，其分类、几何意义的建立依靠的就是数形结合，能够促进学生直观想象素养的发展.
基于以上分析，确定本课时的教学目标为：
●
教学目标
1.类比从自然数系逐步扩充到实数系的过程与方法，归纳出数系扩充的一般“规则”，能说明虚数i的由来，在保持加法、乘法运算律不变的前提下引入复数．
2.通过数学史中的方程名题，使学生感受引入复数的必要性，体会实际需求与内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用．
3.通过具体实例归纳出复数的代数表示，能够明晰其基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示所学数集之间的关系；在确保复数集中元素互异性的条件下给出复数相等的定义，并能运用复数相等的定义解决简单的数学问题．
4.在从实数系扩充到复数系的过程中，再次体会数系扩充的“基本思想”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用，提升数学抽象素养、逻辑推理素养．
四、教学支持条件分析
●
教学策略与教法、学法
根据学生的学习特点，采取“
探究—启发”教学模式实施课堂教学.
教师的教法：精选素材，呈现数的进化史；引导归纳数系扩充的特点，完成数系扩充，引导学生认识复数的相关概念.
学生的学法：自主学习与合作学习结合，引导学生充分交流展示，养成良好的课前预习、独立思考习惯，促进“四能”的提高.
教具：多媒体（投影仪）、PPT课件，电子白板，彩色粉笔.
学具：教材、笔记本、导学案及草稿本 .
复习回顾、再现“思想” 创设情境、引出“新数” 构建新知、感知复数
作业布置、迁移应用 小结提升、形成结构 例题练习、巩固所学
课前翻转：小组合作，指导学生围绕以下五个问题，查阅资料，以思维导图的形式呈现从自然数系到实数系的扩充过程.
-
从自然数系到实数系经历了哪几次扩充？
-
每一次扩充前与扩充后有哪些变与不变？
-
能否用一组解方程来形象说明数系的扩充过程？
-
你认为引起数系扩充的动力是什么？
-
数系的一次次扩充都遵循了哪些共同的规律呢？
设计意图：养成良好课前预习习惯，促进团队协作.
课堂呈现：
环节一：复习回顾，再现“思想”
教师引导： 数，早已融入我们的日常生活，在数学内部也起着举足轻重的作用．数的发展本身也是一部辉煌而厚重的历史，今天短短一节课，我们要跨越千年、追溯历史、去探寻数系一次次扩充的秘密.
学生活动：小组展示思维导图.
设计意图：实数集，自然是本课时学生学习的“最近发展区”，也是本课时知识的生长点；数学史的展示可激发学生的兴趣，使学生了解数学的发展并非一帆风顺．通过交流展示，一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数系扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打下基础，使学生感受到数系扩充的必要性和合理性，并提炼出数系扩充的基本思想，为后续从实数系扩充到复数系提供方法指引，在追问中突破本课时的难点之一．
课堂预设：（结合思维导图，采用问答式，生生互动、师生互动）
（小组1学生代表）
学生：既然是数系的扩充，那么我先问大家，何谓“扩充”？
学生齐答：保留原来的数，引入新的数.
学生：那我们再来看看，从我们已知的自然数系到实数系是如何扩充的呢？从结绳记事“数出来的自然数”扩充到整数集，增加了什么数？
学生齐答：增加了负整数.
学生：很好，增加了负整数可以解决哪些原来不能解决的矛盾？
学生齐答：数学外部的一些实际问题比如：欠钱的问题、海平面以下或温度零度以下，还可以解决数学内部的一些矛盾，比如小数减大数和形如方程
解的问题.
学生：那么从整数集增加了分数扩充到有理数集，主要解决了分不清的实际问题及形如方程
的解的问题，毕达哥拉斯认为“一切事物都可以归结为整数或整数的比例，这是世界美好和谐的源泉”.直到他的学生不畏权威，发现了边长为1的正方形的对角线无法用整数或整数比来表示，并由此引发了数学史上的第一次数学危机，直到
这样的无理数被引入，解决了方程
中开方的问题，至此数系扩充到实数系.
教师总结：刚才1小组展示了数系扩充的过程，从他们的展示中，我们感知到数系扩充的动力源于解决数学外部实际问题和数学内部解方程的矛盾，我想追问一句：每一次数学内部解方程的矛盾是怎么解决的呢？仅仅是引入了新数吗？
学生讨论：除了引入新数，还增加了新的运算法则.
教师引导得出：原有的运算法则部分保持不变，加法和乘法始终保持了运算的“一致性”.
学生：1小组说过的我们就不再重复了，但是我们小组有一点比较深刻，关于数系扩充过程中的共同规律，我们从哲学观的角度认为事物是发展变化的，事物内部的矛盾是推动事物向前发展的永远动力，过去是现在是，将来也是.
教师总结：哲学观一说视角和独特，数学与哲学本来也是辩证统一的关系，很多数学家比如毕达哥拉斯、笛卡尔都既是数学家也是哲学家，为你们点赞！
课堂预设：（小组3学生补充展示）
学生：我们组的思维导图也很有特色，我们的历史资料很丰富，有结绳记事，有中国古代数学家在数的发展史中留下的伟大足迹——《九章算术》，还有数学史上的第一次数学危机，数的发展确实是一个漫长而曲折的过程.
教师总结：每个小组的作品都很惊艳，各有特色，思维导图让你们的思维被“看见”，你们的创意和努力也被“看见”，这个方法运用到以后各部分的学习中也受益匪浅.
环节二：创设情境，引出“新数”
教师引导：“数的世界，魅力无穷”，解方程的魅力贯穿数系扩充的历史始终.1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出过这样一个问题：“将10分成两部分，”使得它们的乘积为40，这两部分分别是多少？今天同学们能解决这个问题吗？
学生活动：独立思考后解答
设计意图：从历史上的两个名方程入手，激发学生学习的热情，使其在感受数学家的困惑的同时，引发其认知冲突；深刻体会引入“新数的必要性”。
课堂预设：（学生独立思考后回答，教师引导提炼）
学生：根据题意，列出方程
，由
知无实数解.
学生：将方程配方
，实数的平方不为负数，方程无实数解.
学生：由求根公式知
，实数范围内，负数不能开平方知无实数解.
教师引导：抛开这两个数的合理性不谈，这两个数符合题意吗？
学生：合理，可以检验.
教师总结：韦达用现代符号表示一元二次方程的解是17世纪的研究成果，而卡丹当时用几何研究的方法也写出了这两个当时被他认为的“奇怪的数”，并在历史的画卷上第一次写下了“负数开平方”的困惑，同学们的思路殊途同归，其本质也都可以归结到解方程
.
教师引导：在卡丹的《大术》中，还记载了弱三次方程
的十三种解法，他研究的求三次方程其中一个根的公式：
被称为卡丹公式沿用至今，这个公式用在其他三次方程没毛病，可是这个公式却在他解方程
却出现了问题，因为代入
得到的解是
，再次遇到负数开平方的问题，卡丹尝试用几何的办法去解决，这个过程中会出现“负面积”、“负体积”这种在现实世界没有任何意义东西，他觉得这是一条死路，在《大术》中回避了这一问题，并表示“负数开平方的概念，纯属取巧，毫无用武之地!（As subtel as it is useless!）”,真是这样的吗同学们？站在巨人的肩膀上，今天我们会怎么解决这个问题？
学生活动：讨论后回答
设计意图：借助追问将复杂问题转化为基本问题，使学生明确关键在于找到（引入）平方等于-1的数，发现问题的本质，为后续从解方程的角度引入“新数”作好准备，通过创设情境提出本节课研究的主题
课堂预设：（学生独立思考，组内交流后，分享展示）
学生：我觉得是有实数解的，用初中试根、多项式除法的方法降次，可以容易得到方程的三个实数根是
.
学生：如果只考虑是否有解的话，可以数形结合，转化为函数
与
轴的交点个数.
学生：不借助软件，
的图象不好直接做出来，可以再进一步转化为
的交点个数.
教师点评：这说明了什么？
学生：这个三次方程确实有三个实数根，卡丹公式的“奇怪”的数应该是存在的，并且对应了三个实数根中的一个.
教师总结：几百年前，邦贝利也曾在卡丹停下的地方继续研究，他毫不畏惧负数平方根，也精准地求出了这三个实数根，他观察一个负数的平方根，既不能称之为正，也不能称之为负，他将这一种数定义为一种“新数”.很显然这种“新数”始终包含
.并从代数的角度，用构造数的方法证明了
.邦贝利创造了奇迹，“几何不再是真理的唯一来源！”负数开平方也渐渐被数学家们所接受，Descartes经常使用负数开平方，并将他们称之为“虚数”，这个名字我们沿用至今，Euler在他的论文中引入字母
来表示
，即
并把i称为“虚数单位”已经是两百多年之后的事情了.有了这一类“新数”，同学们可以合理地表示
这两个解了吗？
学生：
.
教师追问：那一元二次方程
时的求根公式你们可以写出来了吗？
教师追问：
这个方程的解的问题能解决了吗？
环节三：建构新知，感知复数
教师引导：根据前面总结的数系扩充的特点，实数与增加的虚数会以哪些方式结合在一起？又形成什么样的数呢，增加哪些新的运算规则呢？
学生活动：小组讨论后作答
设计意图：通过提问，引导学生自主建构复数概念体系.
课堂预设：（学生独立思考、组内讨论、展示交流）
学生讨论：根据加法和乘法的一致性，可以形成
这样的数.
教师点评：非常棒，看来同学们已经触摸到了虚数的意义，19世纪，数学家高斯把虚数与实数结合在一起形成的数称之为复数（Complex number），并与其他数学家一起完善了复数理论体系，构造了“复平面”，使得复数被广泛应用于流体力学、量子力学、航空航海等领域，我们一起通过一则视频来了解一下.（播放视频）
设计意图：通过视频介绍，了解复数的广泛应用，深刻体会复数在人类历史进程中的重大意义.
教师引导：视频很中多词汇我们还很陌生，但随着学习的深入，我们有机会去慢慢深入了解，今天只是揭开了复数的一点神秘面纱，接下来请同学们阅读教材，看复数究竟应该怎么定义？怎么用集合表示？又可以怎么分类呢？
学生活动：阅读教材，构建复数的定义和分类
设计意图：通过设置问题，引导学生独立阅读教材，思考并回答问题，旨在加深其对复数基本概念的理解，培养学生良好的阅读习惯，提升其阅读能力．
课堂预设：（学生展示交流）
学生：把形如
这样的数称之为复数的代数形式，用集合表示应该是
，其中
称为实部，
称为虚部.复数的分类用韦恩图展示.
教师追问：既然复数有实部和虚部，那如何才能确定一个复数呢？
学生：当实部和虚部唯一确定时.
教师追问：由两个部分共同确定一个数学对象这一特点与以前所学过的哪些数学对象类似？
学生：平面向量、点的坐标.
教师点评：（板书）所以复数是一个二元数，既有“数”的表示，也有“形”的对应，在高斯构建的复平面内，它与点和平面向量是一一对应的关系，我们将在下一节课复数的几何意义中深入研究.
教师引导：既然复数是一个二元数，那同学们怎么看复数相等以及复数能不能比大小的问题呢？
学生活动：独立思考后回答.
课堂预设：（学生独立思考后交流展示）
学生：复数相等好办，必需实部和虚部分别相等，复数是实数的时候肯定可以比大小，但是复数是虚数时就不好说了，比如：
但
又该怎么比呢？
教师点评：有同学可以解答他的困惑吗？
学生：我认为类比向量不能比大小，复数为虚数时也不能比大小的，刚刚高斯邮票上的复平面显示，在复平面上虚数对应的点不符合大小的定义.
教师点评：非常棒，只有当复数为实数时，对应的点在实轴上，实轴上的点才有大小的定义，右边的比左边的大.
环节四 ： 例题练习，巩固所学
练习 指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是虚数，哪些是纯虚数．
，
，
，
，
，
．
例1 当实数
取什么值时，复数
是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
例2 求满足下列条件的实数
的值：
-
；
-
．
学生活动：独立思考完成并作答
设计意图：使学生在问题解决的过程中，内化复数的相关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．
环节五： 小结提升，形成结构
请围绕以下问题，回顾总结本节课的学习内容：
-
复数相关的概念有哪些？如何分类？复数相等的条件是什么？
-
我们还可以用什么方式对复数的代数形式进行研究？
3.下一次数系扩充有哪些方法和经验值得总结？
4.漫长的数学发展史中，你从数学家们身上感悟到了什么？
学生活动：独立思考完成并交流展示
设计意图：使学生对本课时有一个全面、系统的认识，在掌握数学知识的同时，积累相应的研究数学问题的经验、思想和方法，体会科学精神.
环节六 布置作业，应用迁移
复习巩固
教科书第70页练习2，第73页习题7.1第1，2，3题．
拓广探索
-
课后思考：
的可能取值有哪些？有什么规律？
2.数学写作：
结合本节课所学内容，再收集一些实数系扩充到复数系的数学史料，阅读后，完善思维导图，写出自己的感悟，与同学进行交流．
3.数学阅读：
阅读链接:http://www.360doc.com/content/19/0207/11/290478_813474440.shtml
设计意图：增加拓广探索问题，通过思考、写作和阅读进一步感知数系扩充的曲折历程，感受数学的文化和精神，提升交流与表达的能力．
六、板书设计
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7.1.1数系的扩充与复数的引入 |
PPT 展示区 |
副板书区 |
主板书区：
-
数系扩充思维导图
2.复数定义及分类思维导图 |
七、教学设计说明及教后反思
复数作为一类特殊的运算对象，有广泛的应用，其研究也需遵循一定的规则进行.复数的学习沟通了其与实数、多项式及平面向量等知识的联系；其代数表示和几何意义的研究，体现了形与数的融合．为了彰显复数引入的必要性和合理性，揭示复数的概念本质属性，突出重点、突破难点，本节课围绕以下几个方面进行设计并实施教学：
1．通过课前翻转和小组交流，让学生在经历实数系扩充到复数系的过程中，体会扩充的“基本思想”、发展理性思维
尽管学生从小就学了数及运算，初中也明确讲了运算法则和运算律，在指数的扩充和指数幂的运算性质中也强调了运算性质的重要性，了解了数系从自然数系到实数系的扩充过程，但学生对此并不重视，也很难形成研究数的一般路径.复数系是“实数系”扩充的结果，也是基础教育阶段的最后一次扩充，教学时应充分运用这次机会，类比实数的学习历程渗透数系扩充的“基本思想”，并形成“数”这类运算对象的一般研究路径：“背景—概念—基本性质—运算及几何意义—联系与应用”.
2．通过渗透数学史上有关解方程的真实问题，引导学生认识引入复数的必要性
复数的产生不是一帆风顺的，有关其研究可追溯到1545年卡尔达诺提出的“分十”问题．在教学的过程中，鉴于三次方程根的问题超出了学生的认知范畴，故本设计对此做了相应地处理，即以新信息的方式呈现给学生，并作适当的解读．这样做旨在从学生的最近发展区出发，帮助学生理解复数引入的必要性，使其体会复数诞生的背后所蕴藏的人文精神和丰富的文化内涵．
3．突出主动建构复数的代数表示并初步感知其几何意义，彰显形与数融合的思想
通过阅读教材，主动建构复数的代数表示及相关概念、复数的分类等知识，引导学生从复数由实部和虚部唯一确定这一特点出发，类比平面内向量及点的表示，初步感知复数的几何意义，即任何一个复数
均可由一个有序实数对
唯一确定，而有序实数对
与平面直角坐标系中的点又是一一对应的，所以复数
与有序实数对
是一一对应的；另一方面，任何一个有序实数对
都可以看成某一平面向量
的坐标，故复数
与
也是一一对应的．也正是通过数与形的结合，使学生认识到了“虚数不但不虚而且是可以捉摸的”，也让学生更好地理解了为什么“实数能比大小”而“虚数不能比大小”.
本教学设计以让学生了解数系扩充的必要性与合理性、经历复数相关概念的生成过程为重心，感知科学精神、形成研究数的科学方法、培育数学抽象等核心素养为核心，弱化例习题练习，作业设计突出拓展探究.从实施过程中也存在一些遗憾：从师生互动层面看：由于借班上课的因素，对学生的个性特点缺乏足够的了解，师生互动过程中的默契度还有待进一步提高，但整体完成度较好；从课堂各环节落实层面看：限于课堂时间限制，学生对邦贝利的三次方程解法的讨论以及“复数能不能比大小”的讨论环节表达稍欠充分，学生的表达热情一直延续到课后并一一做了反馈；从教师个人提升层面看：语言表达还不够精炼，在以后的教学中任需锤炼，并加强新课程理念学习，把公开课的标高落实到常态课中去，发展学生核心素养，落实立德树人的教育教学宗旨.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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