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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《变化率问题》宁夏—柏
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宁夏—柏殿龙—设计—变化率问题
《5.1.1变化率问题》教学设计
第一课时 高台跳水运动员的速度
柏殿龙（宁夏回族自治区石嘴山市第三中学）
一 教学内容解析
-
内容
平均速度的极限，瞬时速度.
-
内容解析
导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近（极限）”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质.
变化率问题是导数概念建立的核心，生活中最常见的一种变化率是运动速度.速度是学生非常熟悉的物理知识，因此，教科书以高台跳水运动模型作为贯穿全章的主线问题，有利于学生借助同一个典型的运动模型理解导数的概念。本节的核心是解决“探究”中提出的问题，即“如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动员的快慢程度”.从平均速度到瞬时速度，从感性到理性，从特殊到一般，让学生较为充分地经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，获得瞬时速度的一般形式化表示.
从平均速度的极限理解瞬时速度，体会用“运动变化的观点”研究问题的微积分重要思想，体会极限思想，初步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用.
基于以上分析，设置本节课的教学重点是：
瞬时速度和极限思想.
二 教学目标设置
1.目标
（1）通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法；
（2）经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
-
学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通过观察平均速度在自变量间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度；
-
能从平均速度的数值变化直观感知瞬时速度是平均速度的极限.
三 学生学情分析
1.学生已有的认知基础
-
学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度；
-
由无限循环小数、“割圆术”、“球的表面积和体积”等知识的学习过程中了解极限思想；
-
初步具备用“数学建模”的思想提出问题和解决问题的能力.
2.达成教学目标所需具备的认知基础
本节内容要求学生用“运动变化的观点研究问题”，体会“逼近（极限）”的重要思想和方法，对学生数据分析、数学抽象等素养有较高要求.
3.“已有的基础”和“需要的基础”之间的差异
-
学生虽具备一定的分析问题解决问题的能力，但用平均速度的极限理
解瞬时速度，并由此体会极限思想，依然存在困难；
-
学生到高中阶段已经有了一定的归纳能力，但在归纳的基础上抽象出
数学概念的能力有所欠缺；
（3）教学中涉及
、
等新的概念和符合，学生如何正确理解这些符合的意义，并准确应用也存在一定障碍.
4.教学难点及其突破策略
难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想.
突破策略：借助Excel表格、在线画板、计算器等信息技术手段使学生通过列表观察平均速度的变化趋势，感受“逼近”过程，以此降低学生对极限的认知难度.
四 教学策略分析
1.依据《课标》中“强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透”的要求，本节课首先介绍微积分的创立史以及本章的内容，重视知识的形成过程。然后设置情境并提出问题，通过层层递进的问题，使学生体会研究瞬时速度的必要性的同时思考瞬时速度与平均速度的关系，感受逼近与极限的思想方法；
2.根据学生的思维特点和认知基础，以教师启发引导、学生自主探究、小组合作等作为主要教学方式，借助多媒体信息技术让学生动手计算，在尝试和探索中质疑、总结、抽象概括、体会思想、形成技能.
3.突出数学思想方法的提炼和渗透，通过将抽象的知识具体化、有序化、开放化，在引导学生主动建构数学知识的同时，保持积极有效的思维活动，培养学生批判性思维、开放性视野，提升数据分析、数学抽象、数学建模能力，以及分析、解决问题的能力、数学语言表达能力.
五 教学过程设计
1.情景引入、激发兴趣
教师引言：微积分是如何创立的？又是如何发展的？它在数学史和人类社会的发展中起了什么作用？我们一起来看一下章引言中的这段话.
十七、十八世纪的数学家常把自己的数学活动跟各种不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰。其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，各自独立地创立了微积分.
微积分的发展是数学史上的里程碑。它的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：
-
已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；
-
求曲线的切线；
-
求已知函数的最大值与最小值；
4、求长度、面积、体积和重心等.
师：其中“已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等”和“求曲线的切线”问题是导数产生过程中比较经典的两个问题，今天这节课就让我们追随这些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究.
2.探究新知、揭示概念
问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系:
预设问题：
-
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
预设答案：直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快；
-
能不能用我们已经学过的知识解释刚才的“直觉”？
预设答案：我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度
近似地描述他的运动状态；
追问：同学们可以自己算几组平均速度来证实一下“直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快”这个过程吗？得到下表：
（3）如何计算运动员在
这段时间内的平均速度呢？
预设答案：当时间从
变化到
时,运动员的平均速度为：
追问：从这些数据中你有什么发现？
预设答案：学生从数据中逐渐感悟：1、从几组平均速度可知，前一阶段速度慢，后一阶段速度快，前一阶段向上运动，后一阶段向下运动，即“运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快”；2、计算时时间间隔越小越好；3、平均速度并不能准确描述运动员的运动状态.
师生活动：鼓励学生思考并各抒己见，老师可以举出特例，“计算运动员在
这段时间里的平均速度”结合函数
的图像,可知,当时间在
时其速度为0，,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,也能说明用平均速度不能准确反应运动员在这段时间里的运动状态.
探究：瞬时速度
问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？
（1）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？
师生活动：教师鼓励学生大胆假设，提出自己的想法，师生一起讨论操作的可行性。
预设：
①从1的右侧取值，[1,2]、[1,1.5]、[1,1.1]...
②从1的左侧取值，[-1,1]、[-0.5,1]、[-0.9,1]...
③从1的两侧取值，[0,2]、[0.5,1.5]、[0.1,1.1]...
这时学生和老师在讨论中达成共识：
①区间长度应该越小越好，
②从计算的角度看，从1的左侧或右侧取值比从两侧取值计算量小，便于分析和发现规律；
（2）在达成共识的基础上以
的右侧取值为例，继续鼓励学生进一步缩
小时间间隔，老师利用信息技术演示计算得到结果，观察当时间间隔不断缩小时，平均速度有什么变化趋势.
追问：这样够精确了吗？
（3）时间间隔
还可以更小吗？能用数学的方法解决这一问题吗？
师生活动：教师启发学生认识到，通过前面计算的平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度越来越接近于常数-5”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征。因此需要从理性的角度加以“说明”.
预设：时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程，有限的几次计算，不能得到最终的解决办法.学生提出解决问题的最终方案——用“1+x”代替
附近接近于
的数，“x”就可以取无穷小.
师：教材上把我们刚才说的这个“x”一般写作“
”，表示时间的增量，
我们用
表示
附近的时刻，
可以在
之前，也可以在
之后，
表示
大于零时
附近的时刻，
表示
小于零时
附近的时刻，但
。
生：计算
这段时间的平均速度，
=
.
师：现在我们要怎样分析才能得到我们想要的结果呢？
生：可以发现，当
无限趋近于0时，
也无限趋近于0，所以
无限趋近于-5.
（4）我们刚才从
右侧逐渐缩小时间间隔，并用
表示时间的增量得到平均速度的变化趋势，当从
左侧逐渐缩小时间间隔，能否得出同样的结论呢？
生1：从
左侧取值.
生2：
这段时间的平均速度
，可以发现，当
无限趋近于0时，
也无限趋近于0，所以
无限趋近于-5，这与前面得到的结论一致。
（5）你能写出运动员1秒时瞬时速度的表达式吗？
师：数学中，我们把-5叫做“当
无限趋近于0时，
的极限”，记为
.
3.分析归纳、抽象概况
问题3：我们已经计算出
时的瞬时速度，那么对于某一时刻
，你能否计算出对应的瞬时速度？
师生活动：学生思考计算，上传自己的解答，教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，强调瞬时速度的极限表示，教师给出规范解答：
在
（或
）这段时间里的平均速度
，
令
，则
，
即
，
所以运动员在某一时刻
的瞬时速度为
设计意图：将求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到一般情形，一方面使学生体会从特殊到一般的数学思想方法，从算法角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养；另一方面为概括瞬时变化率的概念作铺垫.
4.归纳理解、布置作业
课堂小结：教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考下列问题：
师：如果某人运动的位移与时间的函数关系满足
，你能用数学的方法求他在任意时刻
的瞬时速度吗？
生：第一步，计算在
（或
）这段时间里的平均速度
并化简；
第二步，观察当
时，平均速度
化简后的式子趋近的确定的值，即观察
的值，即为瞬时速度
.
师：用思维导图的形式总结这节课：
设计意图：总结本节课的学习内容和思想方法，为抽象概括导数的概念奠定
基础，进一步强化学生数学建模的意识，增强学生提出问题、解决问题的能力。
课后作业：教科书习题5.1第1，3，8题.
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