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视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《测量建筑物高度》吉林—隋
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吉林—隋欣—设计—测量建筑物高度
测量学校内、外建筑物的高度教学设计
吉林省延边第二中学 隋欣
一、教学内容解析
1.内容
运用所学知识解决物体测量问题，经历数学建模完整过程。
2.内容解析
本节课是数学应用问题，学生可尝试不同方法解决高度测量问题。将实际问题转化为数学问题，通过绘制平面图形、代数运算，体现数形结合、转化与化归思想方法。感受用数学知识解决实际问题的全过程，让学生在做中学，学中做，从中体会数学的应用价值。
通过测量建筑物高度的实践过程，让学生经历制定测量方案、运用仪器或小组团结合作自制仪器等方式进行实地测量，结合亲身实践过程，对数据进行必要分析。学生初中学过有关线段成比例、三角形相似；高二学生已学过正弦、余弦定理。建立模型，可以通过平面几何知识求解计算高度。在物理中学过自由落体相关知识。学生根据已学内容，初步选择测量方法，这些为解决计算建筑物高度作好理论基础。
本节课以测量建筑物高度的方法为载体，学生通过设计活动方案，在知识上回顾已学测量高度的方法，培养归纳总结能力。结合课程标准，提高学生自主探究、交流合作能力。综合运用所学知识解决问题，提高学生解决实际问题的能力，发展数学建模、数据分析核心素养。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：测量实际建筑物的方法，如何减小误差。
二、教学目标设置
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目标
（1）通过课题研究，了解数学建模的基本过程。
（2）在探究数学建模过程中，感受数学的应用价值。
（3）通过参与数学建模过程，经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型、计算高度、调整误差、完善模型，形成和发展数学建模素养。
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）探索计算实际建筑物的方法，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
（2）经历亲自测量的数据过程，培养团队合作精神。
（3）将生活问题数学化，发展数学建模、数据分析核心素养。
三、学生学情分析
高一学习了解三角形，会求具体情境中物体的高度，高中生能感受建筑物大致高度，但在选择测量方法的细节还不明确，测量高度和真实高度存在误差的理解还不够透彻，因此误差分析是本节课一个难点。通过设置问题，引导学生积极思考，小组之间互相评价，达成学习目标。通过分析误差，不断调整测量方法，对测量结果进行矫正，培养学生合作意识和科学精神。
学生能从熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，选择合适数学模型，表达所要解决问题。但是数学建模思想还不够成熟，数据分析能力还是不够完善，思维的严谨程度还有待提高，因此选择适当方法处理误差是本节课的难点。根据小组测量过程，成员相互讨论，结合实践成果学生自主探究减小误差方法，提升学生逻辑推理、数学建模和数据分析核心素养。
四、教学策略分析
课前给学生布置作业，每个小组选择测量建筑物，例如学校教学楼、旗杆、校外大厦，并研究测量建筑物的高度方案。各小组分享研究方案，师生共同研讨可行性。各小组进行实地测量，拍照或视频记录测量过程。课上各小组汇报测量的方法，建立数学模型并求解模型，教师电子白板展示学生测量过程，学生黑板板书方法、数学模型和实际测量的高度。教师给出利用仪器测出较准确的数据，各小组讨论测量误差，并进行分析，找出解决的方法。利用课上学习内容，课后再次重新测量，使测量值更接近真实值，填写测量报告表。通过数据对比过程，提高学生思维严谨性，培养学生分析、解决问题的能力。
五、教学过程
第一阶段：动员和培训
课前教师对学生进行讲解阐述课题研究方法，对本课题研究过程做如下要求：
（1）每个小组选择建筑物，确定测量目标，教师提供卷尺等简单测量工具。
（2）小组讨论交流形成可行性测量方案。
（3）组内进行分工，明确课题中必要环节。
（4）讨论交流后撰写报告，形成结果。
第二阶段：课题准备阶段
根据以上过程，每个小组完成如下工作
（1）选题
教师给出指定课题，学生运用所学知识解决实际建筑物高度问题。各小组选定组长，进行组内分工，提出测量目标和方案。
第三阶段：课题实施阶段
（2）开题
学生分组讨论、交流，初步确定测量方案，各小组陈述方案：
小组1：采用两次测角法
建筑物旁边选取一个观测点，测出观测点和楼顶之间的夹角，向后移动一定距离，再测一下观测点与楼顶之间的夹角。利用三角函数知识，建立平面图形，计算楼的高度。
追问1:运用哪个知识点解决问题？
师生活动：教师根据学生提出的方法，针对数学模型提问，学生结合小组制定测量方案回答利用正弦定理相关知识解三角形。教师归纳学生测量方案。
追问2:如何测量观测点和建筑物楼顶之间的夹角？
师生活动：教师提出测量中的难点，即角度如何测量。学生采用夜间用激光笔，从观测点打到建筑物楼顶，利用放大的量角器，量出激光笔光线与水平线的夹角即为仰角，通过解三角形求出高度。教师与学生共同分析，从而肯定了方案。
小组2：利用参照物的方法
可以选择走廊台阶作为参照物，测出每层台阶高度，数出一共多少台阶，用乘法计算出楼层的高度。或者选择人为参照物，已知身高的一名同学站在教学楼某一层进行拍照合影，通过学生身高与照片中一层楼的高度比例计算出整个楼的高度。
追问1:如果用数台阶的方法，需要有什么保证？
师生活动：教师结合学生提供数台阶的方法，针对方案提出的问题。数台阶要保证每一层楼台阶的个数是相同的。
追问2:如果采用测台阶的方法，测量出一个台阶再乘以总数是否准确？
师生活动：学生进行思考，台阶高度要保证一致。教师给出评价，在没有精准的设备，测量基本都会有误差，建筑工人再盖楼房时也不一定能够保证每个台阶一样高度。我们利用现有工具进行初步测量，产生误差可能性较大。
小组3：利用物理方法
在顶楼扔一个小球，另一同学利用延时摄影的方法观看视频，测量出小球在空中的测量时间，用物理公式
，算出抛出点与地面的距离。
追问1:延时摄影的功能目的是什么？物理公式
值的如何选取？
师生活动：教师提问方案中的细节，学生回答目的是测量的时间更准确些。
的值用物理中的近似值9.8计算。共同研讨方案能够实施。
追问2:从楼上向下仍一个物体，考虑到安全性这个物体怎样好一些？
师生活动：提前预测测量实际，物体尽量体积小一些。实验前在楼底划出一块隔离区，禁止人通行。
小组4：利用影长计算方法
找一名同学测量身高和影子的长度，再测量出旗杆影子的长度，利用人影和旗杆影子的比例，利用三角形相似、线段成比例计算。
追问：什么时间测量比较好？
师生活动：教师提出问题，学生结合地理知识，指出正午太阳高度为
，固定的值不用测角了，而且计算简单。
小组5：利用镜面反射法
将镜子人和旗杆之间，保证三点一线，人前后移动，调整位置，利用折射使其能够在镜子里看到旗杆顶端，根据入射角等于折射角，测量出人与镜子的距离、旗杆与镜子的距离，利用三角形相似，结合物理中镜面反射原理，画出平面图形进行计算。
追问：初步预测一下实践中遇到的困难
师生活动：学生阐述方案后，师生共同分析测量方案中会遇到的问题，学生指出旗杆顶端在镜面中的成影的位置，教师指出调整距离采用固定镜面，人进行移动观测镜面中旗杆的倒影。
小组6：利用一次测角法
找旗杆外一点，测出人到旗杆距离和观测点与旗杆顶点的夹角，通过直角三角形求解计算。
追问：第一组同学利用激光笔测角，你们小组如何进行测角呢？
师生活动：测角是实际操作的难点。教师复述第一小组测角用激光笔方法，第六小组回答采用自制测角器，目的是为了测出观测点与旗杆的仰角。为了减少误差，在制作测角器时尽量准确。
（3）做题
根据各小组测量出的方案，结合师生讨论的结果，各小组进行测量。除激光笔测角小组外都是利用白天同一时间进行测量，教师拍照记录测量方法。教师记录小组活动，对出现误差大的情况，教师及时指出，指导学生如何尽量减小误差。教师选用较准确的仪器测量学校的教学楼和旗杆如下图1、图2，算出具体数据，目的是与学生测量结果进行比较，为误差分析做好铺垫。
图1 旗杆 图2 教学楼
（4）结题
学生亲身经历实践测量完成完成测量报告表，课堂上各小组进行展示汇报，结合实践过程（如下各小组照片），按照选用方法、建立的数学模型、测量建筑物的高度进行规范总结。
小组1 小组2
小组3 小组4
小组5 小组6
师生活动：小组代表根据照片讲解测量过程，黑板板书数学模型，并计算测量的结果。汇报结束后，教师对比黑板各小组测量数据，同一建筑物测量的高度不同，教师展示按照仪器测量出较为准确的数据，结合学生的测量报告（见下六个小组的测量报告表），师生共同进行误差分析。
组1 小组2
小组3 小组4
小组5 小组6
第四阶段 总结与反思
师生活动：学生误差分析结束后，教师引导学生测量中需要注意的细节
（1）测量仪器不是很精确，有的小组还是自制的；正确使用测量仪器；
（2）在测量过程中尽量多个组，选择平均值；
（3）测量中要注意安全；
（4）积极参加实践活动，遇到问题，共同想办法解决，要有团队合作意识。
本节课通过课前实际情境提出问题、建立模型、求解模型，误差分析检验结果，对模型进行完善、最终达到解决问题的目的，学习了数学建模的完整过程。同时这节课也指导我们要用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，让数学在我们生活中体现出更重要的价值。
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