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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《椭圆及其标准方程》内蒙古—孔
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内蒙古—孔祥茹—设计—椭圆及其标准方程
课题：2.2.1椭圆及其标准方程
【教学内容解析】
本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1第二章第二节第一课时，主要内容是椭圆的定义和标准方程。其中定义是基础，方程是载体，数形结合是核心。在必修2，学生已经在直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，初步掌握了解析几何研究问题的主要方法——坐标法。本节课从研究路径上来讲是研究直线与圆方法的迁移，是利用坐标法研究曲线的最典型的案例。椭圆的定义和方程是进一步研究椭圆几何性质的基础，其探究过程可为双曲线，抛物线等曲线的研究提供范例。本节内容及其探究过程蕴含了数形结合思想，分类讨论，类比以及转化与化归等数学思想方法。更是发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的优秀的素材之一。因此，教学时应重视体现数学的思想方法的提炼及价值。基于以上分析确定了本节课的学习重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程。
【学生学情分析】
椭圆是生活中常见的曲线，学生对于它并不陌生。本节课是在学生已经学过直线和圆的方程，对于利用直角坐标系研究平面几何图形已有初步认识，对于用坐标法研究曲线的整体框架、步骤和方法已有一定的基础。在这一章的前一节学生学习了曲线与方程，知道了求曲线方程的一般步骤。在这些基础上学习椭圆的定义及其标准方程，符合学生的认知规律。但是，由于椭圆的几何特征比较圆复杂，学生对于从哪个角度入手抽象椭圆的几何特征会出现困惑。引入数学实验，让学生动手画椭圆不难，但对实验过程中变化量与不变量的分析，由动点的运动规律抽象动点的轨迹特征，学生却是非常迷茫的。椭圆标准方程的推导过程复杂，学生在之前的学习经验中，未接触过一个式子中含有两个根式相加的情况，也没有先观察方程的结构特点，以此为依据探究运算思路的运算经验，会造成学生在化简方程时出现直接平方后无法继续实施化简的情况。基于以上分析，确定本节课的难点为：椭圆几何特征的准确刻画，椭圆标准方程的推导与化简。突破难点的方法：教学中加强让学生动手画椭圆的过程，借助动态几何软件多画几个椭圆，并在“观察什么”“如何观察”上进行引导。在化简椭圆方程的过程中，提醒学生先观察方程的结构特点，然后再动手运算，让学生亲历不同的化简过程，利用投屏软件将不同的运算思路对比，讨论，选择恰当的化简方法并有成功体验，而不是被动的接受教材或者老师强加的方法。
【教学目标设置】
1.通过丰富的实例，了解椭圆的实际背景，从感性上认识椭圆；
2.动手实验，亲身体会椭圆的形成过程，分析实验过程，抽象出椭圆的几何特征，能准确说出椭圆的定义，发展数学抽象素养；
3.能利用椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系，能按求曲线方程的一般步骤推导椭圆的标准方程，进一步感悟坐标法，发展直观想象素养；
4.会化简含有两个根号的等式，正确推导出椭圆的标准方程，发展数学运算等素养；
5.能根据椭圆的标准方程确定椭圆的位置，根据条件确定椭圆的标准方程。
【教学重点】椭圆的几何特征，椭圆的定义及椭圆的标准方程。
【教学难点】椭圆几何特征的准确刻画，椭圆标准方程的推导。
【学具准备】一张图板，一根无弹性细绳，一支铅笔，两枚图钉。
【教学策略】
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精心设计前置课
椭圆作为圆锥曲线最有代表性的曲线之一，有着统领全章的作用，所以有必要引导学生进行整体圆锥曲线的认识；直线与圆的研究路径的回顾，可帮助学生整理已有的学习经验，为本节课的学习明确研究路径，从而形成先行组织者；但由于本节课内容比较多，因此将以上内容前置。
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营造教学情境
突出数学实验让学生经历画椭圆的过程，通过亲身参与、切实感受到椭圆的生成过程，让学生真实地感受到“动点到两个定点的距离之和为常数”这个特征，为抽象椭圆的几何特征、得出椭圆的定义提供基础。
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问题驱动教学
以学生的“最近发展区”为中心，在知识形成的“关键点”运用方法策略解决问题的“最优点”，数学知识的“联结点”，数学问题变式的“发散点”上精心设计问题串，学生通过思考问题展开课堂探究，体现学生的主体性。教学过程中特别重视和利用学生的错误，让学生经历发现“错误”、产生“错误”的原因，改正“错误”等一系列的过程，让错误成为进一步思考的动力，真正实现从学习中来，到学习中去的良性循环。
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分层学习，课外探究
通过开放性作业和课后阅读，让不同层次的学生都可继续参与到椭圆的其他知识的探究中来。
5.充分发挥信息技术辅助教学的作用
根据本节内容的特点，教学过程中充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图，为学生的数学探究与数学思维提供技术支持。
【教学过程及说明】
环节一：列举实例，初步感知
课堂引入：同学们，前面我们用坐标法学习了直线、圆及其位置关系。生活中还有一些有用、有趣、我们还不太了解的曲线有待于我们探究。比如，我们来一起欣赏下面的图片，请看大屏幕：
从这些图片中，大家可以观察到一个共同的图形，那就是---
学生：椭圆（观察图片，初识椭圆）；
教师：我们可以看到，大到天体运动的轨迹，小到日常生活，椭圆的身影处处可见，今天，就让我们继续用坐标法来研究一下这个优美的曲线--椭圆。
问题1：类比直线和圆的方程的研究过程，你认为我们按照怎样的路径研究椭圆呢？
师生活动：在前面用坐标法研究直线与圆的基础上，明确本章用坐标法研究曲线的研究思路：现实背景—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性质—曲线的应用。
【设计意图】
通过丰富的实例，了解椭圆的实际背景，从感性上认识椭圆。通过类比已有知识，明确研究椭圆的基本路径，从而形成先行组织者。
环节二：动手实验，深刻剖析
教师：请大家回忆一下，圆的定义是什么？
学生：平面内到定点的距离等于定长的点的集合就是圆。
教师：如果我把一根细绳的两端固定在同一位置，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，那么笔尖形成的轨迹是什么？
学生：圆
问题2：如果把绳子的两端固定在图板上的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，笔尖画出的轨迹是什么曲线呢？接下来请大家用事先准备好的图板，图钉，铅笔，细绳按照屏幕上的实验要求，动手实验。
（出示幻灯片)
实验结果：笔尖画出的轨迹是什么曲线？
师生活动：学生动手画图，教师到学生中去巡视指导，必要时提示学生画图的方法，参与到学生的实验中，以保证每个学生都能画出椭圆。
教师：按照实验要求，大家画出了什么曲线？
学生：椭圆
师生活动：学生画完椭圆以后，教师可以利用信息技术模拟画椭圆的实验，引导学生分析，在实验过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变化；由固定的两点
给出了什么条件；与“取一定长的细绳”相联系，“套上铅笔，拉紧绳子”意味着什么？通过分析得出：笔尖到；两个定点
的距离在改变，但距离的和保持不变，都等于细绳的长度。由此得出确定椭圆的几何要素是：两个定点
（由此也就给定了|
|），动点到
的距离之和为常数。
【设计意图】通过动手实验，让学生切实感受到椭圆的生成过程，通过精心预设问题，运用动手操作、小组合作、交流、评价等方式，为椭圆的定义奠定基础。
环节三：追根溯源，抽象概念
问题3：你能根据确定椭圆的几何要素给出椭圆的精确定义吗？
师生活动：先让学生独立思考，并说出定义，针对典型性的定义，进行点评互动。
【预设可能出现的问题及解决问题的方法】
在学生抽象椭圆定义时，会有学生给出定义：与两个定点
的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。可能出现以下情况：
（1）易丢掉：平面内；（2）易丢掉：大于
教师可引导学生思考，如果不加上平面内的限制，轨迹就会形成椭球面。然后利用信息技术，不断调整两点
之间的距离，引导学生观察所画轨迹形状的变化，发现所画出的图形受“常数”与
的大小关系制约，进而明确必须加上限制条件“常数大于
”，在此基础上给出椭圆的定义，以及椭圆的焦点，焦距等相关概念。
【设计意图】课堂教学是一个动态生成的过程，学生在课堂教学中出现的问题，是学生思维的真实反映，是教学“生成”的起点。当问题出现后，教师不是直接告诉学生错在哪儿，而是引导学生自己去发现问题，通过恰当的手段（如举反例、实验）去解决问题，让学生经历从不严谨到严谨的过程，逐步完善对椭圆几何特征的理解，抽象出椭圆的概念，使学生从中体验精确定义一个数学对象的数学方式，培养学生思维的严谨和数学抽象素养。
环节四：数形结合，推导方程
问题4：在作图的基础上，我们抽象出了椭圆的定义，接下来要推导椭圆的方程。请大家回忆：求曲线方程的一般步骤是什么？
（出示幻灯片）
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求曲线方程的一般步骤是什么？
师生活动：梳理求曲线方程的一般步骤。根据曲线的几何特征建立适当的坐标系——根据定义明确曲线上的点满足的几何条件——将几何条件转化为代数表示列出方程——化简方程——检验方程。
问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？把你的想法画在刚刚做实验时画出的椭圆上面。
学生：独立思考后动手画图。
师生活动：拿几名同学的成果用投影仪展示，根据情况提问学生为什么选择那样建系，通过讨论使学生意识到以椭圆的两条对称轴为坐标轴，以椭圆的对称中心为原点，这符合建系的“对称性”“简洁性”原则，这样建立的坐标系下求出来的方程形式是最简单的。
师生活动：按照求曲线方程的一般步骤推导椭圆的方程，在推导椭圆的过程中要注意引入2a、2c的自然合理。
问题6：
观察方程的结构，你认为怎样变形有利于化简方程？思考过后，大家动手运算。
师生活动：让学生先按自己的想法直接进行平方运算,遇到计算非常繁琐的困难后（即生成的新问题），通过投影展示学生的不同运算方案，通过学生不同方法的对比或讨论，明确化简含有两个根号的方程的方法———移项后再平方，出现的根式继续单独留在一侧，再次平方彻底去掉根号，再让学生动手继续运算，直到化简完成，得到
【设计意图】
通过学生亲身尝试不同的运算方案并进行对比讨论，使学生切实感受到在实施代数变形前应思考变形方向，而不是盲目的运算，从而提高推导过程的理性水平，使数学运算能力得到培养；
追问1：
已经是整式方程了，还能继续化简吗？追问2：对于方程
，你唯一的遗憾是哪里？
追问3：你能从图中找出表示a、c、b的线段吗？
追问4：为什么一开始把距离之和设为2a,把
设为2c？
【设计意图】为实现对椭圆最简形式的探究，b的引入是关键，让学生体会引入b的必要性与合理性，使其接受知识成为一种自然，而不是硬性灌输。让学生按知识的发现，发生，发展的历程去探究和体验，在探究过程中培养学生的创造能力。
问题7：这样我们就得到了椭圆的方程
，该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程。那么当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程是什么？你能不做具体推导就得到结论吗？
学生：思考、猜想；
【预设可能出现的问题及解决问题的方法】
方法1：焦点坐标变为
，重复推导过程，布置为作业。
方法2：由学生动手列式，
，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程
。其理由是：两种情况下的焦点关于直线
对称，所以方程也有这种对称性。
【设计意图】让学生利用已经得出的焦点在x轴上的椭圆标准方程，通过几何条件的对称性直接得出焦点在y轴上的椭圆标准方程，一方面可以促进学生对椭圆的几何特征（主要是对称性）的理解，另一方面可以让学生体会类比思想在发现、探究数学结论中的积极作用，同时也可以发展学生的直观想象素养。
教师：（出示幻灯片）
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标准方程 |
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图形 |
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焦点坐标 |
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 的关系 |
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焦点位置的判断 |
哪个分母大，焦点就在哪个轴上 |
教师：1.椭圆的标准方程中三个参数a,b，c的关系怎样？
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如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
学生：1.
2.哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上（谁大跟谁走）
环节五：解题研究，提升能力
教师：出示例1
已知椭圆的两个焦点坐标为
，并经过
，求它的标准方程。
学生：板演，学生点评（预设大部分同学用待定系数法）。
教师：你还有其他的解法吗？
学生：定义法，简述过程。
教师：两种方法各自适合的情况，让学生总结。
【设计意图】考察学生对目标-----“根据条件求椭圆方程”的达成情况，使学生体会椭圆定义在解题中的作用，培养学生先分析条件，再根据条件的特征选择椭圆标准方程的形式，培养良好的解题习惯，鼓励学生利用本节所学从不同角度解决问题，让学生自己去发现待定系数法求椭圆的标准方程，提高学生的数学运算能力。
教师出示变式题：已知椭圆标准方程为
，P是椭圆上一点
根据本节课所学的知识，你能发现哪些结论？
【预设学生可能发现的结论】
（1）a=5,b=4,c=3，焦点
，
，焦距=
（2）若P是椭圆上的一点，则
或
的周长=__________
（3）教师进一步设置探究问题：过
作垂直于
轴的直线交椭圆于
两点，则
的周长为______
不垂直于
轴时，
的周长有变化吗？为什么？
【设计意图】考察学生对目标-----“根据方程确定椭圆位置”的达成情况，也为不同层次的学生提出了不同的目标，为各个层次的学生提供了展示自我的机会，培养学生发现问题、探究性质的能力。
环节六：提炼总结，延伸拓展：
本节课我们从现实背景出发，抽象出来了椭圆的概念，构建了椭圆的方程。你在本节课学到了哪些知识？
师生活动：通过教师引导，学生回答的形式，除了知识方面的总结，也要重视思想方法，以及意识层面的总结。
【设计意图】引导学生回顾椭圆定义及标准方程的内容，并从思想方法意识等层面总结提升。
环节七：课后作业（必做、探究、选做）
必做：教材：P42练习第1,2,3题。
探究：你认为
能否表示椭圆？
课外选做：P42探究与发现
【设计意图】设置必做，探究以及选做三个层次的作业，让不同层次的学生都参与到椭圆的探究中来。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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