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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《弧度制》新疆—张
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新疆—张世武—设计—弧度制
《弧度制》教学设计
克州二中 张世武
一、教学内容解析.
1、内容解析.
本节课是人教 A 版《普通高中教科书·数学》必修一第五章“三角函数”第一节“任意角与弧度制”第2课时的内容.弧度制的本质是用线段（实数）度量角的大小，而角度制下三角函数的研究会因单位制不统一引发研究困难，同时函数概念中要求，函数必须是两个实数集之间的对应关系，只有实数表达的三角函数才能在同一坐标系下进行函数间的相关运算.另外，生活中的很多周期现象的变量并非都是角度，比如历法、潮汐现象等的自变量是时间，角度制在研究这类问题中出现了比较大的局限性，将角度与实数建立关系是解决这一问题的重要途径.
本节课的核心学习任务是体会弧度制引入的必要性以及经历弧度概念的生成过程.
2、蕴含的思想方法.
在思考角度与实数间对应关系时,通过具体的实践操作，让学生感受用长度度量角度的整个过程，感受特殊到一般的推理思想方法，通过1rad角的定义探究以及通过实物模型直观感受1rad角的大小，体会以直代曲的思想方法.
3、知识上下位的关系.
义务教育阶段学习的角度制，是生活中比较广泛的角度的度量制，弧度制作为角的另外一种度量制度，在任意角的基础上将角和实数建立了一一对应的关系，当前学习的主要目的是为解决三角函数中单位进制不同产生的困难，学习弧度制将为后续学习三角函数打好基础.
4、育人价值.
从已有认知出发，从研究问题的便利与合理性出发创造新知识，让学生体会一个新的单位制的研究路径及其价值，落实“用数学的眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界”的素养理念.
二、教学目标设置
1、理解1rad角的定义，建立弧度制的概念，知道弧度制的本质是线段度量角度大小.掌握弧度与角度的互化，知道一些特殊角的弧度数，能通过弧度定义推导扇形弧长及面积公式.
2、经历“发现问题--现实情境--动手实践--产生不便--创造新知--感受创造发明的美好”的过程启发思考，提高数学思维.
3、经历“度量需要--寻找关系--制定单位--定量表示--单位换算”丰富学生的数学活动经验.
重点：1rad角的定义，角度与弧度的互化.
难点：弧度制的产生过程和蕴含的思想方法.
-
学习条件.
有了任意角的基础，利于弧度制概念生成过程中与实数的对应。
学习了函数定义以及角度制下扇形的面积公式、弧长公式等。
观察、抽象、归纳、概括等学习策略和学习能力方面有了一定的基础。
2、认知疑惑.
义务教育阶段，角度制的度量方式深入人心，加上生活中广泛的应用背景，引入弧度制的必要性如果不清楚，将很难引发学生共鸣，难以产生研究弧度制的兴趣.
目前为止弧度制的介入仍然是纯数学的角度，而且弧度制的应用前景主要将在后续学习中逐步渗透，特别是函数定义角度的变量统一，微积分创立之后公式的简化，目前学生都是感受不到的.
从学生角度看，弧度制与现实生活匹配度较弱，因此弧度制的引入环境必须结合现实生活，从学生最近发展区，从最简单的实例入手来引发共鸣.本节课采用首尾呼应的方式，在学生的自我探索中逐步感受弧度制引入的合理与方便之处，从而产生学而有用的直观感受.
高一年级的学生对于“定义”一词的理解还比较浅，对数学作为认清世界的工具，对于新定义的创造和探索的目的，对于创造单位制的便捷性认识不足，因此感受弧度制引入的必要性，新定义创造发明的目的至关重要.
四、教学策略分析.
结合以上分析以及概念课的特点，本节课采用启发式、探索发现式的教学策略.
学法上主要是合作式、参与式、观察分析、类比总结等.
课堂设计经历四个场域“生活场--生命场--思维场--情感场”，以数学是认清世界的工具开头，映射创造发明的根本意义，打开探索角的新度量方式的突破口.
以最贴近生活的现实情境引入，帮助学生感受弧度制产生的合理性、必要性.
通过亲自动手测量，操作更加真实，过程更加丰富，印象更加深刻，注重学习过程中的经历，注重教学的有效性和数学的本质.
发挥“先行组织者”的作用从“最近发展区”出发渗透学科核心素养,在动手实践、直观感知的前提下，从正比例函数一一对应的角度体会实数度量角的合理性；通过实物，切实感受1rad角的概念生成过程，加深概念理解突破难点。
五、教学过程设计.
引导语：学习今天的内容之前先问大家一个问题：“我们为什么要学习数学？人类为什么要创造数学？”.
问题预设：解决问题、计算、考试、生活需要、经商、买菜……
师：有这样一句话“人类发展的历史，就是人类认识世界的历史.为了认清世界的本质，人类创造了很多工具，数学就是其中之一，为解决问题的方便，便创造了各种各样的单位制.”例如：长度单位有哪些？（千米、米……）
师：生活中还有其它的度量单位吗？
师生交流：（质量、面积、时间、温度……）
上节课我们学习的是角，角的单位有哪些？并简单介绍角度制的创造.
角度制在生活当中应用非常广泛，也非常好用，但科学家们在研究一些三角类问题的时候发现了一些困难，比如：“公元6世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时发现了一个不好解释的问题.如：
左右单位不统一，进制不统一.再如：
不能进行运算，怎么解决这个问题呢？角除了角度制的度量方式还能有其它的度量方式吗？历史上的科学家们开始研究这个问题，大家的想法是最好角度能和实数统一就好了.引入课题弧度制--
板书课题.
环节1：情境引入.
某地区为宣扬社会主义核心价值观，需要生产一个和图中一样的扇形广告宣传牌，技术人员需要计算一下扇形的面积，用来测算需要原材料的量，若他手中只有一把钢卷尺，能用现有的工具测算出扇形的大致面积吗？
预设：初中学过的扇形面积公式是
,我们需要知道半径和圆心角.
追问1:钢卷尺可以量半径,能测量圆心角吗？ (不能)
追问2:钢卷尺除了可以测量半径还能测量什么? (弧长、半径)
追问3：扇形弧长、半径有了可以得出圆心角吗？能想到什么关系？（弧长公式
）
设计意图：从生活实际问题出发，引导学生思考在只有钢卷尺的条件下，如何测量圆心角，这当中蕴含着弧度制的本质，也就是用长度来测量角度的方式，为下一步的实验探究打好基础，同时作为扇形的面积公式，因为转换因子的存在，角度制下是相对复杂的，在这个具体的情景问题中，计算扇形面积需要的过程相对复杂，为后续建立弧度制后，扇形面积简单的计算方式做好对照基础.
环节2：合作探究、动手实践.
器材：扇形教具、绳子、直尺.
要求：请各组同学相互协作，用手中现有的工具测量扇形的圆心角.
要求1：请各组同学测量手中扇形的弧长和半径，并将测得的数据填入下表：
(图1)
预设：每个小组测得的扇形弧长和半径相等，或者几乎相等.如有差距较大的情况，一定是测量有问题.在将扇形弧长和半径的测量长度代入弧长公式后会发现圆心角的表示会因为转换因子的存在显得比较复杂.
设计意图：合作探究的目的有三：1是增强学生团结协作的意识，虽然活动内容简单，但不互相帮助，结果可能误差较大.2是课前制作的扇形虽大小不一，但圆心角都是1弧度，通过亲自测量发现弧长与半径几乎相等的特点，为后续1rad角的大小认识做好铺垫.3是感受测量后如果代入计算，圆心角的结果会因为
这个转换因子的存在而比较麻烦.
环节3：概念形成.
引导学生观察弧长公式的变形，提出以下问题：
问题1：公式中的
是什么？
问题2：公式中的
又是什么？
预设：问题1（圆心角的角度值，单位是度）；问题2（弧长与半径的比值，是个实数）
引导学生发现角度值
和
之间是一种正比例的关系，从而将实数和角度建立一一对应的关系，进而启发学生用实数来表示角度.
问题3：在弧长公式的对应法则之下，角度值
构成的集合与
比值构成的集合之间有了一种一一对应的关系，我们可以用这个实数来表示这个角度吗？
预设：能，这样我们就找到了另外一种可以表示角的量.
在找到量以后顺其自然，我们需要一个单位.
问题4：在长度单位等其它单位制中的一个单位是什么？比如米的1个单位？
问题5：在这个
的比值中1个单位如何定义？什么时候它会等于1？
预设：当弧长和半径相等的时候为1.
板书1rad角的定义，并简单说明单位的来历，同时引出1rad角大小的直观认识.
问题6:1rad的角到底有多大呢？
将各小组的扇形教具合到一起，观察发现所有扇形的圆心角都是一样大的，而且从数据上来看，各组刚刚测得的弧长和半径都相等或者几乎相等.按照1rad角的定义，这个扇形的圆心角应该就是1rad.
问题7：观察图形，是不是半径越大，圆心角就越大？是不是弧长越长圆心角就越大？
回归探究过程，实物展示，加深对1rad角定义的直观认识，按照1rad角的定义，各小组刚刚所测的角就是1rad的角，并对学生所测数据进行点评.
问题8:直观感受一下，1rad的角大概是多少度呢？
预设：比60度小一点.同时如果将弧长近似的看作一条直线，扇形就可以类比为一个等边三角形，当中体现以直代曲的思想，帮助学生直观上预测1rad角在角度制中的大小.
以上述1rad角的定义为基础，进行快速练习，通过归纳总结得出弧度制的定量表示：
，体现从特殊到一般的思想.同时以弧长为
倍半径的圆心角对应弧度数为
得到
rad这个转换桥梁，为下一步单位换算做好铺垫.
问题9：弧度制是否可以度量任意角？
引导学生从任意角的定义出发，在师生交流中得出正角、零角、负角与正数、零、负数的一一对应.
环节4：弧度制的发展.
在弧度制的定义探讨结束后，对弧度制的发展史进行简单交流，增强学生对弧度制发展史的了解，感受弧度制的发展历程，体会弧度制建立的必要性，渗透数学文化.
环节5：概念深化.
我们常常需要在两种单位制之间进行转化，像1m=10dm就是长度单位转换中的其中一个桥梁，那弧度和角度的转化能找到桥梁吗？
师生活动：在定量表示时为单位换算埋下伏笔，
rad化简后的结果
rad即为角度与弧度的转换桥梁，进一步单位化可以得到转换公式：
设计意图：同一研究对象关于换算公式的探究，关键是要找到转换的桥梁，在前面弧度的定量表示中，已经从圆的周长和半径的比值得到圆心角角度与其弧度数的关系，培养学生对数学对象研究的思考.
环节6：学以致用.
例4：（1）按照下列要求，把
化成弧度：
①精确值; ②精确到0.001的近似值.
（2）将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）
师生活动：提醒学生单位换算的关键是利用
，转换中教师板书提供示范，第二问教师用计算器演示求近似值，如下图所示：
设计意图：熟悉角度与弧度的互化，熟悉互化转换因子，学习正确的书写方法.
小试牛刀：特殊角角度与弧度的互化.
（图2）
师生活动：引导学生观察特殊角，找到特殊角之间的倍数关系，从而可以以较快的速度填好如上表格，同时强调在后续的学习过程中，特殊角的转化是需要记住的.
例题6：利用弧度制证明下列关于扇形的公式.
(1)
; (2)
; (3)
.
其中
是圆的半径，
为圆心角，
是扇形的弧长，
是扇形的面积.
师生活动：教师引导学生思考并进行板演.
情景再现：在前述情景问题中，角度制下的面积表达因为转换因子的存在显得比较复杂，在应用弧度制进行转换后，面积的表达公式从形式上和内容上都比较简单，引导学生感受弧度制发明的其中一个意义—简化公式.
环节7：目标检测评价.
检测：把下列角度化成弧度.
-
；
；
.
-
；
；
.
-
用弧度制表示终边在x轴上的角的集合.
设计意图：巩固角度与弧度的互化，对学习重点内容进行当堂检测，并以（3）
为例引导学生注意角度制与弧度制不能混合使用.
环节8：课堂小结.
教师引导进行学习过程回顾，问题导向进行小结：
-
回顾本节课我们怎么想到需要角的另一种度量方式的？
-
怎么找到实数和角度对应关系的？
-
你觉得弧度制度量角的本质是什么？
-
你觉得学习弧度制的好处在哪里？
师生活动：教师引导学生自主回顾，点拨提炼观点. （图3）
设计意图：通过上述4个问题，以问题为导向促进学生思考本节课学习弧度制的过程，从发现问题-现实情境-实验探究-产生不便-创造新知-感受创造发明的美好等角度展开总结，引导学生感受新的单位制的研究路径：度量需要-寻找关系-制定单位-定量表示-单位换算，丰富学生的数学活动经验.
课后作业设计：体现本节课的教学重点，题目中涉及弧度角度互化以及扇形弧长面积公式的应用，增强学生对重点内容的巩固理解.
板书设计：
（图4)
课后反思：
在准备这节课的过程中，通过学习课标和教材后，知道体会弧度制引入的必要性是本节课的重点内容，培养学生关注数学本质，新度量制的创造背景、路径、价值是重中之中。
我认为的教学亮点是通过1rad实物模型展示、亲自动手测量、操作真实、过程丰富、印象深刻、贯穿始终。情景问题贴合现实，内涵本质，首尾呼应，体现弧度制意义。在查阅了相关文献课例等内容后，最终选择了这样的一种设计方式。从学生的课堂反映和作业反馈上来看，基本上完成了本节课的教学目标任务。
但在课堂实施过程中，确实留有诸多遗憾，特别是对于合作探究环节中的测量结果展示和分析不够充分；整堂课还是存在学生展示不足，没能很好的将群体互动和个人展示相结合，对以学生为主体的课堂表达还不够充分。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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