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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《双曲线的标准方程》辽宁—王
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辽宁—王娇—设计—双曲线的标准方程
《双曲线的标准方程》教学设计
一．教学内容解析
内容解析：本节课选自人教B版高中数学选择性必修一第二章第六节,是双曲线的第一节课，本节课的重点是双曲线的定义和方程，难点是双曲线标准方程的推导。前面已经研究了椭圆的定义，标准方程和几何性质等内容，学生有了学习椭圆的基础，再类比椭圆的研究方法，了解双曲线的定义，几何图形和推导出双曲线的标准方程。我将重点放在如何得到双曲线的定义和标准方程上，据此设计了一系列问题串，再通过学生的类比迁移，由学生自己抽象出双曲线的概念，推导出双曲线的方程。通过这个过程，培养学生的数学抽象能力，数学建模能力，运算能力和逻辑推理能力，培养学生用代数的方法解决几何问题的能力。
地位作用：圆锥曲线是解析几何的重要研究内容，双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，我们将类比椭圆的学习，进行双曲线的学习。学习双曲线不仅是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高。而且为进一步学习抛物线，奠定良好的基础。双曲线是一种重要的模型，在日常生产、生活和科学技术上应用广泛。因此，本节课十分重要，不仅知识上具有承前启后的作用，而且还具备现实意义。
二．教学目标解析
本章要求:了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，能用坐标法解决与圆锥曲线相关的简单几何问题和实际问题。
本节目标：了解双曲线的定义和标准方程的推导方法，通过双曲线方程的得出，培养学生数学抽象的能力，使学生掌握类比等思想方法的运用，通过定位这个实际问题，提高学生发现问题，提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生数学建模和数学抽象的素养。通过方程的推导，增强学生数学运算的素养，本节课学生亲身感受双曲线及其标准方程的获得过程，使他们体会数学的严谨性，培养学生对待知识的科学态度，培养学生勇于探索和创新的精神，通过画双曲线让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美, 培养学习数学的兴趣。
三．学生学情分析
学生已经掌握的内容：本节课之前学生已经学习了直线、圆和椭圆，对曲线和方程的思想有一定的理解，对解析几何用坐标法解决几何问题有了一定的了解，基本掌握了求轨迹方程的一般方法。
学生不清楚的内容：解析几何在航海，天文，力学，经济，军事生产的发展有着重要的应用，但是学生对圆锥曲线在实际生活中的应用，尤其是双曲线不是很熟悉，因此通过本节课的学习能让学生更加深刻的体会到数学对生产生活产生的的强大作用，另外学生的运算能力还需要进一步提升，在双曲线方程推导过程中可能会出现符号上的疏忽，分辨不清。
将要达到的目标：通过本节课的学习，让学生加深对解析几何的研究方法的理解。高二学生有一定的分析问题、解决问题的能力，具备小组交流合作协同学习能力，为我们的小组合作探究提供了有利条件。
| 教学环节 | 主要师生活动 | 设计意图 | |||
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环节一 复 习 回顾  环节 二 情 境 引 入 |
我们已经学习了椭圆，请大家思考：
在这个定义中，请找出你认为的关键词？ 2.椭圆的标准方程是什么，你还记得哪些推导方法 3.我们还研究了椭圆的哪些内容？ 椭圆的定义--椭圆的方程--椭圆的几何性质--椭圆的应用 我们可以用同样的思路来研究其他的圆锥曲线。今天我来学习什么内容呢？请看这样一个问题： 首先请看这样一个问题： 如图所示，某中心  接到其正西、正东、正北方向三个观测点 的报告： 两个观测点同时听到了一声巨响， 观测点听到的时间比 观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1020 m.假定当时声音传播速度为340 m/s，发出巨响的位置为点P，且  均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 请大家思考:点P满足的条件是什么？ 答：因为在A与C处同时听到响声，说明|PA|=|PC|；因为观测点B比观测点A晚4秒，说明P距离B更远，而且|PB|-|PA|=4×340=1360 1.满足|PA|=|PC|的点P的轨迹是什么呢 P在AC的垂直平分线上 2.满足|PB|-|PA|=4×340=1360的点P是否存在？它的轨迹是什么呢？ 类比椭圆的学习，你能想到什么办法解决这个问题？ 预案：椭圆课后题中有用两个同心圆的交点画椭圆的方法，猜想应该有学生能回答，可以通过画圆的交点，用描点法画出曲线来，即可以画几个满足条件的点，再用平滑的曲线将其连接起来；也可能有同学想求出满足条件的点的轨迹方程，再通过方程来研究轨迹；若学生没有反应，教师适当提示。 下面我们通过一个实验加以说明： |
本节课的学习基本都是类比椭圆的研究方法，因此复习显得尤为重要。首先通过复习回顾椭圆概念，强调椭圆定义中不变的量，以便下一步和双曲线的定义做对比，总结椭圆学习的思路，提示学生可以按照同样的方法来研究其他的圆锥曲线问题。从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲。 情境引入我选择了教材中的例子，如何利用双曲线确定点的位置，既能使学生深刻地体会到数学在生产生活中的强大作用，又训练了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，体现数学建模的核心素养  ，使学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。将问题抛给学生：你想怎么解决这个问题？设计的出发点就是学生如何学，教师在教学中起到的是启发引导的作用，体现学习的主体是学生。 |
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环节三 学习新知 |
这是上节课我们用来画椭圆的绳子，将一个线圈套在这根绳子上，设线圈所在位置为P，两个定点设为F1，F２，拉直绳子，请大家观察，在线圈运动的过程中，哪些量改变，哪些量保持不变？我们发现，线圈到绳子左端和右端距离之差为定值。将笔放在线圈处，随着线圈的运动，请观察我们画出的是什么样的曲线。 由于绳长的限制，我们画出的曲线只是其中的一部分。 请大家动手实验。 请思考：若将绳子的两端调换位置，P点满足的条件是什么？ 答：|PF2 |-|PF1| =定值 我们又将得到什么样的曲线呢？ 请一名同学到黑板上演示。 现在，我们得到了两条对称的曲线，我们将其合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。 师：双曲线上的点满足什么几何条件呢？ 答：||PF2 |-|PF1|| =定值 现在，类比椭圆的定义，你一定可以抽象出双曲线的定义了： 哪位同学可以回答一下 双曲线定义 定义： F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足| |PF1|-|PF2 | |=2a的动点P的轨迹称为双曲线。 类比椭圆，其中两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|称为双曲线的焦距. 焦距我们通常用2c表示。 教师强调，定义中的|PF1|-|PF2 |如果不加绝对值符号，还能表示双曲线吗？ 答：表示其中的一支。 下面我们用几何画板验证一下，是否双曲线上的点都满足到两个定点的距离之差为定值。 双曲线的应用非常广泛，我们经常看到一些建筑物的外观有双曲线的形状，有一些彗星的轨道就是双曲线，在GPS和北斗等导航系统发明前，很多船只会采用双曲线定位系统。 师：以上，我们通过图像可以看到，满足双曲线定义的点有无数个，这是从形的角度得到的直观感受，那么，怎样给出严谨的证明呢？ 答：从数的角度出发，如果求出双曲线满足的方程，可以通过考察方程的根的个数，判断满足条件的点有多少个。 首先，我们回忆一下求点的轨迹方程的步骤： （1）设点（没建系的先建系） （2）列式并用坐标表示 （3）化简并检验 在推导椭圆的标准方程时，我们是如何建系的？你还有哪些建系方法？ 接下来，请建立合适的平面直角坐标系，推导出双曲线的方程，也可以参照教材131页椭圆方程的推导方法。 学生独立思考，完成推导，由于有椭圆的基础，学生可以求出双曲线的方程来。 类比椭圆的建系方法，大部分同学还是会选取以两个定点所在直线和线段垂直平分线作为坐标轴，线段中点为坐标原点建立直角坐标系，也不排除少部分同学选取其他坐标轴，学生可能直接得到焦点分别在x轴和y轴的双曲线方程。我们以这种建系方法为例，进行推导： 例如，以  所在直线为x轴，其中垂线为y轴建系，如图： 设双曲线的焦距为2c，则F1（-c，0）F2（c，0）设P（x，y）,则由：  可得： 整理过程由同学演示，化简方法很多，可以适当启发，得到化简结果。 教材上的方法为分子有理化法：     与②的右边同时取正或取负，所以①+②并整理得：  两边平方，整理可得：  因为  ，所以令 ,且 ，则可得：  检验：上述过程显然可逆，所以所求双曲线的方程就是：  注意几点说明： １.注意检验：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程  ，同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点  的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上。由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程。２.最后的步骤特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义  ， 即 ,设 ，代入上式 ，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程： 学生派代表（或组长）上前展示得到的方程和证明 及时对学生进行表扬，给出正面评价 还有谁得到的不同形式的方程？ 请大家看黑板（打开GGB网页），跟椭圆一样，如果我们随意建立一个坐标系，将会得到双曲线的一个方程，在我们得到的方程中，焦点分别在ｘ轴和ｙ轴上的方程形式最简单，称为标准方程。 最后，经检验：上述过程显然可逆，所以所求双曲线的方程就是：  因为满足这个方程的解有无数个，这就证明了满足条件||PA|-|PB||=定值的点有无数个。 总结：在我们得到的方程中，最简单的是哪个？焦点分别在ｘ轴和ｙ轴上的方程形式最简单，称为标准方程。 以后若不加以声明，我们总认为双曲线有对应的ａ，ｃ值和ｂ值。 |
通过实验，学生能够发现运动中保持不变的量，训练学生抽取数学要素的能力。 通过学生动手实验的过程，既可以培养学生的动手能力，又可以让学生体验知识发生发展的过程，激发学生学习数学的兴趣。 培养学生的抽象能力，这一环节通过作图，使学生体会双曲线定义的获得过程，培养学生观察、分析和抽象能力。 定义的抽象过程中很可能不是一帆风顺，学生容易忽略和出错的地方（1）漏掉 “绝对值”三个字（2）忽略对2a范围的讨论。 如果同学有表达不完善不准确的地方教师和同学们一起修正，最后得到完整的、准确的双曲线的定义。此处是本节课的第一个重点，采用分组研究的方法引起学生学习的兴趣，让学生自己归纳双曲线的定义，随着结论的慢慢浮出水面，让学生获得认同和肯定，同时训练了学生与他人合作学习的方法，训练学生的逻辑推理能力和抽象概括的能力。 焦点和焦距的定义类似与椭圆中的定义，学生有了椭圆的基础，能够很容易得出。这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论，教师巡视并发现学生出现的问题。 用数学软件演示，更加准确，直观的显示反应出几何关系 此时学生对双曲线的形状有了比较深刻的印象，给出定义之后，介绍双曲线在生产生活的应用，使学生更加深刻意识到数学对生产生活的强大作用，激发学生们的学习兴趣。 引出求双曲线的方程，更加严谨的证明，体现数学的严谨性 让学生体会知识的系统性，圆、椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线，研究方法类似，给大家充足的时间讨论，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。让学生经历得到双曲线方程发生发展的过程。 待同学们完成，请组长在讲台处展示本组的方法，过程。通过投影技术，学生展示学习成果，既是对学习过程的检验与评价，也是展示自我，培养学生语言表达能力的机会。 预案：类比椭圆的建系方法，大部分同学还是会选取以两个定点所在直线和线段垂直平分线作为坐标轴，线段中点为坐标原点建立直角坐标系，也不排除少部分同学选取其他坐标轴，学生可能直接得到焦点分别在x轴和y轴的双曲线方程。 此处为本节课的第二个重点内容，设计理念还是从学生如何学出发，继续采用学生自主探究的方式，让学生体会知识的发生发展过程，同时加强对学生的运算能力的培养，让学生经历标准方程的获得过程，体会用代数方法解决几何问题。 通过训练学生自主学习的能力，让学生感受知识发生发展的过程，在这个过程中感受数学的魅力，培养对数学的兴趣。我在平时的每一堂课的学习中，都注重渗透数学的学习方法，思维方式，培养学生的数学素质。 通过GGB软件，让学生直观的感受到随着建系方法的不同，得到的方程也都是不一样的，从而使双曲线的标准方程的得出更加的有说服力。 同时在教学中使用计算机手段，有助于提高学生学习数学的积极性，可以丰富学生的视听感受，也可以化抽象事物为具体的、可感的、形象的事物，让课堂富有吸引力，提高教与学的效果，改变传统的教学模式。 |
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环节四 课 堂 练 习 |
课堂练习：求适合下列条件的曲线方程： 两个焦点的坐标分别是  ，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；解： 由已知得  ,所以  因为焦点在x轴上，所以所求方程为  |
通过一道典型习题，对本节课的内容加以巩固。 |
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环节五 解 决 课 前 问 题 |
现在，你能解决课前的问题了吗 鼓励学生得出答案 如图，以  为原点， 所在直线为 轴、 轴建立平面直角坐标系，动点 既在直线 上，又在以 为焦点的双曲线的左支上，点是它们的交点.对于双曲线，由条件可得
  其方程为：  又因为 在直线上，联立可解得 所以，点 在中心的西北方向的 处 |
学习了本节课的知识后，就可以解决课前提出的问题，本题的实际背景是在双曲线导航系统原理的基础上进行了简化，让学生体会到数学的强大作用，获得一定的成就感，体验成功的快乐 | |||
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环节六 课 堂 小 结 |
本节课你有哪些收获？可以从知识技能，思想方法等各方面谈一谈 预案： 1.知识内容 双曲线定义； 双曲线有两种标准方程， 求轨迹方程的步骤 2.思想方法： 类比迁移 我们用列出了双曲线的方程，就是用代数方法研究几何问题，对双曲线进行定量分析，体现了数形结合的思想方法 我们在学习双曲线的时候采用了类比迁移的思想，双曲线的定义，方程的推导，解题的应用都类比的椭圆的知识。 数学建模 我们将生活中的定位问题用数学知识去解决，抽象出数学模型，体会数学建模的思维过程，也能深刻的体会到数学来源于生活，改变生活，体会到数学的强大作用，激发了对数学的浓厚兴趣等。 |
培养学生良好的学习习惯，学会总结，反思，体会数学的强大作用，数学来源于生活，改变生活，可以解决实际问题，激发了对数学的浓厚兴趣等，培养学生的表达能力，帮助学生树立自信心。 |
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环节七 课 后 作 业 |
1.课本第141页练习A第1、2题 2.思考当2a不小于2c时，动点P的轨迹是什么 3.类比研究椭圆几何性质的方法，探究双曲线的几何性质 |
通过适当的课后练习，帮助学生更好的理解本节课所学内容；针对学有余力的同学，留下思考的问题，当2a不小于2c时，动点P的轨迹是什么，对定义的理解会更加深刻；最后通过类比椭圆的研究方法，进行知识由椭圆到双曲线的的迁移，引导学生积极主动的学习，培养对学习浓厚的兴趣 |
展示图像
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
