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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《斐波那契数列与黄金分割》湖南—吴
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《斐波那契数列与黄金分割》湖南—吴坚—设计—
斐波那契数列与黄金分割教学设计
湖南省长沙市第一中学 吴坚
一、教学内容解析
斐波那契数列与黄金分割是人教A版2019版选择性必修第二册第四章数列第10-11页中阅读与思考内容．“阅读与思考”栏目作为教材正文内容的补充，它篇幅短、内容新、阅读性强．集知识性、科学性、趣味性、教育性于一体，且根植于学生知识与能力的最近发展区，是教材的重要组成部分，是数学传统课堂教学内容的延伸，是浸润数学文化的重要载体．
本节教材设置的目的是使学生了解斐波那契数列及斐波那契数列与黄金分割的关联，激发学生思考与探究的兴趣，拓展学生的知识面，增强学生应用数学的能力，从而提高学生的数学素养．依托大单元教学设计理念，教师布置阅读任务，学生根据“阅读提纲”，经历 “自主阅读—资料收集—质疑思辨—合作交流—资料精选—制作课件”等一系列课前自主学习活动，新授课内容在完成等比数列教学的基础上，再开展本节课的课堂教学活动．目的是通过学生自主阅读唤醒学生临渊羡鱼之意，激发学生退而结网之志．让学生有充分时间完成探究式阅读，高度参与探究式阅读，达成培养学生的阅读能力、自学能力、合作能力的教学目标，同时使课堂结构更加完善．
教学内容从兔子繁殖问题情境引入，分析其蕴含的数量关系，得出相关的数学模型——递推公式．事实上，由递推公式可以推演出斐波那契数列很多有趣的性质．教科书选择斐波那契数列满足的一个等式予以介绍，用几何图形直观地呈现这个等式，由此引出“斐波那契螺旋弧线” ．斐波那契螺旋在由内往外延伸的过程里会越来越接近“黄金比例螺旋”，既体现了数学美，又进一步激发学生探寻美的本质：“斐波那契螺旋的外矩形的宽长比 会无限地趋近于黄金分割比值．”要解释其数学原理，离学生思维发展区最近的是利用数列 的通项公式.引导学生从研究比值的角度将递推公式转化为构造等比数列，从而推导出 的通项公式，利用 的通项公式学生可以从数学运算的角度考察 无限地趋近于黄金分割比值．挖掘它们之间的内在联系和思维共性时，促进学生创新意识和思维的养成．因此斐波那契数列与黄金分割是学生领悟数形结合思想、化归与转化思想、极限思想的合适素材；是学生领悟数学和谐美、理性美与完善的结构美的合适素材；是渗透数学文化的合适素材．
基于以上分析，确定本节课的教学重难点：
重点：“斐波那契数列与黄金分割”蕴含的数学文化、数学内涵、美学价值、科学价值；数列作为研究对象的基本路径（定义、表示、性质、应用）．
难点：建立斐波那契数列的数学模型；斐波那契数列与黄金分割的关联；斐波那契数列通项公式的推导．
二、教学目标设置
1.目标
（1）了解斐波那契数列相关数学文化；引导学生从兔子繁殖问题建立斐波那契数列的数学模型，从而提升学生的数学建模素养；
（2）掌握斐波那契数列的一个重要性质： ；
（3）了解斐波那契数列与黄金分割的关联；
（4）了解斐波那契数列通项公式的推导过程；
（5）了解大自然中和“斐波那契数列与黄金分割”相关的现象．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂展示意大利数学家斐波那契的生平及“兔子繁殖问题”中的相关规律，得到斐波那契数列的递推公式；
（2）能利用图形的结构特征探究 ，并且给出证明，体会数形结合、化归与转化思想，发展直观想象、逻辑推理等数学核心素养；
（3）能从 “斐波那契螺旋”与“黄金比例螺旋”两个图形高度吻合的几何特征，即从形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联；
（4）教师依据学生思维的一般规律适当引导，使学生能在复杂的问题情境中把握事物之间的关联，将不熟悉的问题情境转化为熟悉的问题情境，通过构造等比数列解决问题，在生生、师生合作交流下利用斐波那契数列递推公式推导出其通项公式，并能依据通项公式进一步探究斐波那契数列与黄金分割的关联；
（5）通过学生课前预习的资料收集及学生代表展示斐波那契数列与黄金分割的应用鉴赏，让学生整体获得和谐与优美的美学享受．
三、学生学情分析
根据数学知识的发生发展过程和学生数学学习规律安排教学过程．学生已经掌握等差数列、等比数列的知识，能用相关知识解决问题；也能在实际问题情境中，发现数列所蕴含的等差或等比关系．学生举一反三的能力，应用意识、创新能力并不强，数列的一般思路和方法应用还不够灵活，需要教师适时引导，这是本节教学的第一个难点．通过斐波那契数列的趣味激发学生的探究兴趣，让学生进一步体验数列作为研究对象的基本路径：事实—定义—性质—应用．培养学生学习数学的兴趣，提高数学建模的能力．
二阶线性递推式求通项是本节的第二个教学难点，如何引导学生立足代数变换，将这个数列转化为等比数列解决问题，过程需要较多的数学探究经验，教师可结合具体计算结果的观察加强引导．
四、教学策略分析
为了强化学生对斐波那契数列与黄金分割的整体感受，采取素养导航、推理定位、文
化引领、应用落实的“四位一体”教学设计，教学情境从《算盘书》中“兔子繁殖问题”展开，采用历史线索和问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式教学法．策略一，通过学生展示引入斐波那契所提出的著名数学问题“兔子问题”，感受数学建模的认知过程，培养学生的数感、符号感、推理能力．策略二，借助信息技术动态演示用图形表示等式： ，归纳猜想并证明．借助希沃展示学生的小组合作学习成果，让学生经历探索、尝试、总结与提炼，完善证明过程．策略三，是借助信息技术动态演示““斐波那契螺旋”与“黄金比例螺旋”，通过形状的高度接近，感知斐波那契数列中所蕴含的黄金分割美，激发学生主动探究与思考斐波那契螺旋的外矩形的宽长比 ，借助教师引导帮助，立足通项公式与极限思想解释其数学原理．
五、教学过程设计
课前预习、阅读探究
斐波那契数列与黄金分割阅读提纲
【阅读方式】
（1）阅读教材：普通高中教科书《数学选择性必修第二册》（人民教育出版社 A版）第10-11页，“阅读与思考”；
（2）利用互联网、图书馆查找收集资料，并阅读相关文献．
【阅读目标】
（1）查找与意大利数学家斐波那契相关的数学史料，了解数学家斐波那契的生平及主要成就．
（2）《算盘书》中的兔子繁殖问题，分析初生兔子的对数有什么关系？成熟兔子的对数有什么关系？兔子总对数又有什么关系？并尝试建立兔子繁殖问题的数学模型．
（3）斐波那契数列 满足等式： ，如何利用几何图形呈现这个等式？并尝试证明该等式．关于斐波那契数列的性质，你还有其它发现吗？
（4）查找与黄金分割相关资料，了解黄金分割与黄金矩形的基本知识．
（5）认识“斐波那契螺旋”弧线，思考什么是“黄金比例螺旋”？并探究它们之间存在的关系．
（6）依据所学知识，尝试由递推公式推导出斐波那契数列的通项公式．
（7）查找收集资料，举例说明大自然及生产生活中和“斐波那契数列与黄金分割” 相关的现象．
【阅读收获】
整理阅读与思考后的成果.
【阅读质疑】
阅读与思考后，你有什么疑问吗？欢迎写下来，“问题”是创新的起点！
【设计意图】设置课前活动，通过学生的动手动脑，启发学生思考，知识的获取、问题的来源不一定局限于课堂．引导学生带着问题阅读材料，基于问题驱动教学模式，在学生开展自主阅读的过程中明确“我要做什么，要解决什么问题，我有什么收获”．为学生设计适合的学习方案，花更多精力指导学生在信息海洋中获得有益的知识策略和方法，注意个体差异，帮助每一位学生参与到学习中，做好学生学习的设计者、指导者、帮助者．充分发挥学生的主动性、积极性，激发学生的学习兴趣，引导学生开展独立思考、自主探究、质疑思辨、合作交流，使学生切实学好数学知识，提升数学学科核心素养．
课堂展示，盘点收获
引导语：上一周，我们布置了阅读任务，课前大家根据阅读提纲都已做好预习．同学们获取了大量关于斐波那契数列与黄金分割的相关知识．今天，我们一起分享大家的阅读成果，剖析大家的阅读质疑．
首先我们有请“学生代表1”，请她介绍斐波那契生平及主要成就．
学生展示1 介绍意大利数学家斐波那契．
【设计意图】数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．学生代表1介绍数学家斐波那契的生平及主要成就，渗透数学文化传承，激发学生学习的兴趣．
引导语：相信大家对斐波那契有了一定的了解，那么他在《算盘书》中提出的兔子繁殖问题到底有着怎样的规律呢？有请“学生代表2”展示她们的思考．
学生展示2 介绍兔子问题中兔子繁殖规律．
【设计意图】《算盘书》中提出的兔子繁殖问题所蕴含的规律，能引导学生用数学语言观察、思考、表达现实世界，为抽象出递推公式做准备．
合作探究，建立模型
问题 1 如何用符号语言表达兔子繁殖规律？
师生活动：引导学生将文字语言转化为符号语言，用 表示第 个月的小兔子对数， 表示第 个月的大兔子对数， 表示第 个月小兔子与大兔子总对数，建立数学模型，得出递推公式．
因为每个月的大兔子对数等于前两个月的大兔子对数之和，所以有
( >2) ，
又因为每个月小兔子对数等于上个月大兔子的对数，所以有
= ，
用 ，有
，
可得
( >2) ，
故有
( >2) ．
【设计意图】（1）从兔子繁殖问题中抽象出斐波那契数列，将文本的自然语言转化为数学语言，用数学的方式表达世界；（2）摆脱数学兔子繁殖问题具体形态的影响，获得数列的一般规律．
课堂展示，盘点收获
引导语：通过阅读，我们知道 满足等式： ，如何通过图形来表示这个等式呢？我们请“学生代表3”展示他们组的成果．
学生展示3 用图形来表示等式： ．
【设计意图】利用图形表示这个等式，发展学生直观想象数学核心素养，并因此而引出斐波那契螺旋线，是与黄金分割关联的重要衔接点．
合作探究，证明等式
问题 2 证明等式 ．
师生活动：引导学生利用定义解决问题．
思路 1 迭代
由斐波那契数列的递推公式可知：
，
所以
，
将 代入得
，
重复上述步骤，可得
，
又因为
，
故
．
即等式 成立．
思路 2 裂项相消
由斐波那契数列的递推公式可知
，
所以
，
故有
又因为
，
故
．
即等式 成立．
【设计意图】（1）“推理是数学的命根子，运算是数学的童子功．”从数的角度论证公式，在活动过程中，提升逻辑推理与数学运算核心素养；（2）在证明的过程中提升学生的思维品质，让学生从感性的发现上升到理性的认识．
合作探究，课堂释疑
问题3 什么是“斐波那契螺旋”弧线？“黄金比例螺旋”呢？ 如何理解“斐波那契螺旋”弧线与“黄金比例螺旋”弧线之间的形状会越来越接近？
师生活动：从等式 的图形表示中发展出斐波那契螺旋弧线，教师介绍黄金螺旋，并将斐波那契螺旋与黄金螺旋叠放一起对比．引导学生通过猜测、计算归纳出 的值会趋近黄金分割比．
【设计意图】 引出斐波那契螺旋与黄金螺旋，并引导学生从叠放一起的两个图形的高度吻合，由形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联．
问题 4 依据所学知识，如何由递推公式推导出斐波那契数列的通项公式？
师生活动： 学生独立思考，自主探究，教师引导学生从研究比值的角度将递推公式转化为等比数列，生生合作、师生合作解决问题．
解：由 ，
设 ，即 ，
对比系数知： ，即 ，解得 ．
当 时， ，
此时 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
则
①
当 时， ，
此时 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
则
②
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
