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视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》湖南—欧
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湖南—欧卫卫—设计—用信息技术探究点的轨迹：椭圆
《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》教学设计
一、教学内容解析
本节课选自人教A版（2019版）普通高中教科书数学《选择性必修第一册》第三章第一节阅读材料，是一节探究课，本节课之前已经学习了直线与圆的方程，椭圆的定义、方程及简单几何性质，后续章节要学习双曲线、抛物线，由于教材是从两点距离之和、之差的角度给出椭圆和双曲线的定义的，这与抛物线的定义“平面内到定点的距离与到定直线的距离相等”有些脱钩，因此本内容借助信息技术探究椭圆的其它定义形式，不仅让学生体会到椭圆多种定义间的辩证统一关系，而且从定义的层面将三种曲线进行了统一.
二、教学目标设置
1.教学目标
（1）利用GGB动态追踪的优势，充分发挥信息技术的作用，使学生理解并掌握用《GeoGebra》探究点的轨迹的方法；
（2）通过对椭圆第二定义的猜想、实验、论证等探究过程，提高学生发现问题和提出问题，分析问题和解决问题的能力，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养；
（3）通过双曲线、抛物线的拓展探究，培养学生敢于猜想、勇于探索的精神；通过小组合作交流，培养学生的团队合作意识.
2.教学重点：借助GGB软件探究椭圆的第二定义以及证明平面截圆锥法得椭圆的原理.
3.教学难点：探究椭圆第一、第二定义间的辩证统一关系.
三、学生学情分析
1.已具备的认知基础：通过直线、圆、椭圆的学习，学生已基本掌握了椭圆的第一定义及简单几何性质，以及用坐标法研究平面几何图形的基本方法，学生通过信息技术课对《GeoGebra》软件的使用已经比较熟练.
2.需要的认知基础：椭圆第一定义与第二定义的联系.
3.班级学生的特点：本班是年级中等偏上的学生，学生基础较好，思维较活跃，但自主、合作探究能力及创新思维有待进一步提高.在本章的学习中，学生对椭圆的第一定义的理解与掌握都较好，但几乎没接触过关于椭圆的拓展知识，且抽象思维、推理论证能力还有待加强.如学生难以想到到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的点的轨迹是什么，椭圆的第二定义与第一定义之间的联系什么.所以本堂课我采取的突破此难点的策略是，利用信息技术建立几何直观的基础上，再进行代数表达与运算、推理，这也是化解解析几何学习中运算、代数推理难点的举措。
四、教学过程：
1.教学流程
创设情境→数学实验→探究发现→理论推证→抽象概括→拓展探究→归纳小结→课外探究
2.教学过程
（1）创设情境
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
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（教材P113例6）动点  与定点 的距离和 到定直线 ： 的距离的比是常数 ，求动点的轨迹. |
教师PPT展示教材113页例题6及其解答过程，回顾椭圆定义 |
教师深度剖析教材，活用教材，由学生已学的例题引出课题，在学生的认知水平的最近发展区创设情境. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
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问题1. 类比椭圆的定义，你能否由例6猜想椭圆新的定义形式？应如何表述？ 问题2.改变定点  和定直线的相对位置，点的轨迹会发生变化吗？问题3.改变比值的大小，点 的轨迹会发生变化吗？ |
鼓励学生大胆猜想，由学生初步猜想出椭圆定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹是椭圆.学生在《GeoGebra》软件上演示，通过实验观察得到发现：  ， .猜想1：平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是椭圆. |
引导学生由特殊到一般猜想出椭圆另一种形式的定义，为得到椭圆的第二定义做好铺垫. 由学生自己动手实验、观察，将初步猜想变得更加精准，化抽象为具体，增强学生对“动点轨迹”的感性认识. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
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问题4. 继续观察例6，得到的椭圆标准方程中，  分别是多少？猜想与题干中，：，常数有什么关系？ |
由学生回答自己的猜想，定点为焦点，常数为离心率 ，直线：为 ： .将猜想1定量表述为猜想2：平面内动点  到定点 的距离和到定直线： 的距离之比为常数 的点的轨迹是椭圆. |
注重启发式课堂教学，由定性猜想到定量猜想，引导学生将猜想1定量表述为猜想2，进一步培养学生归纳猜想的能力，为用坐标法论证猜想做好铺垫. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
证明：平面内动点到定点的距离和到定直线： 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆. |
希沃投屏学生的证明过程，并让学生间相互评价，老师点评； 老师给出另一种代数变形形式，引导学生找到第一定义与第二定义之间的关系； PPT展示椭圆第一定义标准方程的推导过程，引导学生找到  变形为 .并让学生回答问题给出式子  的几何解释. |
1.通过对猜想2的证明，进一步熟悉坐标法. 2.通过希沃软件投屏学生的证明过程，其他学生点评，激发学生的学习兴趣，培养学生积极思考和发现问题、解决问题的能力. 3.回归教材，根据第一定义推导过程中的不同代数变形，并从几何角度给出解释，得出第一定义和第二定义的辩证统一关系. |
由椭圆对称性可得：平面内动点到定点 的距离和到定直线： 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆.问题5：你能从椭圆标准方程的推导过程中给出证明吗？ |
由 得 变形为  . |
4.由椭圆的右焦点、右准线，到左焦点、左准线，培养学生类比推理的能力，同时渗透了数学的对称美. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
结论：平面内动点到定点（或 ）的距离和到定直线： （或 ： ）的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆.椭圆的第二定义：平面内到定点 的距离和到定直线 的距离之比为常数  的点的轨迹是椭圆.定点 叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率. |
教师引导学生得到椭圆第二定义. 教师板书椭圆第二定义并说明第二定义与第一定义的联系. |
由猜想到实验观察，再到理论论证，最后得到椭圆第二定义的形式，帮助学生从特殊到一般发现规律，培养学生的探究精神,同时又兼顾了椭圆第二定义与第一定义之间的关系.. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
学生观看用GGB演示平面截圆锥的动态过程的视频 探究 一平面截圆锥所得截面如图所示， 为截口曲线上任意一点，证明：点的轨迹是椭圆. |
学生小组合作探究为什么截口曲线是椭圆，教师适时点拨. | 从数学文化的角度对椭圆定义探究进行发散，借助《GeoGebra》软件解决教材章引言中的遗留问题，引导学生感悟数学的文化价值，审美价值.同时，学生通过感受《GeoGebra》软件强大的三维可视化作图功能，增强了往后借助信息技术学习数学的热情. |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
通过本节课的学习，
的距离和到定直线 ( )的距离为常数 的点的轨迹是椭圆.
2.数形结合 3.从具体到一般 4.类比 |
请学生自主小结，相互补充，最后老师简要小结. |
通过引导学生从基础知识、基本思想两个层面来交流这节课的收获，达到有效促进、完善学生知识体系构建的目的. 通过教师寄语，激励学生大胆猜想，敢于探索，勇攀高峰！ |
| 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
课后作业： 必做题：1. 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆内一个定点，是圆上任意一点. 线段 的垂直平分线和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？2.已知  的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率之积等于 ，求顶点 的轨迹.3.一动圆与圆  外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.选做题：借助GGB软件，用类似的方法探究点的轨迹——双曲线、抛物线. |
学生独立思考、自主完成，培养良好学习习惯. |
1.通过让学生课外自主探究椭圆的其它多种生成方式，培养学生思维的多样性与创新能力. 2.设计必做题和选做题，意在既巩固所学知识，又给学有余力的学生以更大的发展空间，体现了因材施教的原则. 3.布置网络作业，充分利用网络平台挖掘优质学习资源，不仅让学生体会到圆锥曲线在生活中应用之广泛，而且更进一步培养了学生信息素养，拓展数学视野. |
| 用信息技术探究点的轨迹：椭圆 |
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2.证明： |
1、椭圆的第一定义： 2、椭圆的第二定义：平面内到定点  的距离和到定直线 ( )的距离为常数 的点的轨迹是椭圆.—焦点 —准线 —离心率 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
