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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《斐波那契数列与黄金分割》江苏—桑
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江苏—桑娅洁—设计—斐波那契数列与黄金分割
《数学活动课：斐波那契数列与黄金分割》教学设计
桑娅洁
（江苏省徐州高级中学）
一、教学内容解析
数学活动课，是指以在教学过程中构建具有教育性、创造性、实践性的学生主题活动为主要形式，以激励学生主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造为基本特征，以促进学生整体素质全面提高为目的的一种教学观和教学形式[1]．高中数学活动课应关注高中数学课程的特征，充分考虑高中学生的认知规律，更加突出学生学习的自主性和主动性，让学生在亲自探索、亲手操作、亲身体验中，获得进一步学习所必需的知识、技能、思想和方法，培养实践意识、应用能力和创新思维，发展数学学科核心素养．
在苏教版《普通高中教科书·数学（选择性必修第一册）》中，斐波那契数列共计出现四处，分别为第120-121页数列一章目录的背景图片，第122页的章头问题，第123页的问题5，第164-165页的阅读材料．斐波那契数列与等差、等比数列一样，都是从现实背景中抽象概括出的重要数列模型，它们是一脉相承的．从单元视角来看，斐波那契数列模型的建立与研究有助于学生对数列单元形成系统的理解和把握．而数列又是特殊的函数，基本遵循函数的研究路径：背景—概念—性质—应用．模型思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、极限思想在斐波那契数列的研究过程中均有体现．
“黄金分割”是苏科版《义务教育教科书·数学（九年级下册）》第六章“图形的相似”第二节内容，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割[2]，是对线段成比例的巩固．初中阶段侧重从“形”的角度研究黄金分割，引导学生感悟数学之美，发展空间观念和几何直观．高中阶段则是从“数”的角度发现黄金比，通过实际情境引入斐波那契数列，通过代数运算导出黄金比．可见，初高中数学在对同一个问题的研究中方法和途经存在差异性，这正体现了数学课程在内容呈现上的层次性、多样性和一致性，也体现了核心素养的达成具有阶段性、连续性和整合性．
斐波那契数列与黄金分割蕴含着丰富的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值．在数学抽象、数学探究、数学欣赏、数学应用的过程中，学生进行深度学习，积累数学活动经验，感悟数学的连贯性与统一性．对培养学生的高阶思维品质，提升数学关键能力，发展数学学科核心素养，实现高中数学学科育人有着重要意义和价值.
教学重点：探究斐波那契数列与黄金分割的关系．
二、教学目标设置
本节课的教学目标设置如下．
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经历从实际情境中抽象出数学问题的过程，探寻兔子繁殖规律，得到斐波那契数列的概念和递推公式，发展数学建模和数学抽象素养；
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经历三个数学探究活动，从数与形两方面了解斐波那契数列与黄金分割的关系，进一步体会研究一个数学对象的基本路径，感悟初高中数学在研究问题时的差异性和统一性，提高自主发现和提出问题、分析和解决问题的能力，促进学生高阶思维和关键能力的发展，积累数学探究活动经验；
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通过数学欣赏，拓展视野，引导学生从数学的角度刻画审美的共性，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，体会数学的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值，激发学习数学的兴趣，实现学科育人．
三、学生学情分析
本节课的授课对象是江苏省四星级高中高二学生，他们基础较扎实，思维活跃，有一定的探究活动经验和自主学习能力．
-
学生已具备的认知基础
初中时，学生通过线段成比例认识了黄金分割，借助一元二次方程求出了黄金比，也学习了一些与黄金矩形和黄金三角形有关的内容．在本节课之前，学生了解了数列的概念，探索并掌握了等差数列和等比数列的取值规律、通项公式、性质、前
n项和公式及简单应用，掌握了由二阶递推关系求数列通项的基本方法，这些都为本节课的学习奠定了知识基础．在此之前，学生在老师的指导下类比等差数列的学习，对等比数列进行了探究，为本节课的探究活动提供了经验积累．
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达成教学目标所需具备的认知基础
学生应熟知特殊数列的研究内容与研究方法，对数列的研究路径有一定的理解，面对开放性问题，有一定的自主探究与合作交流的活动经验，能将已有的知识和经验类比迁移到新的数学学习活动中，自主地发现和提出问题，分析和解决问题．
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“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异
与等差、等比数列相比，斐波那契数列取值规律以及与黄金比有关的性质隐蔽性较强，不易发掘．学生发散性思维，批判性思维，创造性思维等高阶思维品质还有待进一步提升．
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教学难点及突破策略
教学难点：斐波那契数列与黄金比有关的性质的发现与推导．
突破策略：
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根据思维最近发展区理论，在学生已有的认知经验中寻找新知识的生长点，引导学生运用类比方法，对斐波那契数列展开探究；
-
通过学生合作交流，教师引导点拨以及技术辅助手段，帮助学生发现和理解斐波那契数列与黄金比的关系．
四、教学策略分析
本节课是一节数学活动课，对于教学活动的设计应遵循教学的基本规律：情境—问题—活动—结果．
在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，通过一系列循序渐进的探究活动，帮助学生多角度地理解教学内容．将数学文化融入数学教学活动，引导学生感悟数学的价值，提升科学精神、应用意识和人文素养．
在学法上，从学生已有的认知出发，给与学生充分的独立思考、动手操作、合作探究、交流展示的时间和机会，注重学生的学习过程体验，着力培养学生的探究精神，实现人人参与活动，不同的人得到不同的发展．
在教学评价上，关注学生成长和发展的过程，包括知识技能的掌握与核心素养的提升．重视师生之间、生生之间的沟通交流，做到多元评价、及时反馈．
五、教学过程设计
引导语：现实生活中存在着各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系并具有一定的规律．其中具有等差、等比规律的数列我们已经进行了比较系统的研究．今天我们再来认识一个新的神奇的数列．
1.创设情境，规律探究
情境：意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：假设一对刚出生的小兔（一雌一雄），一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔（一雌一雄），此后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，那么由一对刚出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？
师生活动：借助树状图，填写表格，得到前四个月各种兔子的对数，如表1所示．
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时间/月 |
小兔子/对 |
大兔子/对 |
兔子总数/对 |
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1 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
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3 |
1 |
1 |
2 |
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4 |
1 |
2 |
3 |
表1
问题：第5至12个月的兔子对数分别是多少？
学生活动：尝试用列举、树状图、列表等方法得到第5至12个月的兔子对数．
追问1：你是怎么得到这些月的兔子对数的？
追问2：这个规律适合每个月的兔子对数吗？
追问3：假设第
n个月的兔子对数为
Fn，你能用数学符号语言表达这个规律吗？
师：按照这个规律，我们就能得到更多月份的兔子对数，这些数构成了一个数列，由于这个数列最早是由斐波那契提出的，为了纪念他，人们把这个数列称为斐波那契数列，通常记为数列
，数列中的项称为斐波那契数．
【设计意图】以经典的兔子繁殖问题创设情境，分析其中的数量关系，探寻兔子繁殖规律，抽象出数学模型——斐波那契数列．通过教师引导、学生独立思考和问题串，帮助学生发现和理解兔子繁殖规律的数学本质是一种特殊的递推关系，并用数学符号进行正确表征，发展学生的数学建模和数学抽象素养．
2.类比迁移，性质探究
探究活动：类比等差、等比数列的研究内容及研究方法，对斐波那契数列展开探究. 要求：明确探究主题（一个或多个）；小组分工合作；写出探究过程和结论.
预设1：学生探究斐波那契数列的通项公式．
预设2：学生探究斐波那契数列相邻两项的比值．
预设3：学生探究斐波那契数列的前
n项和．
预设4：学生探究斐波那契数列奇数项或偶数项的和．
预设5：学生探究斐波那契数列相邻三项的关系．
小组代表汇报探究成果．
通过合作探究，教师引导，学生发现斐波那契数列每一项与后一项的比值交替地大于或小于黄金比（
），并且该比值无限趋近于黄金比．
【设计意图】等差、等比数列的学习经验是探究活动的生长点，学生在对斐波那契数列的探究过程中，从已有的知识和经验出发，通过类比发现、动手计算、演绎证明、归纳猜想等方式，发现斐波那契数列的性质，特别是与黄金比的联系，将新知识纳入已有的知识体系中．这是一个主动建构的过程，特别是思维层面的积极建构，对发展学生的科学探究与构造、逻辑推理与论证、语言表达与沟通、批判性思维以及创造性思维等高价思维能力起到了很大的促进作用．
3.动手操作，深化探究
探究活动：用所给的正方形纸片拼成矩形（从最小的两个正方形开始，每次添加一个正方形）．
并思考：⑴如果最小的两个正方形的边长是1个单位长度，那么其它的正方形的边长分别是多少？
⑵观察每次所得矩形的宽和长分别是多少？你有什么发现？
⑶用不同的方法计算每次所得矩形的面积，你又有什么发现？
引导学生将“用不同的方法计算每次所得矩形的面积”得到的等式进行推广，归纳出斐波那契数列的又一个性质：
．
介绍斐波那契矩形和斐波那契螺旋线，以及它们与黄金矩形、黄金螺线的关系．
【设计意图】从“形”的角度继续对斐波那契数列与黄金分割的关系进行探究，以形助数，尝试发现新性质；以数解（释）形，用数学符号语言表达图形隐含的规律．帮助学生建立良好的数学直觉，体会数形结合的思想方法，多角度地把握现象的规律性．
4.数学欣赏，拓展探究
欣赏图片和视频，感受无处不在的斐波那契数列与黄金分割．
【设计意图】自然界中的许多现象都蕴含着斐波那契数列，黄金分割的应用更是体现在生活的方方面面，其中优选法、五角星既是黄金分割的直接应用，又是进行爱国主义教育的良好素材．通过图片和视频，在对学生进行美的熏陶和教育的同时，培养学生的审美意识，帮助学生感知数学源于生活，体会数学与生活以及其他学科的联系，引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界．实现德育与智育、美育的有机融合，落实立德树人根本任务．
5.总结反思，升华探究
表2
师：本节课，我们遵循研究数列的一般路径，通过合作探究，发现了斐波那契数列与黄金分割的神秘关系，也体会了初高中数学在研究问题时的差异性及统一性．在活动中，同学们能自主地发现、提出、分析和解决问题，正是这种探究精神，推动了数学的发展．最后和同学们分享一则斐波那契数列带给我们的启示：明天的成就=今天的努力+昨天的积累．希望同学们在今后的学习生活中，踔厉奋发，笃行不怠！
【设计意图】结合数学活动评价表（见表2），引导学生回顾研究过程，总结研究方法，感悟研究数学问题的基本路径：背景—概念—性质—结构（联系）—应用，以及研究数列的一般观念：运算．总结活动经验，增强学习自信，培养数学交流和表达的能力，养成及时反思总结的良好学习习惯．
6.分层作业，延伸探究
⑴完成《数学活动评价表》；
⑵尝试用代数方法证明
；
⑶（选做）查阅资料，进一步了解和研究斐波那契数列与黄金分割，撰写小论文.
【设计意图】必做作业意在帮助学生巩固斐波那契数列的有关知识，掌握证明方法的多样性，进一步积累数学活动经验．选做作业旨在引导学生厚实阅读、丰富阅历，提高自主学习和探究能力，实现学生的可持续发展.
参考文献：
[1] 帅建卓．初中数学活动课文献综述[J]．中学数学杂志，2012，8（25）.
[2] 中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.4：69.
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