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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《一元三次函数的图象和性质》黑龙江—张
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《一元三次函数的图象和性质》黑龙江—张妮—设计—
普通高中教科书数学选择性必修第二册（人教2019 A版）
《一元三次函数的图象和性质》
《一元三次函数的图象和性质》教学设计
哈尔滨市第三中学 张妮
一、教学内容解析
本节课源于人教2019版选择性必修第二册第五章《一元函数导数及其应用》第99页的拓广探索与第100页的信息技术应用《图形技术与图形性质》，是在学生已经掌握了利用导数工具研究单调性、极值、与最值之后，通过信息技术辅助手段和导数工具对一元三次函数展开的探索和研究，是对这一章知识进行深入归纳和整合的课，非常适合培养学生数学探究的能力，达到对这一章知识的学以致用.
本节课通过观察、类比、猜想、从特殊到一般等方法得到一元三次函数具有哪些性质，并通过信息技术生成三次函数的动态效果进行辅助观察，体现数形结合的思想方法，辨析所猜想的性质是否正确，最后利用导数，进行严谨证明，抽象出一般性的结论，提升数学抽象的核心素养.是本章知识综合应用的体现.培养了学生的实践能力，探索精神，提高了学生的直观想象、逻辑思考、数学表达的核心素养，以及感受科技带给我们的新成果。
因此，本节课的教学重点为：一元三次函数的性质.
二、教学目标设置
结合课标要求，本节课制定如下教学目标：
1. 通过利用信息技术，能对一元三次函数的图象进行观察和分析，并作出猜想和发现，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.
2. 通过探究一元三次函数的性质，能从整体认识一元三次函数，会利用性质解决简单的问题，体会数形结合、分类整合的思想方法，提升数学探究能力.
三、学生学情分析
(一)已具备的认知基础
1.学生已经掌握了用导数工具判断函数的单调性、求函数的极值与最值的方法.在此基础上引导学生运用数形结合、类比的数学思想，并利用GeoGebra软件，在教师的引导下对一元三次函数的图象和性质进行探索与研究，体现了单元教学的整体性、一致性.
2.让学生自主发现对一元三次函数的研究方向，如：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值情况和零点情况，在不方便画图的情况下，能自主想到利用GGB软件去探究.
3.导数的基本应用为研究一元三次函数的图象与性质提供了知识储备.
（二）可能存在的认知困难
利用前面所学的知识，学生能够分析一元三次函数的单调性和极值情况包括零点情况，但是做到整合总结有些困难，需要教师给予指导.在处理对称性问题时，只能分析出
在
时的对称结果，对于一般形式下的对称性不方便作出分析，对一元三次函数的证明也存在困难，包括如果证明方法有思路，涉及到三次方程的运算量也特别大，对学生的思维能力和运算能力都有很高的要求.
难点：对一元三次函数的对称性的探究以及对称性的证明
四、教学策略分析
本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，引导学生独立思考，主动探究，合作交流，利用小组汇报，学生讲解，学生小结等多种方式，调动学生学习的积极性.本节课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，发现并总结出有关一元三次函数的图象特点和相关性质，并利用信息技术辅助工具解决问题.让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程,不断地提升学生学习能力.
五、教学过程
（一）激情导趣，引发思考
【设计意图】设计成发散性问题，让学生自己寻找研究方向和研究方法，能够联系到三次函数与导数的关系，体现了单元教学内容的整体性，方法的一致性，便于提高学生的学习能力.
（二）分组选题，确定研究思路，开展合作探究
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组别 |
研究内容 |
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第一组 |
定义域、值域、单调性 |
|
第二组 |
系数对函数图象的影响，变化趋势、极值 |
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第三组 |
单调性、极值、零点情况 |
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第四组 |
奇偶性、周期性、对称性 |
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第五组 |
切线问题 |
|
第六组 |
奇偶性、对称性 |
学生组内讨论后，确定各组研究方向如下：
【设计意图】引导学生发现和提出有意义的数学问题；猜测合理的数学结论；提出解决问题的思路和方案；通过自主探索、合作研究论证数学结论.
（三）借助信息技术，验证猜想
发现过程概述：
得到相应结论：
【设计意图】引导学生利用导数作为研究工具去分析函数的单调性和极值情况，充分体现GeoGebra软件在画函数图象时的便捷性和高效性，包括希沃传屏信息技术手段，在此过程中可以提高学生利用信息技术探究数学规律的能力，锻炼学生的动手能力，发展了学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象的学科素养.
对于三次项系数
，
当
时，图象总体上是从
到
的变化趋势
当
时，图象总体上是从
到
的变化趋势
系数
能确定三次函数与
轴的交点坐标，同时引出问题：系数
对函数图象的影响我们怎样描述呢？引发同学们的进一步探讨.
针对问题，其它小组讨论得出解决办法：二次函数当中的系数
或
，我们是结合着对称轴和韦达定理去研究的，所以我们就从
的角度去研究了.
引出本节课后学生自主探究问题：各系数之间的关系是怎样影响三次函数的？
第三组同学分析一元三次函数零点情况
有同学以
为前提，按
的取值进行分类
有同学以
时为前提，以零点个数进行分类
1个零点
2个零点
3个零点
经过思考分析总结：（1）
必有一个零点
（2）
三个零点
（3）
两个零点
（4）
一个零点
【设计意图】根据极值点概念与零点存在性定理，用极值的符号判断三次函数零点的情况，并通过归纳总结出相应的结论，让学生能够将导数知识和分类整合思想在分析中加以灵活运用,提升数学抽象的核心素养.
学生能给出
是奇函数，但一般情况的验证会存在困难，学生组内讨论：
三次函数是否都具有对称性？
【设计意图】此问题体现由特殊到一般的思维过程，而且通过知识的类比转化过程体现了理性思维、数学探索学科素养.让学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性.
（四）展示研究成果，并给出严谨证明
第六组同学利用GGB软件发现：
三次函数的导函数是轴对称图形，在对称轴两侧取等距的两个自变量，它们的导数值是相等的，对应到三次函数上，说明这两个自变量处的切线斜率始终相等，也就是两侧的变化趋势始终相同，所以三次函数的对称中心的横坐标为导函数的对称轴.
【设计意图】学生通过GGB软件实现三次函数绕着一个点旋转
后依然和本身重合，通过图象直观感受一元三次函数的对称情况.在此过程中突出几何直观与代数表达之间的融合，体会一元三次函数对称情况的合理性
.提升学生直观想象，数学抽象的核心素养.
引出新的探究问题：对一元三次函数的对称性同学们能给出证明吗？
第六组同学受到启发，得到
方法2：
的对称轴为
，则
,
，当
时，
关于
中心对称
问题：对一元三次函数对称性的证明方法是否唯一呢？
第三组同学发现：特殊三次函数是奇函数，并且关于原点对称入手，设
，
然后把它平移一下，再对照成一般的一元三次函数，但是这样计算量有点大.
同组同学协助发现：
方法3：三次函数
向左平移
个单位，再向下平移
个单位后得到
要使函数关于原点对称，则
，即
则函数
的图象关于
中心对称。
【设计意图】引导学生利用函数的性质与导数知识的结合去探究一元三次函数的对称性，沟通数形关系，体会数形结合，分类与整合的思想，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
学生先使用信息技术手段发现切线特点，然后再加以证明：
曲线
过点
的切线的条数：
设切点为
，斜率
切线方程为：
，过
则
可看成：
此时
实根的个数，就是切点的个数，也是曲线
过点
切线的条数。
由前面知识可得：切线至少有一条，至多有三条.
（五）目标检测设计
例题1：设
，若
为函数
的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
【设计意图】本题是2021年全国统一考试
全国乙卷选择题的第10题，主要考查了函数性质的综合应用，在解题的过程中让学生体会图象对研究函数的重要性，培养了逻辑推理，数形结合的学科核心素养.
（六）总结提升
本节课我们研究了哪些内容？在学习过程中有哪些收获？
1.三次函数的图象，定义域，值域；
2.三次函数的单调性和极值
3.三次函数的零点；
4.三次函数的对称性
【设计意图】师生共同总结，可以从所学内容、研究问题的方法、蕴含的思想方法等多角度进行总结.引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，数学语言表达世界.
（七）布置开放作业，鼓励深入探索
问题1：一元三次函数的系数
是怎样共同影响函数图象的？
问题2：当点
选在哪个区域时，过点
的切线会有一条？两条？或者三条？
【设计意图】激发学生不断探究的钻研精神,提高学生理性思维、逻辑推理、数学探索的核心素养.
六、教学反思
1.
认真研究课程标准，深入理解教材，把握数学本质
（1）本节课探究活动立足于“四基”,学生学习了导数的应用，在掌握了研究问题的基本方法的前提下，以探究一元三次函数的图象和性质为载体，聚焦导数应用的基本思想，进一步感悟研究数学问题的基本方法，积累数学活动经验，促进学生核心素养的进一步提升.
（2）要更加重视学生的綜合实践活动，使之成为发展学生数学学科核心素养的重要载体.数学探究活动强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法，通过自主探究，合作交流的形式完成对数学结论的论证.这样有利于学生全面发展“四基”、“四能”，从而落实数学学科核心素养.
（3）人教 A 版教科书中在重要知识点的交汇处安排了专门的探究素材和课时.这一内容的教学与概念课、定理课、习题课等都应该是不同的。学生已掌握了一些性质，但还不全面，本课要求利用导数研究函数性质，一方面是进一步完善有关函数的知识，另一方面是进一步理解导数应用的基本思想，积累数学探究活动经验.
2.
创设合理的教学情境，落实教学重点，突破教学难点
本节课课堂容量大，且有一定难度，尤其在数学抽象方面体现明显，不仅需要调动广泛的知识，而且需要有比较清晰的思路.因此，教师要通过合理设置问题、恰当提示等方法加强引导，从而达到突破难点.而且科学探究中的意外随时都会出现，错误或意外本身乃是达到真理的一个必然环节.正确很可能只是一种模仿，可错误却绝对是一种经历，真实而自然，是通往正确和成功的必经之路.
3.注重培养探究意识，启发思考，提高 “四能”
传统数学教学往往侧重对结果的评价，但是我们认为学生的体验过程和结果同等重要，在探究过程中让学生体验如何去发现并解决数学问题.比如，本课中让学生感受到通过观察、类比、猜想、从特殊到一般等方法发现问题，即使最终学生可能没有得到想要的结果，但在研究能力上已经得到了很大提升.再比如，GGB软件的运用，很大程度上激发了学生的探究热情，对发现数学问题有着重要作用，为研究提供方向，但还是得借助数学严格论证，修正、补充加以完善等.在研究数学问题等方面积累了经验，让学生在探究中学会交流、如何发表自己的意见、团队合作应该如何进行等,这些对能力的发展很有意义.
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