视频简介：
视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》吉林—李
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
吉林—李莹莹—设计—基本不等式
《基本不等式》教学设计
吉林省实验中学 李莹莹
一、教学内容解析
《基本不等式》是《普通高中教科书·数学 必修第一册》（以下统称为“教材”）第二章第二节内容，属于单元教学课. 之前学生已经学习了等式与不等式性质以及重要不等式
的相关内容，对于两个数的大小关系的研究思路有一定的了解，对于学生而言，本节课是在学习了不等式性质的基础之上，展开的对一种具体不等式——基本不等式的研究. 从数与运算的角度，
是两个正数a，b的“算术平均数”， 
是两个正数a，b的“几何平均数”，因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算. 从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大” ，“圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解. 所以本节课是对相等与不等关系的进一步探索，又为之后学习函数的最值打下了基础，在知识体系中起着承上启下的作用．
“基本不等式”教学内容主要为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释与应用. 将这些内容融合在一节课中，就需要抓住本节课的主线，从整体上去研究这节课. 具体体现为借助已有经验，从“研究两个数大小关系”的基本问题出发，构建研究问题的基本方法，得出结论。让学生完整的经历“问题情境—特殊值猜想—一般性证明—实际应用”的过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习．
基本不等式的教学重点为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释、用基本不等式解决简单的最值问题．
1. 理解基本不等式
，发展逻辑推理素养；
2. 结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养．
达成上述目标的标志：
1. 知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；
2. 会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义；
3. 能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；
4.能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值，在解决具体问题的过程中，感受从特殊到一般、转化与化归、数形结合的数学思想方法．
三、学生学情分析
在知识结构上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数与式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识. 本节内容在复习、巩固不等式性质和重要不等式的前提下学习基本不等式，这为学生研究“基本不等式”提供了理论基础和探究方向．
在能力水平上，由于基本不等式放在了必修一的第二章，刚进入高中的学生们缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点. 其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解. 此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现．
因此，本节课的教学难点是：基本不等式的证明和利用基本不等式求最值．
四、教学策略分析
基于以上的教学重难点，在本节的教学中，应特别注意从学生的最近发展区设置问题，通过合作探究的学习方式，充分发挥学生的主体地位，培养学生的数学素养．
-
创设恰当的问题情境
以具体情境中的“研究两数大小关系”出发，让学生感受算术平均数和几何平均数的生成，先大胆猜想二者大小关系，在猜想过程中会出现“特殊值尝试”和“一般性证明”的认知冲突，借助小组探究的方式，让学生体验基本不等式的验证过程，感受从特殊到一般的数学思想方法．
-
抓住研究问题的“主线”展开
为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，本节课主要采用探究式教学方法．教师通过设置情境，引导学生进行大胆猜想→讨论探究→小心求证→实际应用→归纳总结，沿着研究问题的“主线”展开，充分发挥学生的主体地位．本节课的容量大，随着探究和应用的进行，要不断的加深学生对基本不等式结构特点的认识，逐步体会模型的应用价值．
-
遵循学生的认知规律设置问题
在基本不等式的三种语言的表述上，利用创设情境和GGB动态图像演示，让学生们从特殊到一般，大胆猜想不等关系，探究给出代数证明，数形结合给出几何直观，让学生们探究其几何意义；在基本不等式成立的三个条件的教学中，由例1设计“问题串”引导学生发现三个条件，即“一正，二定，三相等”；从特殊到一般，引出例2的一般证明，提炼出两种最值模型的作用；再通过例3中的实际应用，体会在具体情境中抽象出数学模型，并利用基本不等式解题的一般步骤；在课后思考中，提供学生思维的拓展训练与阅读延伸．
-
坚持以学生为中心提供参与机会
本节课给学生提供以下4种机会：（1）提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；（2）提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；（3）提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；（4）提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．
五、教学过程设计
1. 复习回顾，奠定基础
问题1：上节课我们学习了等式与不等式的基本性质，请同学们回忆以下两个内容：
-
两个实数比较大小的基本事实；
-
重要不等式.
【设计意图】通过回顾旧知识，奠定本节课“比较两数大小关系”的探究基础，对问题的研究提供了先行条件.
2. 创设情境，合作探究
问题2：我们知道，平均数是刻画数据特征的一项重要指标.今天，我们就通过一个“化矩为方”的问题，探究两个正数两种平均数的大小关系.
【引例】已知矩形长和宽分别为
a,
b，求做一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
a
矩形 正方形
师生活动：计算引例中（1）（2）的边长分别为：
（1）猜想二者有怎样的大小关系？
（2）合作探究尝试证明你的猜想.
【设计意图】通过熟悉的“比较两数大小关系”的问题切入新课，一方面学生明确两个平均数的背景；另一方面通过特殊值猜想和一般性证明，引发认知冲突，从而形成对基本不等式的证明方法的认识.
3.
数形结合，深入探究
问题3：我们知道，数学中“数”与“形”是紧密联系的，那“基本不等式”是否也是某种几何关系的体现呢？
师生活动：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=
a，BC=
b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
【设计意图】通过对图形中几何量的分析，让学生在熟悉的情境中，找到
和
对应的几何量，进而找到基本不等式的几何解释，让学生体会数形结合的应用.
4. 例题剖析，构建模型
问题4：之前通过大胆猜想、小心求证，又探究了其几何解释，我们分别从“符号语言”、“文字语言”以及“图形语言”三个角度，全面的认识了基本不等式. 那基本不等式又该如何应用呢？
师生活动：通过对例题的分析，以及“问题串”的设计，逐步引导学生探究基本不等式使用条件和模型的作用，以及其实际应用价值.
活动1：探究基本不等式的使用条件
师生活动：例1 . 已知
x＞0，求
的最小值.
追问1：本题中求最值的代数式有何特点？
追问2：这里的“取等号”条件必须说明吗？
追问3：满足什么条件的代数式，才能利用基本不等式求最值？
【设计意图】从最简单的模型出发，解决学生心中的疑惑，同时让学生感受基本不等式在应用时，其模型的基本结构特点和条件的要求，也初步体会“最值”的概念,并为学生求解代数式最值问题提供了示范.
活动2：探究基本不等式模型的作用
师生活动：例2. 已知
x、
y都是正数，求证：
（1）如果积
xy是定值
P，那么当
x＝
y时，和
x＋
y有最小值
．
（2）如果和
x＋
y是定值
S，那么当
x＝
y时，积
xy有最大值
．
追问4：通过本题，你能说说基本不等式能帮助我们解决什么样的问题？
【设计意图】从特殊到一般，让学生体会基本不等式在结构上，是两个正数的“和”与“积”的基本关系，使得二者在具体问题中“知一求一”，即“知一定值，求一最值”，加深对其模型作用的理解，也为用基本不等式解决实际问题创造了条件.
活动3：基本不等式实际应用．
师生活动：例3 （1）用篱笆围一个面积为100m
2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【设计意图】本例是典型的较简单的能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，进一步发展学生的模型思想.
5. 回顾反思，思维拓展
小结：这节课，知识上我们学习了基本不等式的三种语言的表述，方法上我们学习了转化和化归以及数形结合的思想，我们还体会了对于一个新的数学发现，“大胆猜想，小心求证”的科学探索的态度.探索永无止境，希望同学们能将它落实到以后的学习之中．
课后思考：
（1）【引例】已知矩形长和宽分别为
a,
b，求作一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
（3）使其与已知矩形对角线长相等，则该正方形的边长是多少？
【思考】计算（3），并思考着三个边长之间有怎样的大小关系呢？
（2）课后延展阅读
算术平均数 几何平均数
【设计意图】引导学生回顾本节课的学习内容和学习方法，要注意引导学生体会研究一个具体不等式的一般过程.课后思考题呼应了课前的引例，也是引导学生延展学习，课后的延伸阅读让学生去更多的了解两种平均数的形式和应用，拓展学生的思维.
§2.2 基本不等式
一.基本不等式 例1.
1.代数证明：
2.几何解释： 例2.
3.使用条件：
4.作用： |
多媒体演示 |
六、板书设计
七、教学反思
不等式对于高中学生来讲并不陌生，但基本不等式作为一个新的知识点，形式抽象，应用灵活，并且出现在必修一的预备知识中，这对刚刚进入高中的高一学生来讲，是有很大挑战的.教材上是由重要不等式换元的方式，得出基本不等式，并且用分析法给以证明，但这一切的过程，对学生来讲都比较“突然”.故在课前创设问题情境中，我查阅了“平均数的起源”，发现正是矩形化为正方形而生成的几何平均数，又查阅了相关的论文，才设计了本节课的课前“引例”——通过“化矩为方”问题比较“两种平均数的大小关系”.在问题中，让学生自行发现“算术平均数”和“几何平均数”，然后让学生大胆猜想，学生最容易想到的就是利用“离散”的特殊值尝试，故此处设计了老师对于“连续变化”的特殊值的直观的动图演示，探究其大小关系，引起学生对“特殊和一般”的认知冲突，让学生从一般证明方法去研究，能更好的接受此不等式的验证过程.
另外，在基本不等式的求最值问题中的“最值”，对于高一刚起步的学生来讲，这一概念还很模糊，对于基本不等式的使用条件也是要学生自己发现才有意义，故对例题设计了“问题串”，学生在问题中去寻找线索，在环环相扣的问题中，去逐步完善自己的知识结构，思维得到拓展，能力得到进一步提高.
最后，在小结部分的思考“通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？”让学生翻看自己的回忆，自行总结自己所得，学生的主体地位突显.以及对“课前引例中加入（3）的继续探索”以及“两种平均数”的课后延伸阅读，既能前后呼应，又能拓展所学，让学生体验逻辑思维的逐步延展，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣，促进学生的自主发展，准备提升自己的能力.
当然，本节课在授课之后，我也认真地反思了自己的不足，一方面在“三种语言”的总结过程中，PPT在制作时有一点疏忽，将“半弦长”写成了“弦长”；另一方面，在例3的学生作答时，如果能用学生板书或者投影的方式展示，可能要比学生写读作答的方式效果更好，但时间有限，这里也是一个遗憾.
在今后的教学中，我会更重视教材的挖掘，更重视“基本活动经验”的积累与引导其激活，无论是在公开课还是在日常教学过程中，都应该把时间和自主探究的权利交还给学生，让学生获得自主发现的体验，感受“大胆猜想，小心求证”科学探索的精神，为学生进一步落实数学学科核心素养，我会始终保持一腔热忱，努力探索.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
| -----更多视频请在本页面顶部搜索栏输入“第十一届全国高中”其中的单个词或词组，搜索以字数为3-6之间的关键词为宜，切记！注意不要输入“科目或年级等文字”。本视频标题为“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》吉林—李”，所属分类为“高中数学优质课视频”，如果喜欢或者认为本视频“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》吉林—李”很给力，您可以一键点击视频下方的百度分享按钮，以分享给更多的人观看。优质课网 的成长和发展，离不开您的支持，感谢您的关注和支持！有问题请【点此联系客服QQ：9899267】 ----- |
