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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《样本的数字特征》江西—王
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江西—王锋—设计—样本的数字特征
§ 4.1 样本的数字特征
设计：王锋 柴桑区第一中学
1教学内容解析
1.1教材地位分析
本节课是北师大版高中数学必修第一册第六章第四节第一课时的内容.全章研究的是统计方面的有关知识，而统计的基本步骤就是收集数据、整理数据、分析数据、作出推断.本章的前两节内容介绍的是如何收集数据，后两节内容则涉及整理、分析数据及作出推断.其中第三节介绍用样本估计总体的分布，而第四节是用样本估计总体的数字特征，整个环节设置非常紧密，过程流畅，全面系统地把统计的基础内容学习完整.而本课时的内容是第四节的核心知识，完成了从初中到高中对数字特征的理解过渡，也为后面进一步学习分层随机抽样的均值与方差以及百分位数打下良好的基础.
1.2教材内容分析
数字特征是认识数据，了解数据非常重要的研究方式.教材将其放在总体分布之后，从不同角度进行数据分析，让学生体会从形和数两个不同方向进行数据研究.
教材首先对初中学习过的数字特征进行简单的回顾，使学生了解本节课的研究重点，并让相对生疏的知识变得熟悉起来.然后通过例题1让我们熟悉和巩固了这些数字特征的计算过程，并且感受篮球运动员样本数据的重要作用.例题2让我们进一步感受用样本的数字特征去估计总体结果的合理性，同时，也让学生体会奥运会的独特魅力以及运动员的爱国热情.例题3则更加突出不同的数字特征在分析数据时所起到的不同作用，于是在不同的标准下，作出的决策往往也是不同的，需要结合实际需要选择合适的方案.让同学们深入理解分析样本的数字特征在解决实际问题中的重要意义.
2教学目标设置
2.1基础知识与基本技能目标
掌握基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点，能准确地计算出样本的数字特征.
2.2数学活动经验目标
能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征；建立适当的数学模型，从不同的角度进行逻辑推理，从而作出合理的解释与决策；认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值.
2.3核心素养目标
通过对样本的数字特征对总体的数字特征进行估计，就等于是从部分推及全体.即基于观测到的数据信息（很可能是不完整的信息）进行总结归纳，得出一般性的特征.在这一过程中，培养学生逻辑推理的核心素养.而在对数据进行搜集、处理、分析时，需要运用多种不同的数学角度进行计算分析，培养学生的数据分析核心素养.
3学生学情分析
授课对象是高一的学生，在知识上初步掌握了统计的基本思想和基本步骤，已经学习了用样本的频率分布估计总体的分布，而且在初中也已经学习了数字特征的基本概念和计算方法.
为了进一步挖掘样本，从形向数进行过渡，对样本的数字特征进行分析，体会样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.本节课的教学重点和难点如下：
重点：用样本数字特征估计总体数字特征，初步掌握样本估计总体的思想.
难点：多角度认识样本数字特征，解决简单的实际问题.
4教学策略分析
本节课在教学过程的设计上，打算先从统计的基本思想和基本步骤入手，分析全章各小节内容之间的关系和作用，让学生从整体上把握知识的发展和地位.然后对数字特征的基本概念进行简单的复习，让学生轻松自然地过渡到本节内容的学习中来.对于教材中的三个经典例题，采取尽量沿用、适当改编的原则，对其中的例题3进行巧妙的加工，在课前组织一次飞镖选拔赛，将成绩较好的三位同学的数据作为素材供课堂分析研究，该成绩数据的统计均由学生亲自参与，动手记录，增加了学生的参与感和探究欲望，真正实现了用统计方法分析发生在自己身上的实际问题，从而提高学习效率.
5教学过程
本章概述
首先本章的主要内容是统计，统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科.主要分四个步骤：①收集数据；②整理数据；③分析数据；④作出推断.本章共分为4节，涉及10个方面的知识.第1节讲获取数据的途径，分为直接获取和间接获取，根据获取范围的不同，我们把调查方法分为普查和抽查，调查对象的全体叫做总体，所抽取的一部分叫做样本；第2节讲怎样获取样本，抽样方法分为简单随机抽样和分层随机抽样；抽完样本后，我们的目的是用样本估计总体.第3节讲用样本估计总体的分布，具体来讲是绘制频率分布直方图或频率折线图来反应其分布情况；第4节则是用样本的数字特征来估计总体的数字特征.其中前两节主要解决如何收集数据的问题，后两节则主要解决如何整理数据、分析数据、作出推断的问题.通过本章概述，让同学们整体把握学习目标，了解教材的设计意图，让知识结构更加完整、流畅.
5.1复习回顾
上节课我们学习了用样本来估计总体的分布情况，除了分布情况，我们一般还会关注数据的哪些信息呢？比如在了解班级考试成绩的情况时，我们一般比较关心哪些信息？通常最关心的是平均分、最高分、最低分等，类似于平均数、极差、中位数、众数、方差、标准差这些概念统称为数据的数字特征.
【设计意图】 引导学生从形的角度过渡到数的角度来分析数据，即从分布情况过渡到数字特征，顺其自然地引出本节课的主题.
在初中，我们已经学习过了这些数字特征的概念，下面我们先一起回顾一下他们的定义.
【师】平均数怎么算？
【生】平均数是把所有的数据加起来，再除以数据的个数,
【师】平均数反映数据的平均水平，但是如果有个别数据特别大或特别小时，用中位数会更合理。那什么是中位数呢？
【生】中位数是把数据按照从小到大的顺序排列后，排在最中间的那个数,
【师】如果数据个数为偶数个，中间就有两个数啊，那中位数怎么算?
【生】取中间两个数的平均值.
【师】什么是众数？
【生】众数是出现次数最多的数.
【师】要是有几个不同的数出现次数都是最多的怎么办?
【生】那它们都是众数，众数可以有好几个.
【师】极差呢？
【生】极差是最大值与最小值的差.
【师】方差呢？
【生】方差是把每一个数减去平均数，括号的平方再相加，再除以数据的个数.
【师】标准差呢？
【生】标准差是方差的算数平方根.
【师】下面三个都是反映数据的离散程度，极差最简单，但是它没有充分利用所有数据。方差和标准差都能反映数据偏离平均数的离散程度，方差越大，离散程度越大；标准差也是。但是方差的单位是原始数据单位的平方，而标准差与原始数据单位相同.
【设计意图】 通过设问的方式让学生回顾初中学习过的数字特征的概念，一方面熟悉核心知识，为整节课的学习打下基础；一方面让同学们积极思考，提高课堂关注度；还有一方面是让同学们回答一些自己掌握的知识，建立必要的自信.
5.2例题讲解
例1 某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位：分)情况如下表所示.
|
比赛场次 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
得分 |
12 |
24 |
31 |
15 |
36 |
25 |
50 |
35 |
31 |
44 |
39 |
41 |
36 |
求在该赛季中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差.
【师】要计算数据的数字特征，首先需要干什么？
【生】先要整理数据，将数据按照从小到大的顺序进行排列.
请同学上台排列数据，同学们根据排列好之后的数据，计算出他们的数字特征.其中，方差和标准差只要求列式，有计算器的同学可以试着算一算.
【师】你从这些数据特征中估计，这名篮球运动员是谁呢？
【生】学生自由发挥，讲出道理即可.
从这个样本来分析，据我所知，NBA赛场职业生涯场均达到30分以上的只有两位大神，一位是张伯伦，另一位是迈克尔乔丹.当然如果只看单赛季，那么场均达到30分以上的，有科比，詹姆斯，库里，哈登等少数几位球星，但是NBA一个赛季有80多场比赛，只打13场的没有.我特意就这个问题咨询了教材编委，她告诉我这是CBA某球员的真实数据，不过不是本土球员，是某外援的单赛季得分情况.因为本土球员没有场均30分以上的.
【设计意图】通过例题巩固数字特征的概念和基本运算，初步了解数字特征的意义，并体会篮球运动员样本数据的重要作用.
例2 在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆板运动员李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？
在帆板比赛中，成绩以低分为优胜.比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次.此次比赛前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如下表所示：
|
排名 |
运动员 |
比赛场次 |
总分 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
李丽珊(中国香港) |
3 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
7 |
|
|
|
|
22 |
|
2 |
简度(新西兰) |
2 |
3 |
6 |
1 |
10 |
5 |
5 |
|
|
|
|
32 |
|
3 |
贺根(挪威) |
7 |
8 |
4 |
4 |
3 |
1 |
8 |
|
|
|
|
35 |
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4 |
威尔逊(英国) |
5 |
5 |
14 |
5 |
5 |
6 |
4 |
|
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|
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44 |
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5 |
李科(中国) |
4 |
13 |
5 |
9 |
2 |
7 |
6 |
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46 |
根据前7场的比赛结果，能否预测谁将获得最后的胜利？
1996年美国亚特兰大奥运会，当年我看了很多比赛的直播，印象最深的就是中国女足，从小组赛到决赛，每场比赛直播我都看了，女足姑娘们打出了非常漂亮的足球，最终获得了那届比赛的亚军，决赛1-2惜败给了东道主美国队。在那届奥运会上，中国香港运动员李丽珊获得了帆板比赛的冠军.这是她比赛时的一些照片，帆板比赛是看谁得分低，谁获胜的，第一名就得1分，第二名就得2分，第10名就得10分…….奥运会的帆板比赛要进行11场，以其中成绩最好的9场计算最终的名次.
【师】根据前7场比赛的结果，能预测谁将获得最后的冠军吗？
【生】我觉得应该是李丽珊，我对比了这5名运动员前7场比赛积分的平均数和标准差，判断出来的.
【师】请用数据说明理由.
【生】因为帆板比赛是谁分低，谁获胜，这7场比赛李丽珊的平均得分是最低的，说明她的成绩优异；而且她的得分标准差也是最低的，说明她发挥最稳定.
虽然此时还有4场比赛没有进行，但是可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因此可以把前7场比赛的成绩作为总体的一组样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩.所以，我们有足够的理由相信李丽珊在后面的4场比赛中会继续保持优异而稳定的成绩，获得最后的冠军.事实也验证了这一预测，李丽珊最终以优异的成绩，成为了中国香港首位奥运金牌得主.但是在颁奖的时候，当时升的还是英国的国旗，奏的是英国的国歌.香港哪年回归的？1997年，所以回归之前都是奏英国国歌，在1998年，李丽珊参加曼谷亚运会，再次夺得金牌，这一次，升的是香港的区旗，奏的是中国的国歌，在接受采访时，她表示格外的激动，终于能够听着中国的国歌站在领奖台上.
【设计意图】让学生了解平均数和方差的实际意义，强化样本估计总体以及实际问题中合理选取样本的意识，同时渗透爱国主义教育，增强民族自豪感！
5.3活动展示
5.3.1课前准备
组织同学们开展飞镖选拔赛活动，每人投掷10次，记录每次投掷的环数，选取总分最高的三名同学的成绩数据作为例题素材，制作成表格.
【设计意图】让全体学生通过课前活动，都参与到例题素材的数据采集当中，一方面更能吸引学生积极地投入到数据的收集、整理、分析等活动之中，另一方面也使学生体会到统计在日常生活中的广泛应用.
5.3.2情境分析
例3 三名同学投掷飞镖，10次投掷成绩(单位：环)如下表所示.
|
|
姓名 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
李紫盈 |
6 |
7 |
7 |
8 |
6 |
8 |
7 |
8 |
9 |
7 |
|
2 |
王桂芳 |
7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
10 |
5 |
8 |
6 |
|
3 |
向磊 |
5 |
8 |
2 |
10 |
8 |
4 |
9 |
10 |
6 |
10 |
现要从这3名同学中选拔一人参加比赛，根据他们的投掷成绩，如何进行选拔？
【预设情境】教师巧设问题情境，调动课堂气氛，让同学们分组合作，为三位同学提供数据帮助，由三位同学进行理由阐述.
【师】我觉得最后一轮向磊同学表现最好，就派向磊代表我们班比赛吧，可以吗？
【生】不行.
【师】同学们认为你不行，向磊你用数据说话，看看能不能说服同学们？
【向】我有3次投中了10环，从众数来看，我的众数是10环，王桂芳是8环，李紫盈是7环，显然我是最高的；再看看中位数，我的中位数是8环，王桂芳是7.5环，李紫盈是7环，还是我最高，所以选我最好.
【师】向磊同学用众数和中位数进行了对比，认为选他最好，你们同意吗？
【王】我不同意，我认为应该选我.对比我们三个人的平均成绩，向磊是7.2环，李紫盈是7.3环，我是7.4环，我的平均成绩是最高的，所以应该选我.
【师】李紫盈和向磊，你们服吗？
【李】我不服，我认为应该选我.我们三个人的平均成绩差别不大，而从稳定性来看，无论是极差，还是方差和标准差，都是我最低，所以应该选我.
【师】王桂芳和向磊，你们服吗？
【王】我不服，除了稳定性，从众数、中位数、平均数来看，李紫盈没有一项比我好，明显我的实力更高，要想拿冠军，肯定需要拼一拼，我是最合适的人选.
【师】你们还有意见吗？
【李】综合平均成绩和稳定性来看，我去比赛可以确保前三名，拿到奖牌，他俩发挥不稳定，万一失误，很可能连奖牌都拿不到，这样风险太大，所以应该选我.
【师】向磊还有意见吗？
【向】虽然我的成绩最不稳定，但是我的潜力巨大，这个成绩中，我有一次只投了2环，那一镖实在是发挥失常，正式比赛时，我肯定不会犯这种错误.我算了一下，如果除去最低分，我的平均成绩是最高的，其实我是最有实力冲击冠军的，要比就拿冠军，其它名次没有意义.
三位同学站在不同的角度分析了自己的优势，其实都有道理。所以，不同的标准没有对于错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.
【设计意图】通过自主探究与协作交流，学生会不断地比较自己的理解与他人理解的差异，不断地纠正自己的认识，逐步构建完整的知识体系，加深对知识的深入理解.让学生通过生活实例感悟样本数据的功能，从不同角度分析问题推理得出不同结论，统计中没有严格的对于错，只有优与劣，突破教学难点.
5.4课堂小结
今天我们学习了样本的数字特征，学会了从数字的角度去估计总体。其中，例题1让我们熟悉和巩固了这些数字特征的计算.并且感受到了篮球运动员样本数据的重要作用.例题2让我们知道可以通过样本的数字特征去估计总体的结果，只要抽样的方法合理，那么样本可以很好的反映总体的信息.于此同时，也让我们感受到了奥运会的独特魅力以及运动员的爱国热情.例题3让我们进一步感知到数字特征在实际问题中的作用，并且在不同的标准下，作出的决策往往也是不一样的，并没有所谓的“标准答案”.
5.6课后作业
教材P
169练习
报讯：“1997年-2008年，铁路执行儿童票的身高限制为1.1 m~1.4 m.此次是铁道部第二次修改儿童票的限高标.2008年12月21日，铁道部规定儿童票身高限制调整为1.2 m~1.5 m，将儿童票上、下限都提高了10 cm.这意味着12月21日新规实行后，身高1.2 m以下的儿童可免票，身高1.2 m~1.5 m的儿童可购买半票.”阅读以上材料，请你说说儿童票限高标准的提高可能与什么有关，并借助互联网查阅相关原因.
6板书设计
7教学反思
本节课用生活中的实例引导学生感受统计在实际问题中的应用价值，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题、指导决策的习惯.正如数学教育家波利亚所说：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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