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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《探究活动：从“圆”到“球”》湖北—张巧巧—设计—
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湖北—张巧巧—设计—探究活动：从“圆”到“球”
教学设计目录
（一）教学内容解析-------------------------------------------1
（二）学生学情解析-------------------------------------------2
-
教学目标设置-------------------------------------------3
（四）教学策略解析-------------------------------------------3
1.项目选定---------------------------------------------3
2.制定计划---------------------------------------------4
3.活动探究---------------------------------------------4
4.作品制作---------------------------------------------5
5.成果展示---------------------------------------------5
6.活动评价---------------------------------------------5
7.拓展延伸---------------------------------------------5
（五）教学基本流程-------------------------------------------5
主题一 知圆与球之用-----------------------------------------6
主题二 辨圆与球之义-----------------------------------------6
主题三 明球与面之理-----------------------------------------7
主题四 悟球与体之法-----------------------------------------9
（一）课堂小结----------------------------------------------10
（二）学生小结----------------------------------------------11
（三）课后延伸----------------------------------------------11
探究活动：从“圆”到“球”
华中师范大学第一附属中学 张巧巧
一、教学设计
（一）教学内容解析
本节课是人教A版（2019版）必修第二册第八章《立体几何初步》中球的几何性质的探究活动中的成果展示课，安排在学生完成必修第二册《立体几何初步》以及选择性必修第一册《直线与圆的方程》的学习，并基本形成初步的的章节知识框架之后进行．
《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）指出：“高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程．其中，数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体．”本次从“圆”到“球”的探究活动采用先整体设计、后分步实施的方式，借助具体的情境引导学生从类比、模仿到自主创新、从局部实施到整体构想，使学生以小组为单位通过具体的主题经历“选题、开题、做题、结题”的活动过程，并通过探究活动的参与积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯．
由于不同学段的师资、课程、教学等界限分明，致使各学段之间的教学存在一定的脱节现象，通过本次探究活动可以进一步提高小学、初中、高中、大学四个学段知识的衔接与整合，提升中学阶段人才培养模式的多样化，实现拔尖人才的贯通培养，进一步推动人才培养一体化的进程．圆是一个贯穿小学数学、初中数学、高中数学三个学段的数学对象，学生从小学阶段初步直观感知图形圆，到初中阶段进一步应用圆的几何性质，再到高中阶段充分利用解析法对圆进行了代数刻画。知识横跨三个学段，实现了数学对象从具体到抽象，从定性分析到定量分析，逐层递进的认知结构。而“球”也是数学中非常重要的几何对象，初中数学教材九年级上册第二十四章引言中引用了毕达哥拉斯的名言：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”，使得“圆”与“球”这两个数学对象首次齐肩出现在初等数学的教材中．虽然学生已经具备相对成熟的圆的知识基础，但高中数学教材中对“球”的几何性质介绍较少，仅从球面和球体的形成，以及球的表面积和体积两个方面介绍了球的简单的定义和几何性质．然而“球”是一个非常值得研究的几何体，它拥有丰富的几何性质，教材在第八章第三节课《简单几何体的表面积和体积》的“探究与发现”部分补充了祖暅原理，可以以此为契机对球的几何性质适当拓展，让学生进一步了解高等数学中微元和极限的思想，为高等数学中进一步研究球等几何体奠定基础．
此外，人教A版（2019 版）教材相对于之前的教材而言，调整了数学中立体几何模块与解析几何模块的位置关系．因此，借助这次探究活动的具体情境可以实现一次以立体几何为主线的单元整合．立体几何初步整章的教学内容多次采用了类比与转化的数学方法，从“线线关系”到“线面关系”，从“平行关系”到“垂直关系”，在本章知识的层层进阶中不断引导学生提出研究对象，确定研究内容，寻找研究方法．而对于“球”这个重要的几何体，它与平面图形“圆”有天然的联系，但具有更为复杂的几何性质，对学生的空间想像能力要求更高，因而可以延用本章教学的主要方法——“类比与转化”，将知识难点迁移到平面几何图形“圆”中的类似问题中，抓住“圆”与“球”的内在关联，由简入繁，化繁为简．将球的几何性质与圆的几何性质进行类比，既可以帮助学生复习圆的相关知识，又可以引导其对不同知识和不同的问题进行重新整合，并对这些问题进行归纳汇总、比较鉴别，找出其内在联系，洞悉数学本质．本次探究活动以圆的几何性质为出发点，以球的几何性质为落脚点，在此过程中强化学生对数学概念和规律的深入理解以及对数学思想方法的领悟．在理解基本知识和方法的基础上，对教材本身进行深入的挖掘，并进一步将处理问题的方法进行迁移与应用，培养学生的数学思维能力和探究能力．
基于以上认识，将本节课的
教学重点确定为：球的截面问题，几何体的外接球问题，类比与转化思想．
（二）学生学情解析
国务院办公厅印发《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》指出：“深化育人关键环节和重点领域改革，坚决扭转片面应试教育倾向，切实提高育人水平，为学生适应社会生活、接受高等教育和未来职业发展打好基础，努力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．”当今中国正经历“百年未有之大变局”，在这关键历史时期，中国迫切需要大批有创新能力的人才．而人才的培养离不开基础学科的突破和发展，数学作为众多基础学科的基础，在人才培养的过程中扮演者不可替代的角色．然而，数学具有抽象性和复杂性，数学的学习离不开独立思考的能力，离不开学生自己的体会和创造．通过探究课，让学生直面问题，探索解决之道，在探究的过程中培养从无到有，从零到一的能力，为成为有创新能力的拔尖人才提供必要的训练和储备．
本次探究活动的参与对象为华中师大一附中高三理科实验班的学生，学生的基础扎实．在完成必修第二册《立体几何初步》以及选择性必修第一册《直线与圆的方程》的学习之后，已基本形成初步的的章节知识框架．至此，学生不仅已经能够熟练的掌握平面几何中“圆”的几何性质和解析表达，而且已经熟练掌握立体几何中点、直线、平面的位置关系．在必修内容“空间几何体”中，通过对“球”的初步学习，学生已经了解到“球”是一种重要的旋转体，能够熟练应用球的表面积和体积的计算公式，并且能够借助球的体积公式的推导演绎初步体会微元与极限的思想．
华中师范大学第一附属中学的育人理念是：“把时间还给学生，把方法教给学生．”学校经常组织学生参与主题式研究性学习，学生对于探究活动和研究性学习并不陌生．除此之外，学校还会定期开展光谷课程，邀请各个领域的专家学者莅临学校为学生开课指导，给我校学生提供了近距离接触前沿专家的平台和机会．此外，学生能力和求知欲也很强，具有一定的自主探究与合作学习的意识，愿意通过探究活动实现知识的拓展和延伸．
然而，学生在经历立体几何初步的学习之后，对于球与平面、球与其它几何体之间的关系等综合性较强的问题还不能有系统的认识．而在“点、直线、平面之间的位置关系”的学习中，学生已经基本掌握直线与平面平行、直线与平面垂直的判定和性质，但是对于以球为载体的点、直线、平面位置关系的综合问题还需要进一步加强．
事实上，将处理圆的基本方法和基本思想类比迁移到球的相关问题之中，实现学生对于处理一般几何体关于球的切接等综合问题的融会贯通．通过这一过程，使学生在具体的情境中体会从低维到高维，从简单到复杂，从具体到抽象，从已知到未知的数学思想方法．这对提高学生学习数学的关键能力，提升学生数学抽象与直观想象的核心素养起着十分重要的作用．
根据以上分析，本节课的
教学难点确定为：体会研究问题的一般路径，形成探索精神．
（三）教学目标设置
《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）（以下简称《课标》）对“球”的学习要求是：“认识球及简单组合体的结构特征，知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
《课标》指出：“高中数学课程分为 必修课程、选择性必修课程和选修课程．”选修课程的内容涉及微积分、空间向量与代数、解析几何与线性代数、逻辑推理初步、数学模型等知识．“选修课程为学生确定发展方向提供引导,为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考．”
此外，《课标》强调：“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果．”
结合以上目标要求，以及对四个学段（小学、初中、高中、大学）的教材的研究，将本节课的教学目标设定为：
1．通过平面内形成圆周的方式，运用类比的思想，学生独立探索空间中形成球面的方式，体会定义一个数学对象的基本思想；
2．学生类比圆的相交弦问题中的“特征三角形”（由圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形），提炼出球的截面问题中的“特征三角形”（由球的半径、截面圆半径、球心到截面距离构成的直角三角形），提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；
3．学生借助Geogebra绘图软件绘制球的截面立体图，通过直观感知、操作确认、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；
4．学生通过对几类特殊的三棱锥的外接球的分析和探究，能将空间问题转化为平面问题，并通过探究活动的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．
（四）教学策略解析
数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应该是学生个性化的“体验”．本次项目式探究活动设置七个环节：项目选定、制定计划、活动探究、作品制作、成果展示、活动评价，拓展延伸，采用问题引导、合作探究和研究性学习的方式，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流．充分利用“观察”“思考”“探究”等，强调几何直观，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置．此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透类比与转化的数学思想．具体做法如下：
1.项目选定
基于上述对教学内容、学生学情、教学目标以及教学策略的分析，将本此活动设定为：
主题：从“圆”到“球”；
形式：项目式探究；
研究路径：类比与归纳；
重点：以球为载体对立体几何进行整合；
难点：体会研究问题的一般路径，形成探索精神．
2.制定计划
本次探究活动采用两周的课外时间及两节数学课完成，详情见下表：
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从“圆”到“球”探究活动计划表 |
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时间 |
项目进度 |
备注 |
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前期准备 |
2022年10月01日 |
下发研究方案，学生利用国庆假期自由成组； |
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活动过程 |
2022年10月08日 |
1.开题，选定七个研究主题的组长，每组派两名同学参与现场开题报告，明确各组成员分工及研究思路；
2.明确活动细则、研究报告的书写要求等； |
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2022年10月09日 |
1.教师联系学校机房、图书馆，提供查阅通道；
2.教师联系学校光谷课程负责老师，提供相关讲座支持； |
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2022年10月10日 |
跟踪各组进度，及时答疑，及时辅导； |
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2022年10月11日 |
利用周一的班会课召开各组组会解决各组实际问题； |
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2022年10月12日至16日 |
1.学生分组进行查阅资料、小组讨论；
2.教师跟踪各组进度； |
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2022年10月17日 |
利用周一的班会课召开各组组会解决各组实际问题； |
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2022年10月18日至19日 |
1.学生分组进行查阅资料、小组讨论；
2.教师跟踪各组进度，督促研究成果的落实； |
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2022年10月20日 |
收取各组研究报告，并结合项目主题进行挑选； |
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2022年10月21日 |
将挑选出的研究小组的成果进行现场展示； |
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拓展延伸 |
2022年10月22日至23日 |
1.利用周末时间整理各小组的研究报告，形成作品集；
2.为有需要的小组联系外延力量（结合实际情况）；
3.准备10月24日周一数学课进行活动总结和评价. |
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3.活动探究
教师课前设置了详细的探究活动方案，从情境、研究对象本身、研究对象与其它对象的关联三个维度设置了七个参考选题。学生采用小组合作的方式，最终结合选题确立七个研究性学习小组，即实例组、定义组、体积组、切面组、截面组、内切球组和外接球组。
各小组的研究成果，见研究成果作品集《撑一支长篙，向青草更青处漫溯》.
4.作品制作
本次探究活动的几个主要的成果为：一本以球的几何性质为主要内容的研究报告册、一个圆的相交弦定理的推广、一种求解三棱锥的外接球问题的解题策略。
5.成果展示
（1）课堂展示环节，挑选出实例组、定义组、截面组和外接球组四个小组，分别以“知圆与球之用------辨圆与球之义----明球与面之理-------悟球与体之法”为主题，展现了科学研究的一般规律，即观察生活、抽象并定义研究对象、研究对象的性质，研究对象与其它对象的联系。
（2）学生分组借助Geogebra绘图软件展示探究成果，真正成为课堂的主人．探究问题驱动全体学生主动参与知识建构、合作探究，同时保证学生学习的规范性，实现高效课堂．
（3）学生从课前探究和课上展示中感知研究几何问题的基本思路，体会数学中的类比与转化思想，领悟空间位置关系的常用研究策略——降维化归（空间问题平面化），螺旋上升地学习核心数学知识，重点提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．
6.活动评价
根据各小组展示的研究成果，现场设置教师课堂观察、教师口头评价、开放式活动反馈评价、课内外作业等多种评价方式，并根据展示暴露出的研究问题及时提问修正．
7.拓展延伸
（1）将各小组的研究报告集结成册，形成研究报告册《撑一支长篙，向青草更青处漫溯》．
（2）帮助学生对接清华大学、浙江大学、东南大学、南京大学、华中科技大学、华中师范大学的大学教授，通过邮件交流的方式为学生答疑解惑．
（3）通过视频采访的方式，帮助学生联系武汉大学教授，解决在学校光谷课程中留下的困惑．
（五）教学基本流程
二、成果展示介绍
七个研究小组的研究内容都非常丰富，在成果展示环节仅从七个研究小组挑选出实例组、定义组、截面组、外接球组参与现场展示，目的是为了将四个小组展示内容作为一个整体，突出展现科学研究的一般规律，即观察生活、抽象并定义研究对象、研究对象的性质，研究对象与其它对象的联系．以下为展示小组的活动梗概：
主题一 知圆与球之用
教师导入：与现场学生互动讨论生活中哪些情境中能够遇到“圆形”或“球形”的物体？并介绍实例组的主题、人员构成、主讲人、关键词．
实例组研究内容简介：实例组细心观察生活，从生活中的各个领域寻找到“圆”与“球”的身影，并列举出具体的实例．
教师简评：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用到数学。”------华罗庚
设计意图：让学生在开放性的现实情景中自主探索、亲身体验、积极思考．配合教师给出的实例主题，引导学生细心的观察生活，关注科技，关心时事，从而提升学生的民族自豪感和爱国情怀．
主题二 辨圆与球之义
教师导入：教师引导学生思考：“小学阶段用实验的方法度量了圆的周长，又进一步通过分割圆借助圆的周长求出了圆的面积，请同学们回忆在高中阶段我们应用什么样的方法计算球的体积呢？”通过互动对球的简单的几何性质进行回顾并进一步回归探究球更多的形成方式，并介绍定义组的主题、人员构成、主讲人、关键词．
定义组研究内容简介：定义组通过四种几何的角度，仿照平面内圆周的多种形成方式和圆周的方程，类比得到空间内球面的形成方式和球面的方程。
球面的形成与圆周的形成
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圆周的形成方式 |
球面的形成方式 |
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方式1：平面内，到定点距离相等的点的轨迹为圆周． |
方式1：空间中，到定点距离相等的点的轨迹为球面． |
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方式2：平面内，围绕定点以定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线． |
方式2：空间中，以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆弧旋转一周形成的曲面． |
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方式3：A，B为平面内两个不同的点，若PA⊥PB，则P点的轨迹是圆周． |
方式3：A，B为空间中两个不同的点，若PA⊥PB，则P点的轨迹是球面． |
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方式4：平面内到两个定点的距离之比是一个不为1的正常数的点的轨迹是圆周． |
方式4：空间中到两个定点的距离之比是一个不为1的正常数的点的轨迹是球面． |
拓广探索：为了激发学生的探究热情，在定义组介绍了球面的形成方式的四种几何法之后，教师补充了球面的标准方程和参数方程，并借助Geogebra进行动态展示．
教师简评：“当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐 。”------柯普宁
设计意图：概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的类比模仿，设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，通过设置研究问题引导学生在研究性学习中运用类比的思想，从圆周的形成方式类比球面的形成方式，形成利用平面问题解决空间问题的初步意识．在掌握概念的同时，让学生领会化归、类比联想等数学思想方法的运用．但在此环节的设计中，涉及形成方式的科学论证，原因有二，其一是由于球面方程的推导涉及三元方程的相关知识，虽然不属于高中数学教学的内容，但学生理解其含义并没有困难；其二是为学生埋下自主探究的种子，培养学生科学研究的严谨的态度，树立其自主学习的意识．
主题三 明球与面之理
教师导入：教师引导学生思考球与平面的位置关系，通过现场交流、互动明确球与平面的研究内容和研究重点，并介绍截面组的主题、人员构成、主讲人、关键词．
截面组研究内容简介：截面组的研究成果主要有两个，其一，在圆与直线相交问题中，抽象出一个特征三角形（以外接圆半径
，弦心距
，半弦长
构成的直角三角形），类比这个特征三角形在球的截面问题中同样抽象出一个由球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的特征三角形，并用Geogebra动态演示了截面面积取最值的位置．其二，类比圆的相交弦定理推广得到球的相交弦定理，并对其进行了证明，除此之外还结合Geogebra进行了数据检验．
类比维度一：球的一个截面
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圆的相交弦性质 |
球的截面性质 |
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直线与圆相交形成弦 |
平面与球相交形成圆面 |
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直线过圆心，弦为直径 |
平面过圆心，截面为大圆面 |
|
圆心与弦中点连线垂直于弦 |
球心与截面圆圆心连线垂直于截面 |
 特征三角形：
关系：  |
 特征三角形：
关系：  |
类比维度二：球的两个截面
类比圆的相交弦定理，截面组得到了球中的相交弦定理，内容如下：
1.定理内容：过球内任意一点
，作任意
条与球相交的直线，分别与球交于
两点，则
，其中
，我们将其称之为球的“相交弦”定理.
2.定理的证明（以
为例）：
证明：如图1，作直线
与球
交于
，
两点，任取线段
上一点
,过
任意作两条直线
，其中直线
与球交于
，
两点（如图2），直线
与球交于
，
两点（如图3），
则记直线
相交形成平面
，直线
相交形成平面
，记平面
与球
相交形成的圆分别为
，
则在圆
中，由圆的相交弦定理可得，
，
则在圆
中，由圆的相交弦定理可得，
，
综上，
.
3.Geogebra中的实验数据验证
教师简评：数学家通常是先通过直觉来发现一个定理; 这个结果对于他首先是似然的， 然后他再着手去制造一个证明．------哈代
反馈评价：通过现场提问环节了解展示成效：
问题：已知过球
O内一个定点
E作球的截面，且球
O的半径为3，
OE=2，请问在所有截面中，截面面积最小值为 ？
思考：可以类比成圆中的一个怎样的问题？怎么解决？
设计意图：通过设置现场提问环节，突出学生用“平面化”的思想来研究球的截面面积的大小的方法．截面组学生课前通过小组讨论，从质疑、操作探究到解惑，最终领悟出“截面面积的最大值与截面面积的最小值的位置”并将其在展示环节评讲组内成果．这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生的动手能力和创造性思维．在课堂中，所有学生都参与了探讨寻找截面面积的最值位置的过程，通过观察Geogebra制作出的空间模型，生生之间再次共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生的主体作用，又有利于学生协作意识的形成和创新能力的培养．最后学生类比圆的相交弦的最值位置得出球的截面面积最值的位置，并主动将探究的知识碎片进行梳理和整合，提升了自己的抽象概括能力．整个学习过程，学生独立完成，经历了从直观感知、操作确认到抽象概括的全过程，直观想象、逻辑推理和抽象概括能力都得到了提升．
主题四 悟球与体之法
教师导入：教师引导学生思考球与几何体的位置关系，通过现场交流、互动明确球与几何体的研究内容和研究重点，并介绍外接球组的主题、人员构成、主讲人、关键词．
外接球组研究内容简介：外接球组以问题串联了整个研究思路，在展示环节提出了以下问题：
问题1：任意三角形都有外接圆吗？唯一吗？
问题2：任意三棱锥都有外接球吗？唯一吗？
问题3：如何找到三棱锥外接球球心？如何计算外接球的半径？
问题4：研究哪些三棱锥外接球问题呢？
问题5：直角三棱锥（俗称“墙角模型”）的外接球的确定方法如何？
问题6：正三棱锥的外接球的确定方法如何？
问题7：一般三棱锥的外接球的确定方法如何？
针对问题1和问题2，他们分别采用尺规作图和Geogebra画图演示的方式，先直观说明问题，后进行了推理论证．下面结合展示详情介绍后面五个问题的内容：
以上是学生类比直角三角形、等腰三角形、一般三角形的外接圆的确定方法，类比得到的直角三棱锥、正三棱锥、一般三棱锥的外接球的确定方法，从找球心，算半径两个层面进行了方法的概述．
现场质证：
质疑1：学生质疑外接球组尺规作图证明三棱锥的存在唯一性时，确定球心的方法不够简洁，可以调整成一条面垂线与一个中垂面的交点的确定方法．
质疑2：在学生质疑1提出之后，学生质疑过三棱锥的两个侧面外心做的两条垂线不能直接确定必然相交，需要证明．
证明1：教师引导加学生讨论回答质疑1提出的问题．
证明2：全班讨论并证明了质疑2提出的问题．
教师简评：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么．
------毕达哥拉斯
三、课堂小结与课后延伸
（一）课堂小结
课堂小结环节，提醒学生结合下列问题对本节课进行一个小结：
1.本节课我们从哪几个方面研究了球的几何性质？
2.在研究过程中用到了哪些数学思想和方法？
3.以上四个研究小组作为一个整体，展示的逻辑主线是什么？对你有何启示？
设计意图：通过小结使学生结合展示的具体内容，对本次探究活动形成全局的把握．将四个小组展示内容作为一个整体，突出展现科学研究的一般规律，即观察生活、抽象并定义研究对象、研究对象的性质，研究对象与其它对象的联系．为学生在后续自主探究时确立研究思路奠定基础．
学生现场结合探究活动的过程分享探究的心路历程．
（三）课堂延伸
展示实例组针对球面不可展的前提下地图的绘制原理通过视频会议采访武汉大学资源环境学院的应申教授：
展示定义组针对球体的自身的性质通过邮件交流采访了清华大学、浙江大学、东南大学、南京大学、华中科技大学、华中师范大学的大学教授：
设计意图：通过两个小组获取信息和知识的途径，为学生的学习提供一个窗口，让学生能够在学习的道路上保持探究的热情，怀揣探究的勇气和创新的精神，不断拓广人类认知的边界．
四、教学反思
通过本次探究活动的教学实践，我认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”．我认为本此活动做得较好的有以下几点：
（1）四位一体，着力拔尖人才的一体化培养
由于不同学段的师资、课程、教学等界限分明，致使各学段之间的教学存在一定的脱节现象，通过本次探究活动可以进一步提高小学、初中、高中、大学四个学段知识的衔接与整合，提升中学阶段人才培养模式的多样化，实现拔尖人才的贯通培养，进一步推动人才培养一体化的进程．圆是一个贯穿小学数学、初中数学、高中数学三个学段的数学对象，学生从小学阶段初步直观感知图形圆，到初中阶段进一步应用圆的几何性质，再到高中阶段充分利用解析法对圆进行了代数刻画。知识横跨三个学段，实现了数学对象从具体到抽象，从定性分析到定量分析，逐层递进的认知结构。通过本次活动从一个贯穿小学数学、初中数学、高中数学三个学段的数学对象“圆”，类比生成“球”丰富的几何性质，借助教材中“探究与发现”及“文献阅读与写作”两种形式对球的几何性质进行课题式拓展，让学生进一步了解高等数学中微元和极限的思想，为高等数学中进一步研究球等几何体奠定基础．
（2）新旧更替，落实教材改革的创新理念
人教A版（2019 版）教材相对于之前的教材而言，调整了选择性必修课程中立体几何模块与解析几何模块的位置关系．本次探究活动安排在选择性必修课程直线与圆的方程之后，可以让学生在平面几何和立体几何的学习中熟练的借助几何法和解析法理解问题的本质．强化学生对数学概念和规律的深入理解以及对数学思想方法的领悟．在理解基本知识和方法的基础上，对教材本身进行深入的挖掘，并进一步将处理问题的方法进行迁移与应用，培养学生的数学思维能力和探究能力．
（3）整体设计，突出球为主线的单元整合
借助这次探究活动的具体情境可以实现一次以立体几何为主线的单元整合．立体几何初步整章的教学内容多次采用了类比与转化的数学方法，在本章知识的层层进阶中不断引导学生提出研究对象，确定研究内容，寻找研究方法．因而可以延用本章教学的主要方法——“类比与转化”，将知识难点迁移到平面几何图形“圆”中的类似问题中，抓住“圆”与“球”的内在关联，由简入繁，化繁为简．将球的几何性质与圆的几何性质进行类比，既可以帮助学生复习圆的相关知识，又可以引导其对不同知识和不同的问题进行重新整合，并对这些问题进行归纳汇总、比较鉴别，找出其内在联系，洞悉数学本质．
（4）信息融合，提高多媒体背景下的课堂效率
在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源。因此，在本次探究互动中教师特别重视信息技术的运用，如截面组关于球的相交弦定理等内容的直观猜想，切面组关于三元方程和三元不等式的数形结合方案，以及外接球组三棱锥存在唯一性的证明与演示中，均涉及数学软件Geogebra的应用，教师采用课前辅导，课中展示等多种方式优化课堂教学，转变教学与学习方式。再比如，教师在活动展示课中还通过互动课堂与平板电脑与学生实时互动，提高了课堂交互的效率和品质．
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形式创新，丰富高中阶段的人才培养模式
当今中国正经历“百年未有之大变局”，在这关键历史时期，中国迫切需要大批有创新能力的人才．而人才的培养离不开基础学科的突破和发展，数学作为众多基础学科的基础，在人才培养的过程中扮演者不可替代的角色．然而，数学具有抽象性和复杂性，数学的学习离不开独立思考的能力，离不开学生自己的体会和创造．通过探究课，让学生直面问题，探索解决之道，在探究的过程中培养从无到有，从零到一的能力，为成为有创新能力的拔尖人才提供必要的训练和储备．本次探究活动不仅具备传统课堂的学习优势，而且丰富了知识获取的学习方式，如与大学教授视频会议，与高校教师邮件往来，参加“光谷课程”讲座等，采用问题引导、合作探究的教学方法，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流．从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学的重点知识进行了较为系统的分析，通过活动效果可以实时评估学生的知识理解水平，具有一定的可操作性和调控性．
当然，教学是一门遗憾的艺术，虽然整个设计有了意料之中的收获，但仍有些许遗憾：
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探究活动内容丰富，较难达到面面俱到
本次探究活动虽然是以“球的几何性质”为研究主体，但是整个研究涉及“定义概念--推导性质--建立联系--实践应用”四个层面，知识容量大，研究主线丰富，理论背景较强，对中学生的要求较高．因此，学生在短时间内较难将一个主题研究的特别透彻，而在展示环节也较难让每一位同学都掌握所有内容．对此，我们将小组的研究报告收集成册，便于存在疑惑的同学的后续学习，或者学有余力的同学继续完善补充．
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活动战线长，知识掌握效果有差异
球的截面、几何体的内切球、几何体的外接球等问题是高考考察的重点和难点，但是本次探究活动的内容不仅涉及高考的重难点，还对高考不考查的数学知识，如球面的标准方程、参数方程，以及球的体积公式的积分算法等都有提及．主要考虑到学生基础扎实，能力和求知欲强，可以通过延伸和拓展进一步让学生了解高等数学中的，为高等数学中进一步研究球等几何体奠定基础．
（3）课堂安排紧凑，未及时修正细节
学生在展示研究成果的时候出现了口误，如：将“外接球球心”表达成“外接圆圆心”，将“球面”表达为“球”，将“截面圆半径”说成“圆中弦长的一半”，我认为这并不影响学生对这个问题的理解，所以并没有在课堂上及时给他们指出来，而是采取课后单独交流的方式．
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