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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《8.6.2直线与平面垂直第一课时》吉林—焦
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8.6.2直线与平面垂直第一课时
8.6.2直线与平面垂直的判定 第一课时 教学设计
吉林市第一中学 焦霞
一、教学内容解析：
1．内容
本节内容选自人教A版《普通高中教科书—数学必修第二册》 8.6.2直线与平面垂直（第一课时），属于新授概念课，包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.
2．内容解析
直线与平面垂直是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和直线与平面垂直关系的中介.直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用.
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法.直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略.
基于以上分析，确定本节课的教学重难点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳，直线与平面垂直判定定理的发现与验证.
二、教学目标设置
1．目标
《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：
①在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；
②通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
因此，从知识上，理解直线与平面垂直的意义；从认知水平上，探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题；从思想方法上，在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的转化思想.
2．目标解析
（1）学生通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义.
（2）学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角.
（3）学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用；知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等；能认识到“直线与平面垂直的判定”与“直线与平面平行的判定”在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般思路和方法.
根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：
（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；
（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；
（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：
评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象；通过学生活动，给出直线与平面垂直的直观解释；通过影子实验，抽象出直线与平面垂直的概念；
评价任务二：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.
评价任务三：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设.
评价任务四：能在折纸实验操作中，得到直线与平面垂直的判定定理，并给出直线与平面垂直判定定理的验证，同时能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.
评价任务五：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.
三、学生学情分析
虽然学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.但由于他们把空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力还不强，因而他们对于如何借助直线与直线垂直来刻画直线与平面垂直还会遇到困难，更难用确切的数学语言刻画直线与平面垂直.考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，教学时可在教师的提示下由学生自己得到直线与平面垂直的定义.
对于直线与平面垂直的判定定理，学生通过探究和动手实践，会初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直.但在缺少逻辑推理的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑结论的正确性.教学时需要引导学生通过亲身的反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性.
本节课的教学难点是发现并验证直线与平面垂直的判定定理.
因此，在教学过程中，让学生以小组为单位进行合作，通过学生活动、动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.
在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程.
四、教学策略分析：
新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.
五、教学过程：
（一）构建直线与平面垂直的定义
1.生活中的线面垂直关系
问题1：在日常生活中，旗杆与地面、桥桩与江面、门轴与地面都呈现了什么样的位置关系呢，同学们你们还能举出其他例子吗？
师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，提出问题.
设计意图：天安门广场上的五星红旗，吉林市临江门大桥，培养学生的直观想象能力，同时培养学生爱国家、爱家乡的目的.
2.学生活动
全体同学听从老师指令，作出相应动作，并思考回答问题.
起立——将身体向右倾斜——向前倾斜
问题2：把同学的身体抽象成一条直线，在整个过程中回答直线与地面的位置关系.
从而得到18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出线面垂直的直观解释：一条直线不向平面上的任何一面倾斜.
3.旗杆影子实验（教师借助信息技术呈现旗杆影子实验）
问题3：直立于地面的旗杆与它在地面的影子垂直吗？
追问：随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆与所有影子都垂直吗？
得到古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直.
追问：旗杆与对于地面上其他直线垂直吗？
从而得到直线与平面垂直的定义.
文字语言：如果直线
与平面
内的任意一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形语言：
符号语言：
师生活动：教师板书，学生完成导学案.
问题4：在得到直线与平面垂直的定以后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？
师生活动：教师引导学生，结合定义，给出垂线、垂面、垂足的概念，给出文字语言、图形语言、符号语言的三种表示.
设计意图：建立垂面、垂线、垂足概念，知道线面垂直的符号表示，并让学生理解学习数学概念的“基本思路”.
问题5：分析概念的双向性.
（二）探究直线与平面垂直判定定理
问题5：用定义来判断线面垂直方便吗？能否将无限证明转化为有限证明？
小组讨论：
（1）如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
（2）如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
（3）如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线与此平面垂直？
师生活动：
实验探究：如图，准备一块三角形的纸片
，过
的顶点
翻折纸片，得到折痕
，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（
，
与桌面接触）.
（1）折痕与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？
进而获得猜想：如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直那么该直线与平面垂直.
追问1：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
师生活动：教师引导学生从基本事实的推论2和平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步作出解释.
追问2：为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直，而不是“两条平行直线”或“三条两两相交直线”或“无数条直线”呢？
师生活动：教师提出问题，引导学生进行探究，可以利用手中的笔、纸举出反例说明。
追问3：你能验证直线与平面垂直的判定定理吗？（提醒学生）可以结合平面向量基本定理说明.
设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想．按照《标准（2017年版）》的要求，这一定理在本章不要求证明，而是在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中进行证明.但在此处，可以结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理对此判定定理的正确性进行说明.为此，可以在学生探索出判定定理的猜想后，通过追问，提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性.结合判定定理的得出
问题6：尝试分别用图形语言、符号语言准确地表示直线与平面垂直的判定定理，并说说它的作用.
师生活动：教师板书，学生完成导学案.
设计意图：实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.同时，体现了线线垂直到线面垂直的转化.
的底面是正方形，
平面
，求证：
平面
.
是⊙
的直径，点
是⊙上的动点，过动点的直线
垂直于⊙
所在平面，
，
分别是
，的中点.判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由.
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8.6.2直线与平面垂直的判定（一） 1.定义 例题 2.判定定理 |
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